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1 Achterbahn Ein Fahrzeug ohne eigenen Antrieb startet auf der abgebildeten Bahn von dem Punkt (1) und fährt reibungsfrei über den Punkt (2) zum Punkt (3). a) Warum bewegt sich das Fahrzeug? sidee b) Welche Energien wirken bei der Fahrt? sidee c) Wie groß sind diese Energien in den gekennzeichneten Punkten? sidee d) Wie groß ist die Höhe, die das Fahrzeug in Punkt (3) erreicht? sidee e) Wie lange bewegt sich das Fahrzeug? sidee f) Angenommen, der Startpunkt (Punkt (1)) hätte eine Höhe h 1 = 20 m und das Fahrzeug eine Masse m = 1 t. sidee Berechnen Sie die Beträge der Energien, die Höhe h 2 sowie die Geschwindigkeit v im Punkt(3)? Abbildung 1: Achterbahn, mit dem Wagen in Punkt (1) Energie und Bewegung, Achterbahn 1

2 sidee a) : Das Fahrzeug befindet sich anfangs in Ruhe und seine Geschwindigkeit vergrößert sich auf dem Weg zum Punkt 2. Es handelt sich also um eine beschleunigte Bewegung. Sie müssen jetzt noch herausfinden, welche Kraft diese Beschleunigung verursacht. Tipp: Die Bewegung geht nach unten. Energie und Bewegung, Achterbahn 2

3 sidee b) : Es gibt zwei Energieformen die hier auftreten. Zum Einen befindet sich das Fahrzeug in einer sich verändernden Höhe über dem Erdboden. Zum Anderen hat das Fahrzeug eine sich verändernde Geschwindigkeit. Energie und Bewegung, Achterbahn 3

4 sidee c) : Sie müssen sich überlegen, welchen Betrag die Höhe und die Geschwindigkeit in den drei Punkten haben. Wenn Sie dann noch einen der drei Erhaltungssätze berücksichtigen, können Sie die Energiebeträge in den drei Punkten bestimmen. Energie und Bewegung, Achterbahn 4

5 sidee d) : Der in c) angewendete Erhaltungssatz erlaubt den direkten Vergleich der Energien in den drei Punkten. Energie und Bewegung, Achterbahn 5

6 sidee e) : In der Aufgabe wird von einer reibungsfreien Fahrt ausgegangen und Sie haben in c) alle Energien bestimmt. Wo könnte die Energie noch hingehen, ohne den in c) benutzten Erhaltungssatz zu verletzen? Energie und Bewegung, Achterbahn 6

7 sidee f) : Setzen Sie für die Höhe h 1 die 20 m ein und berechnen damit nacheinander die Energien in den drei Punkten. Energie und Bewegung, Achterbahn 7

8 a) : Auf das Fahrzeug wirkt die Gravitationskraft F g = m g, die das Fahrzeug zur Erde hin beschleunigt. Energie und Bewegung, Achterbahn 8

9 b) : Die auftretenden Energien sind die potentielle Energie E pot und die kinetische Energie E kin. Energie und Bewegung, Achterbahn 9

10 c) : Für die potentielle Energie gilt: E pot = m g h Und für die kinetische Energie: E kin = ½ m v² Beide Energien sind über die Energieerhaltung miteinander verbunden. Da die Energie immer konstant sein muss, gilt für jeden Punkt auf der Bahn: E=E pot E kin =konst. Die potentielle Energie kann für jeden Punkt auf der Bahn bestimmt werden, wir brauchen nur h zu messen. Punkt (1): Die Geschwindigkeit v ist noch 0 also gilt: h=h 1 E pot =m g h 1 v=0 E kin =0 E Punkt 1 =E pot E kin =m g h 1 Punkt (2): Hier ist die Höhe h = 0. Wegen der Energieerhaltung muss die potentielle Energie aus Punkt (1) im Punkt (3) vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden: h Punkt 2 =0 E pot =0 E Punkt 2 =m g h 1 =E pot E kin = 1 2 m v2 Punkt (3):Die Geschwindigkeit v ist 0. Aus der Energieerhaltung folgt, das die kinetische Energie vollständig in potentielle Energie umgewandelt wurde: v=0 E kin =0 E pot =m g h E Punkt 3 =m g h 1 =E pot E kin =m g h Die Energie pendelt sozusagen zwischen der kinetischen und potentiellen Energie hin und her. Energie und Bewegung, Achterbahn 10

11 d) : Die Berechnung der Energie in Punkt (3) ergibt E Punkt 3 =m g h 1 =E pot E kin =m g h h=h 1 Das bedeutet, dass der Punkt (3) die gleiche Höhe hat wie der Punkt (1). Energie und Bewegung, Achterbahn 11

12 e) : Im Punkt (3) ist die Geschwindigkeit 0. Die Gravitation beschleunigt anschließend wieder Richtung Punkt (2): Die Bewegung wiederholt sich unendlich lange, da immer nur potentielle in kinetische Energie und umgekehrt verwandelt wird. Nur wenn wir Reibung mit berücksichtigen, wird die Bewegung irgendwann aufhören, da ein Teil der kinetischen Energie in Wärme umgewandelt wird. Die Wärme kann jedoch weder in potentielle noch in kinetische Energie zurückverwandelt werden. Energie und Bewegung, Achterbahn 12

13 f) : Gegeben:h 1 = 20 m Gesucht: Energieformen, h 2 Ansatz: Punkt (1): Betrachten der einzelnen Punkte. E=E pot E kin =E pot 0=m g h 1 =1t 9,81 m s 2 20m=196,2 kj Punkt (2): E=E pot E kin =0 E kin = 1 2 m v2 =196,2 kj E kin 1 v= 196,2 kj m = =19,8 2 m kg s Punkt (3): E=E pot E kin =E pot 0=196,2 kj=m g h 2 h 2 = E pot m g = 196,2kJ 1t 9,81 m s 2 =20m Ergebnis: h 2 = 20 m Energie und Bewegung, Achterbahn 13

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