Forschungsstatistik I

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1 Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Taubertsberg R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Schluss von der Stichprobe auf die Population Kennwerte μ Kennwerte s Population Stichprobe a) Welche Kennwerten wird sich ergeben, wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt? b) Sagen uns die Kennwerte, die diese Verteilung wiederum hat, etwas über die Kennwerte der Population?

3 des Erwartungswertes μ der Population Population Stichprobenmittelwerten Stichprobe des Umfangs Tue dies k-mal: ( ) 1 1 k Kennwerteverteilung Kennwert (Erwartungswert) E{ } = μ Erwartungswert E{ } = μ Die Kennwerteverteilung des Mittelwertes hat denselben Erwartungswert μ wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heißen erwartungstreu.

4 der Populationsvarianz ² Population Varianz Stichprobenvarianzen ( ) Stichprobe des Umfangs s s s Bias { } 1 = Tue dies k - mal: 1 k Erwartungswert der Stichprobenvarianzen { } E s Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell. Die Stichprobenvarianz ist also keine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz. Sie besitzt einen Bias. s = E s 1 = 1 =

5 Korrektur bei der Schätzung der Populationsvarianz ² { } E s 1 = = Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Korrektur: { } E s 1 1 = = ˆ 1 = s = i 1 1 ( ) Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang -1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz i= 1

6 des Erwartungswertes der Stichprobenmittelwerte In der empirischen Forschung ist häufig nicht die Prüfung eines Einzeldatums gefragt, sondern von Beispiele: Verbessern sich Kinder durch Förderunterricht?, Wirkt VT bei Schizophrenen?, Sind Frauen sprachbegabter als Männer? Bei der Schätzung des Erwartungswertes der Population haben wir bereits gesehen, dass gilt E{ } = μ Wir schätzen den Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte nun direkt erwartungstreu μ = aus dem Mittelwert der Stichprobe:

7 der Varianz von Stichprobenmittelwerten Wir haben gesehen, dass gilt 1 ˆ = = s ( ) pop i 1 i 1 Die Varianz von Stichprobenmittelwerten berechnet sich daraus als ˆ pop s ˆ = = 1 ˆ Die Standardabweichung von Stichprobenmittelwerten, der so genannte Standardfehler, ist damit ˆ pop ˆ = = s 1

8 der Verteilungsform von Die aus Stichprobendaten der Größe 30 geht mit wachsendem Stichprobenumfang in eine ormalverteilung über Dies gilt unabhängig von der Verteilungsform der Werte in der Population Zentraler Grenzwertsatz Die ormalverteilung der Mittelwerte hat diese Parameter: { } { } E = = μ = E und pop Aus Stichprobendaten schätzen wir also die Verteilung für die Zufallsvariable Mittelwert als X ~ V, s 1

9 Zusammenfassung Schätzer von Populationskennwerten Den Erwartungswert einer Population von Datenpunkten und deren Varianz (SD) schätzt man aus den Stichprobendaten als μ = n und = s ( n 1) bzw. = Den Erwartungswert der Mittelwerte möglicher Stichprobenziehungen von Umfange aus einer Population sowie die Varianz (SD) dieser Mittelwerte schätzt man aus den Stichprobendaten als n ( n 1) s E( ) = = und bzw. =

10 intervalle Genauigkeit der Schätzung Ist der Populationsparameter μ aus geschätzt worden, kann man fragen, in welchem Bereich um der wahre Populationsparameter wahrscheinlich liegt Diese Frage ist über die Konstruktion eines so genanten intervalls beantwortbar Ein intervall gibt allgemein Bereiche um einen Kennwert an, in denen ein gesuchter Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt Für die obige Fragestellung ist das intervall des Mittelwertes definiert als ( ) P z μ + z = α 1 α/ 1 α/ 1 icht: Lies: Mit einer Wk Wkvon 1-α 1-α (z.b. 95%) überdeckt liegt der wahre das intervall Wert im intervall um wahren μ ist Wert fest!

11 intervalle Genauigkeit der Schätzung Auch für den Stichprobenmittelwert lässt sich ein intervall konstruieren, sofern μ bekannt ist Man erhält darüber Aufschluss, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer Messung ein Mittelwert aus einem bestimmten Intervall auftreten wird. Dieses intervall konstruiert sich als ( ) P μ z μ+ z = α 1 α/ 1 α/ 1 Lies: Mit einer Wk von 1-α (z.b. 95%) tritt ein Stichprobenmittelwert zwischen und auf