Mathematik für Ingenieure mit Maple

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1 Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen Mit 300 Abbildungen, 262 Aufgaben und und Lösungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme 1 1. Mengen 1 2. Natürliche Zahlen Peanosche Axiome Vollständige Induktion Geometrische Summenformel Permutationen Der binomische Lehrsatz 8 3. Reelle Zahlen Zahlenmengen und Operationen Die Rechengesetze für reelle Zahlen Potenzrechnen Logarithmen Anordnung der reellen Zahlen Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE Gleichungen Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Ein Einfuhrungsbeispiel Begriffsbildung und Notation Das Lösen von linearen Gleichungssystemen Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE 28 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 32 Aufgaben zu Kapitel I 33 Kapitel II: Vektorrechnung Vektoren im 1R Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition zweier Vektoren Die Länge (der Betrag) eines Vektors Das Skalarprodukt zweier Vektoren Geometrische Anwendung Vektoren im R Rechenregeln für Vektoren Projektion eines Vektors Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Das Spatprodukt von drei Vektoren Vektoralgebra mit MAPLE Geraden und Ebenen im IR Vektorielle Darstellung von Geraden Lage zweier Geraden zueinander Abstandsberechnung zu Geraden 60

3 r Inhaltsverzeichnis 4.4 Vektorielle Darstellung von Ebenen Lage zweier Ebenen zueinander Abstandsberechnung zu Ebenen Berechnung von Schnittpunkten und Schnittwinkel Vektorräume Vektorrechnung im R" Vektorräume Linearkombination und Erzeugnis Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Basis und Dimension 81 Aufgaben zu Kapitel II 84 Kapitel III: Matrizen und Determinanten Matrizen Einführung, spezielle Matrizen Rechenoperationen für Matrizen Inverse Matrix Das Matrizenrechnen mit MAPLE Lineare Abbildungen Anwendungsbeispiele Determinanten Einführung.: Rechenregeln für zweireihige Determinanten n-reihige Determinanten Anwendungen von Determinanten Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme, Rang Anwendungen 120 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 124 Aufgaben zu Kapitel III 126 Kapitel IV: Elementare Funktionen Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften Grundbegriffe Elementare Funktionen in MAPLE Allgemeine Funktionseigenschaften ":! Polynome Festlegung von Polynomen durch Wertepaare Koeffizientenvergleich Teilbarkeit durch einen Linearfaktor Nullstellenproblem Newton-Algorithmus zur Bestimmung von Interpolationspolynomen Polynome mit MAPLE 156

4 Inhaltsverzeichnis xi 3. Rationale Funktionen Rationale Funktionen Anwendung: Übertragungsfunktion bei LC-Kreisen Rationale Funtionen mit MAPLE Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen Grundbegriffe Sinus- und Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion Arkusfunktionen 181 Zusammenstellung der Vereinfachungs-Befehle von MAPLE 187 Aufgaben zu Kapitel IV 188 Kapitel V: Die komplexen Zahlen Darstellung komplexer Zahlen Algebraische Normalform Trigonometrische Normalform Exponentielle Normalform Umformungen der Normalformen Komplexe Zahlen mit MAPLE Komplexe Rechenoperationen Addition Subtraktion, Multiplikation Division Potenz Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Komplexe Rechnung mit MAPLE Anwendungen Überlagerung harmonischer Schwingungen Der RCL-Wechselstromkreis Übertragungsverhältnis Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen Berechnung der komplexen Übertragungsfunktion für lineare Ketten Beispiele Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen 235 Aufgaben zu Kapitel V 240

5 Xll Inhaltsverzeichnis Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Reelle Zahlenfolgen Grenzwert einer Funktionsfolge Stetigkeit einer Funktion Differentialrechnung Einfuhrung Rechenregeln bei der Differentiation Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Differential einer Funktion Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) Sätze der Differentialrechnung Energiemaximum im Spektrum eines strafthenden schwarzen Körpers ' Integralrechnung Das Riemann-Integral Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grundregeln der Integralrechnung Integrationsmethoden Uneigentliche Integrale Anwendungen 338 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 357 Aufgaben zu Kapitel VI 358 Kapitel VII: Funktionen reihen Zahlenreihen Beispiele Konvergenzkriterien Potenzreihen Taylorreihen.<> Anwendungen Näherungspolynome einer Funktion Integration durch Potenzreihenentwicklung Komplexwertige Funktionen Komplexe Potenzreihen Die Eulersche Formel Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion Komplexe Hyperbelfunktionen Differentiation und Integration komplexwertiger Funktionen 408 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 411 Aufgaben zu Kapitel VII 411

6 Inhaltsverzeichnis XÜi Kapitel VIII: Numerisches Lösen von Gleichungen Intervallhalbierungs-Methode Pegasus-Verfahren Banachsches Iterationsverfahren Newton-Verfahren Regula falsi Bestimmung von Polynom-Nullstellen 445 Aufgaben zu Kapitel VIII.\ 447 Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration Numerische Differentiation Differenzenformeln für die erste Ableitung Differenzenformeln für die zweite Ableitung Differenzenformeln für die n-te Ableitung Numerische Integration Die Rechteckregel Die Trapezregel Die Simpson-Regel 460 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 462 Aufgaben zu Kapitel IX 463 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben 465 Anhang B: Einführung in MAPLE V 477 Anhang C: Die CD-ROM 482 Literaturverzeichnis 486 Index 488