Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie

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1 Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie Sascha Trostorff 27. Oktober 2017

2 Inhaltsverzeichnis I. Einführung in die Mengenlehre 3 1. Grundlagen der Aussagenlogik 4 2. Naive Mengenlehre 7 3. Relationen und Funktionen 11 II. Algebraische Strukturen Gruppen, Ringe und Körper Vektorräume 26 2

3 Teil I. Einführung in die Mengenlehre 3

4 1. Grundlagen der Aussagenlogik Wir wollen uns zunächst mit den Grundlagen der Logik beschäftigen. Hierbei benötigen wir sogenannte Aussagen. Ohne genau zu definieren, was eine Aussage eigentlich ist, wollen wir davon ausgehen, dass Aussagen Sätze sind, denen man einen Wahrheitswert falsch oder wahr zuordnen kann. In diesem Sinne sind also folgende Sätze Aussagen Ich sitze im Hörsaal Jeder Mensch besitzt ein Auto Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben Jeder dieser Aussagen lässt sich theoretisch ein Wahrheitswert zuordnen, auch wenn das mitunter sehr schwierig seien kann (die letzte Aussage ist die sog. Goldbachsche Vermutung und ist seit 250 Jahren ungeklärt). Aussagen lassen sich nun auf verschiedene Arten verknüpfen. Definition. Seien p, q Aussagen. Dann definieren wir die folgenden Aussagen über die nachfolgende Wahrheitstabelle: Konjunktion ( und ): p q (lies: p und q ) Disjunktion ( oder ): p q (lies: p oder q ) Negation ( nicht ): p (lies: nicht p ) Implikation: p q (lies: aus p folgt q ) Äquivalenz: p q (lies: p gilt genau dann, wenn q gilt ). p q p q p q p p q p q w w w w f w w w f f w f f f f w f w w w f f f f f w w w Bemerkung 1.1. Die Disjunktion bezeichnet immer das einschließende oder, also nicht das entweder... oder.... Letzteres ließe sich zum Beispiel folgendermaßen ausdrücken: entweder p oder q : (p ( q)) (( p) q) Satz 1.2 (Einige Tautologien). Seien p,q,r Aussagen. Dann gelten: (a) ( p) p (b) (p q) (( p) ( q)) (c) (p q) (( p) ( q)) 4

5 1. Grundlagen der Aussagenlogik (d) (p q) (( p) ( q)) (e) (p q) r (p r) (q r) (f) (p q) r (p r) (q r) (g) (p q) (( p) q) (h) (p q) ((p q) (q p)) (i) (p q) (( q) ( p)) Beweis. (a) p p ( p) p ( p) w f w w f w f w (b) (c) p q p q p q ( p) ( q) (p q) (( p) ( q)) w w w f f w w w f f f w f w f w f w f f w f f w w w w w p q p q p q ( p) ( q) (( p) ( q)) (p q) (( p) ( q)) w w w f f f w w w f f f w w f w f w f w f w f w f f f w w w f w (d) Es gilt (( p) ( q)) (c) (( ( p)) ( ( q))) (a) (p q) und somit nach (b) (( p) ( q)) ( (p q)) (a) (p q). Rest: Übung. In mathematischen Aussagen werden häufig Variablen verwendet. So ist etwa der Satz x ist reell undx+2 0 keine Aussage im obigen Sinne, da völlig unklar ist, welchen Wertxin diesem Zusammenhang hat. Solche Variablen nennt man auch freie Variablen. Mithilfe von sogenannten Quantoren lassen sich freie Variablen binden, werden also zu gebundenen Variablen. Es gibt zwei Quantoren: den Allquantor und den Existenzquantor. Somit lässt sich der Satz x ist reell und x+2 0 durch binden von x in folgende Aussagen verwandeln: x : x reell x+2 0 x : x reell x

6 1. Grundlagen der Aussagenlogik Hierbei ist die erste Aussage wahr, da es natürlich reelle Zahlen x gibt, diex+2 0 erfüllen. Die zweite Aussage ist hingegen falsch, da das nicht für alle reellen Zahlen gilt (wie z.b. x = 5). Die oben erwähnte Goldbachsche Vermutung lässt sich nun folgendermaßen formulieren n : n gerade natürliche Zahl p : q : (n = p+q) p prim q prim. Statt p : q : schreibt man auch kürzer p,q :. Die Reihenfolge der Quantoren spielt hierbei eine wichtige Rolle. So besagt die Aussage n : m : n,m natürliche Zahlen (n m) dass zu jeder natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl m existiert, die kleiner oder gleich n ist (klar, wähle z.b. m = n). Hingegen besagt die Aussage n : m : n,m natürliche Zahlen (n m) dass es eine natürliche Zahl n gibt, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist (was falsch ist, da stets m = n+1 gewählt werden kann). Allaussagen und Existenzaussagen stehen in einem engen Zusammenhang über die Negation, nämlich ( x : p(x)) x : p(x), wobei p(x) eine Aussage mit der freien Variablen x sei. 6

7 2. Naive Mengenlehre Wir wollen uns nun mit Mengen und Mengenoperationen beschäftigen. Dabei verzichten wir auf eine strikt mathematische Definition, was eine Menge ist, da dies den Rahmen der Vorlesung sprengen würde. Stattdessen nehmen wir an, dass intuitiv klar ist, was eine Menge ist. Mengen definieren sich durch ihre Elemente. Wir schreiben x M, wenn x ein Element der Menge M ist. Somit sind zwei Mengen M,N gleich, falls all ihre Elemente übereinstimmen, also M = N : ( x : x M x N). Mengen werden häufig durch große Buchstaben, ihre Elemente durch kleine Buchstaben notiert. Enthält eine Menge nur endlich viele Elemente, sagen wir 1,2,3,4,5, so schreiben wir M = {1,2,3,4,5}. Ferner definieren wir die Menge, die kein Element enthält durch := {}, die leere Menge. Neben der Mengengleichheit formulieren wir auch den Begriff der Teilmenge. Definition. Seien M,N Mengen. N heißt eine Teilmenge von M, falls x : x N x M. Wir schreiben in diesem Fall N M und nennen M eine Obermenge von N. Bemerkung 2.1. Mithilfe von Mengen schreiben wir Aussagen in Zukunft etwas verkürzt, also statt z.b. wie oben x : x N x M schreiben wir Satz 2.2. Seien M,N Mengen. Dann gilt x N : x M. M = N (M N N M). Über Aussagen können wir aus einer Menge bestimmte Teilmengen auswählen. Sei dazu p(x) eine Aussage mit der freien Variablen x. Dann ist {x M ; p(x)} eine Teilmenge vonm, nämlich genau die ElementexvonM, für diep(x) wahr ist. So bezeichnet zum Beispiel {x N; k N : x = 2k} 7

8 2. Naive Mengenlehre die Menge aller geraden Zahlen oder {x R; x 2 0} entspricht der Menge aller reellen Zahlen, deren Quadrat nicht positiv ist, was nur für x = 0 zutrifft. Es ist also {x R; x 2 0} = {0}. Entsprechend gilt { x R; x 2 < 0 } =. Weitere Mengen, die wir zukünftig stets verwenden wollen sind Symbol enthalten sind z.b. Bezeichnung N 0,1,2,3,... natürliche Zahlen Z 0,1,-1,2,-2,... ganze Zahlen 1 Q 3, 4 5, 5,2,... rationale Zahlen 2 R 3, 4, π, 2,... reelle Zahlen Wir führen nun Operationen auf Mengen ein. Definition. Seien M eine Menge von Mengen. Wir definieren die Mengen (a) M := {x; M M : x M} (Vereinigung), (b) M := {x; M M : x M} (Durchschnitt). Ist M = {A,B} so schreiben wir auch A B und A B statt {A,B} und {A,B}. Ferner führen wir für zwei Mengen A und B die Menge (c) A\B := {x; x A x / B} (Differenz) ein. Satz 2.3 (Rechenregeln). Seien A,B,C Mengen. Dann gelten (a) A (B C) = (A B) (A C), (b) A (B C) = (A B) (A C), (c) A\(B C) = (A\B) (A\C), (d) A\(B C) = (A\B) (A\C). Beweis. Wir verwenden stets die Tautologien aus Satz 1.2 (a) Es gilt x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C). 8

9 2. Naive Mengenlehre (b) Übung. (c) Es gilt x A\(B C) x A ( x B C) x A ( (x B x C)) x A (( x B) ( x C)) x A ( x B) x A ( x C) x A\B x A\C x (A\B) (A\C). (d) Übung. Definition. Sei M eine Menge. Dann definieren wir P(M) := {N ; N M} die Potenzmenge von M (die Menge aller Teilmengen von M). Beispiel 2.4. Ist M = {1,2,3}, so ist P(M) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Definition. Wir definieren durch (a,b) := {{a},{a,b}} das geordnete Paar (a,b). Satz 2.5. Es gilt ((a,b) = (c,d)) (a = c b = d). Beweis. Sei zunächst a = c und b = d. Es gilt Nun gilt (a,b) = (c,d) ( x : x (a,b) x (c,d)). x (a,b) x = {a} x = {a,b} x = {c} x = {c,d} x (c,d) und daher (a, b) = (c, d). Wir nehmen nun an, dass (a, b) = (c, d). Dann gilt {a} (a,b) = (c,d) und daher {a} = {c} oder {a} = {c,d}. Im ersten Fall gilt a = c und im zweiten Fall a = c = d und somit insgesamt immer a = c. Es verbleibt b = d zu zeigen.wir zeigen hierzu b d a = c (a,b) (c,d). 9

10 2. Naive Mengenlehre Sei also b d und a = c. Gilt {a,b} / (c,d), dann ist nicht zu zeigen. Gilt hingegen {a,b} (c,d), so folgt {a,b} = {c} {a,b} = {c,d} {a,b} = {c} a = b = c. Dann folgt {c,d} {a}, da sonst d = a = b und somit aber {c,d} / (a,b), da Definition. Seien M,N Mengen. Dann ist das kartesische Produkt von M und N. {c,d} {a,b} {c,d} {a}. M N := {(a,b); a M b N} Abschließend zeigen wir, dass die naive Vorstellung von Mengen zu Widersprüchen führen kann. Satz 2.6 (Russelsches Paradoxon). Es gibt nicht die Menge aller Mengen. Beweis. Wir nehmen an, es gebe die Menge aller Mengen, die wir mit S bezeichnen. Dann ist M := {A S; (A A)} eine Teilmenge von S und damit selbst eine Menge. Es gilt also M S. Nun gibt es zwei Möglichkeiten. (i) M M. Dann gilt (M M) also ein Widerspruch. (ii) (M M). Dann gilt aber M M, ebenfalls ein Widerspruch. Somit muss unsere Voraussetzung also falsch sein, es gibt also nicht die Menge aller Mengen. 10

11 3. Relationen und Funktionen Seien im weiteren M,N Mengen. Definition. Eine (binäre) Relation zwischen M und N, ist eine Teilmenge R M N. Für ein Paar (x,y) R schreiben wir auch xry. Eine Relation R heißt (a) linkstotal, falls x M : y N : xry. (b) rechtstotal, falls y N : x M : xry. (c) linkseindeutig, falls x, x M,y N : xry xry x = x. (d) rechtseindeutig, falls x M,y,ỹ N : xry xrỹ y = ỹ. Ferner definieren wir die zu R inverse Relation durch Des weiteren setzen wir für A M den Nachbereich von A unter R. R 1 := {(y,x); (x,y) R} N M. R[A] := {y N ; x A : (x,y) R} Eine rechtseindeutige Relation R nennen wir Funktionsrelation und das Tripel (R,M,N) eine Funktion oder Abbildung. Des weiteren bezeichnen wir für Funktionsrelationen mit D(R) := {x M ; y N : xry} = R 1 [N], W(R) := {y N ; x M : xry} = R[M] den Definitionsbereich bzw. Wertebereich von R. Da zu gegeben x D(R) das Element y N mit xry eindeutig bestimmt ist, schreiben wir auch R(x) := y. Als Symbol für eine Funktion verwenden wir R : D(R) M N x R(x). Ist R linkstotal, gilt also D(R) = M, so schreiben wir verkürzt Ferner definieren wir die Funktion R : M N x R(x). id M : M M x x, 11

12 3. Relationen und Funktionen die Identität auf M. Wir werden in Zukunft auch R eine Funktion nennen, wenn die Wahl der Mengen M und N aus dem Kontext hervorgeht. Beispiel 3.1. (a) f : R R x 5 (b) f : R R x x 2 (c) f : R 0 R R x x Definition. Sei f : D(f) M N. Dann heißt f injektiv, falls f linkseindeutig ist, d.h. falls gilt x,y D(f) : f(x) = f(y) x = y. f heißt surjektiv, falls f rechtstotal ist, d.h, falls gilt y N : x D(f) : f(x) = y. f heißt bijektiv, falls f injektiv, surjektiv und linkstotal ist. Beispiel 3.2. (a) f : R R x x 2 ist weder injektiv noch surjektiv. (b) f : R 0 R R x x 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv. (c) f : R R 0 x x 2 ist surjektiv, aber nicht injektiv. 12

13 3. Relationen und Funktionen (d) f : R 0 R R 0 x x 2 (e) ist injektiv, surjektiv aber nicht bijektiv. f : R 0 R 0 x x 2 ist bijektiv. Definition. Seien M,N,O Mengen und R M N sowie S N O. Dann definieren wir die Verknüpfung von R und S (lies: S nach R ) durch S R := {(x,z); y N : (x,y) R (y,z) S} M O. Satz 3.3. Seien M,N,O Mengen, f : D(f) M N und g : D(g) N O. Dann gelten (a) g f ist eine Funktion. (b) Sind f und g injektiv, dann auch g f. (c) Sind f und g surjektiv, dann auch g f. (d) Sind f und g bijektiv, dann auch g f. (e) f 1 genau dann eine Funktion, wenn f injektiv ist. Es gilt dann f 1 : W(f) N M und f f 1 = id W(f) und f 1 f = id D(f). (f) f ist genau dann bijektiv, wenn f 1 eine bijektive Funktion ist. Definition. Sei R M M eine Relation. Dann heißt R (a) reflexiv, falls x M : xrx (b) symmetrisch, falls x,y M : xry yrx (c) antisymmetrisch, falls x,y M : xry yrx x = y (d) transitiv, falls x,y,z M : xry yrz xrz. R heißt eine Äquivalenzrelation auf M, falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. R heißt eine Ordnungsrelation auf M, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel 3.4. (a) Sei G die Menge aller Geraden der Ebene. Dann ist die Parallelität G G eine Äquivalenzrelation auf G. (b) Die Relation 5 N N mit eine Äquivalenzrelation auf N. k 5 m : l Z : m k = l 5 13

14 3. Relationen und Funktionen (c) Sei M eine Menge. Dann ist eine Ordnungsrelation auf P(M). Definition. Sei R M M eine Äquivalenzrelation. Für x M bezeichne [x] R := {y M ; xry} M die Äquivalenzklasse zu x. Umgekehrt heißt x ein Repräsentant von [x] R. Ferner bezeichnet M R := {[x] R ; x M} P(M) den Faktorraum von M bzgl. R. Beispiel 3.5. Wir verwenden die Relation 5 aus Beispiel 3.4. Dann gilt [0] 5 = {0,5,10,15,...} [1] 5 = {1,6,11,16,...}. [4] 5 = {4,9,14,19,...} [5] 5 = {0,5,10,15,...} = [0] 5. Satz 3.6. Sei R M M eine Äquivalenzrelation und x, y M. Dann gelten (a) x [x] R, insbesondere also [x] R, (b) [x] R = [y] R xry, (c) [x] R [y] R = xry, (d) M = M R Beweis. (a) Da R reflexiv ist, gilt stets xrx und daher x [x] R. (b) Sei zunächst [x] R = [y] R. Es ist x [x] R = [y] R und somit yrx und wegen Symmetrie xry. Gelte nun xry. Sei a [x] R, also xra. Dann gilt wegen Symmetrie yrx und wegen Transitivität yra also a [y] R. Somit haben wir gezeigt [x] R [y] R. Die andere Inklusion folgt analog. (c) Sei [x] R [y] R =. Dann gilt insbesondere [x] R [y] R (da sonst [x] R [y] R = [x] R ) und somit xry nach (b). Gelte [x] R [y] R. Dann existiert ein a M mit a [x] R und a [y] R, also xra und yra. Wegen Symmetrie und Transitivität folgt hieraus xry. Dies ist die Kontraposition der fehlenden Implikation. (d) Es gilt trivialerweise M R M. Ist x M, so gilt x [x] R nach (a) und damit x M R, also auch M M R. Definition. Sei M eine Menge. Ein Mengensystem Π P(M) heißt Partition von M, falls (a) / Π, 14

15 3. Relationen und Funktionen (b) A,B Π : A B A B =, (c) Π = M. Satz 3.7. Sei M eine Menge. Ist R M M eine Äquivalenzrelation, so ist M R eine Partition von M. Ist umgekehrt Π P(M) eine Partition von M, so existiert eine Äquivalenzrelation R M M mit M R = Π. Beweis. Dass M R für eine Äquivalenzrelation R eine Partition von M ist, haben wir in Satz 3.6 gesehen. Sei nun Π P(M) eine Partition von M. Wir definieren die Relation R M M durch folgende Bedingung xry: A Π : x A y A. Wir zeigen nun, dass R eine Äquivalenzrelation ist: (a) R ist reflexiv: Sei x M. Dann existiert ein A Π mit x A. Somit gilt xrx. (b) R ist symmetrisch: Seien x,y M mit xry. Dann gibt es A Π mit x A y A. Damit gilt aber auch y A x A und somit yrx. (c) R ist transitiv: Seien x,y,z M mit xry und yrz. Dann existiert A Π mit x A y A und B Π mit y B z B. Somit gilt also y A B, also insbesondere A B. Daraus folgt aber A = B und somit gilt x A z A und daher xrz. Wir zeigen nun noch M R = Π. Sei x M. Dann existiert ein A Π mit x A. Wir zeigen [x] R = A. Sei zunächst y [x] R. Dann existiert Ã Π mit x à y Ã. Damit ist x A à und somit A = Ã, also auch y A. Das zeigt [x] R A. Sei nun y A. Dann gilt trivialerweise x A y A, also xry und somit y [x] R. Das beweist [x] R = A und somit [x] R Π. Damit haben wir bewiesen, dass M R Π. Sei umgekehrt A Π. Dann ist A, also existiert x A. Wie oben folgt [x] R = A und daher A M R und somit schließlich M R = Π. Definition. Sei R M M eine Ordnungsrelation. Dann nennen wir (M,R) eine partiell geordnete Menge. Gilt zusätzlich x,y M : xry yrx, so heißt R eine Totalordnung und (M,R) eine total geordnete Menge. Eine Element x M heißt (a) kleinstes Element bzgl. R, falls y M : xry, (b) größtes Element bzgl. R, falls y M : yrx, (c) minimales Element bzgl. R, falls y M : yrx x = y, (d) maximales Element bzgl. R, falls y M : xry x = y. 15

16 3. Relationen und Funktionen Ist S M, so heißt x (e) untere Schranke von S, falls y S : xry, (e) obere Schranke von S, falls y S : yry, (e) Infimum von S, falls x die größte untere Schranke von S ist, (e) Supremum von S, falls x die kleinste obere Schranke von S ist. Beispiel 3.8. Wir betrachten P({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} und als Ordnungsrelation auf P({1, 2, 3}). Offenbar ist keine Totalordnung, da z.b. weder {1} {2} noch {2} {1} gilt. das einzige kleinste und minimale Element und {1,2,3} das einzige größte und maximale Element. Für S = {{2},{3}} sind {2,3} und {1,2,3} obere Schranken und {2,3} das Supremum von S. Betrachten wir hingegen (P({1,2,3})\{ }, ) so sind {1},{2},{3} minimale Elemente und es existiert kein kleinstes Element. Satz 3.9. Sei (M, R) eine partiell geordnete Menge. Dann sind die größten/kleinsten Elemente bzgl. R eindeutig bestimmt (falls sie existieren). Ebenso ist für S M das Supremum/Infimum von S eindeutig bestimmt (falls sie existieren). Wir schreiben max M, min M, sup S, inf S für das größte/kleinste Element in M, bzw. für das Supremum/Infimum von S. Definition. Seien M, N zwei Mengen. M und N heißen gleichmächtig, falls es eine bijektive Abbildung f : M N gibt. Die Menge M heißt (a) endlich, falls M = oder es n N gibt, so dass M und {1,2,...,n} gleichmächtig sind, (b) abzählbar unendlich, falls M und N gleichmächtig sind, (c) überabzählbar, falls M nicht endlich oder abzählbar unendlich ist. Satz Sei M eine Menge. Ist M endlich, so gibt es genau ein n N so, dass M und {1,..., n} gleichmächtig sind. Wir nennen dieses n die Kardinalität von M, geschrieben M. Beispiel Die Mengen Z,Q sind abzählbar unendlich. Die Mengen R,P(N) sind überabzählbar. Axiom 3.12 (Lemma von Zorn). Sei (M, R) eine nichtleere partiell geordnete Menge. Wir nehmen an, dass jede totalgeordnete Teilmenge von M eine obere Schranke besitzt. Dann hat M ein maximales Element. Bemerkung Das Lemma von Zorn ist, wie der Name schon sagt, kein Axiom, sondern eine äquivalente Aussage zu einem Axiom der Mengentheorie, dem Auswahlaxiom. Dieses besagt: Für jede Menge M und jede Partition Π P(M) von M existiert A M, so dass B Π : B A = 1. Man kann also für jede Partition einer Menge M genau ein Element aus jeder Menge B dieser Partition auswählen. 16

17 Teil II. Algebraische Strukturen 17

18 4. Gruppen, Ringe und Körper Sei im folgenden G stets eine Menge. Definition. Eine Funktion : G G G heißt (binäre) Operation auf G. Statt (x, y) schreiben wir wie üblich x y. Wir nennen (a) assoziativ, falls x,y,z G : (x y) z = x (y z), (b) kommutativ, falls x,y G : x y = y x. Beispiel 4.1. Sei A A := {f : A A; f Funktion}. Dann ist die Verknüpfung : A A A A A A eine assoziative, aber i.a. nicht kommutative Operation. Definition. Sei eine Operation auf G. Dann heißt (a) (G, ) Halbgruppe, falls assoziativ ist. (b) (G, ) Monoid, falls G Halbgruppe und ein neutrales Element existiert, d.h. e G : x G : x e = e x = x. (c) (G, ) Gruppe, falls G Monoid und jedes Element ein Inverses besitzt, d.h. x G x 1 G : x x 1 = e. (d) (G, ) abelsche Gruppe, falls G Gruppe und kommutativ ist. Satz 4.2. Sei (G, ) ein Monoid. Dann ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Ist (G, ) eine Gruppe und x G, so ist das inverse Element eindeutig bestimmt und es gilt x x 1 = x 1 x = e. Ferner gilt (x y) 1 = y 1 x 1 und ( x 1) 1 = x für alle x,y G. Beweis. Sei zunächst G ein Monoid und seien e,e G neutrale Elemente. Dann gilt e = e e = e. Sei nun G eine Gruppe, x G. Wir zeigen zunächst Es gilt ( x 1 x = x 1 (x e) = x 1 x x 1 x = e. ( x 1 ( x 1) 1 )) = x 1 ( (x x 1 ) ( x 1) 1 ) = x 1 ( x 1) 1 = e. 18

19 4. Gruppen, Ringe und Körper Hieraus folgt auch die Eindeutigkeit des inversen Elements. Sei x G ein inverse Elemente von x. Dann gilt x 1 = x 1 e = x 1 (x x ) = (x 1 x) x = e x = x. Aus x x 1 = e folgt hiermit auch ( x 1) 1 = x. Für x,y G gilt (x y) (y 1 x 1 ) = ( x (y y 1 ) ) x 1 = (x e) x 1 = x x 1 = e und daher (x y) 1 = y 1 x 1. Beispiel 4.3. (a) (Z,+),(Q,+) und (R,+) sind abelsche Gruppen, (N,+) ist ein kommutatives Monoid, jedoch keine Gruppe. (b) Für eine Menge A ist ( {f A A ; f bijektiv}, ) eine (i.a. nicht abelsche) Gruppe. 19

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