Datenstrukturen und Algorithmen SS07
|
|
- Lena Grosse
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Datenstrukturen und Algorithmen SS0 Datum: Michael Belfrage belfrage.net/eth
2 Programm von Heute Minimaler Spannbaum (MST) Challenge der Woche Fibonacci Heap
3 Minimaler Spannbaum Einführendes Beispiel: Fr. 200 Fr. 00 Fr. 100 Fr. 00 Fr Fr. 00 Fr Fr. 800 Fr. 00 Fr Fr. 500 Fr. Es hat eine Anzahl Häuser, und man möchte diese alle miteinander vernetzen. (z.b. wegen einem LAN, elektrische Leitungen, etc.) Die Möglichen Verbindungen zwischen zwei Häusern ist oben abgebildet, zusammen mit den Kosten in [Fr.]. Bestimme die Menge von direkten Verbindungen, sodass alle miteinander - direkt oder indirekt - verbunden sind, und die Kosten minimal sind.
4 Minimaler Spannbaum Diese Menge mit minimalen Kosten im vorherigen Beispiel kann man effizient bestimmen mithilfe Ideen aus der Graphentheorie: Insbesondere mithilfe des minimalen Spannbaums Es folgen einige Definitionen
5 Spannbaum Definitionen: Ein Spannbaum T eines ungerichteten und zusammenhängenden Graphen G, ist ein Baum, welcher aus allen Knoten und einigen (oder auch allen) Kanten von G besteht. Ein minimaler Spannbaum (engl. MST = Minimal Spanning Tree) ist ein Spannbaum, dessen summierte Kantengewichte kleiner oder gleich deren aller anderen Spannbäume ist.
6 Spannbaum Informell: Ein Spannbaum eines Graphen ensteht, wenn man einige Kanten auswählt, sodass man von jedem Knoten aus alle anderen erreichen kann. Es soll jedoch nicht möglich sein im Kreis zu laufen. Beispiel: A D B C E GC F
7 Spannbaum Ein Graph kann mehrere Spannbäume haben, der folgende hat z.b. 16 verschiedene:
8 Minimaler Spannbaum MST Ist der Graph gewichtet, kann man einen minimalen Spannbaum bestimmen. Die Summe der Kantengewichte soll dann minimal sein über alle möglichen Spannbäume Beispiel: A 1 B E 12 F 2 D C 8 GC 5
9 Minimaler Spannbaum Schnellste Methoden zur Bestimmung eines minimalen Spannbaums: Randomisierter Algorithmus Karger, Klein, Tarjan [15] Erwartet lineare Laufzeit Falls Gewichte kleine natürliche Zahlen Fredman, Willard [10] lineare Laufzeit Sonst existieren bisher nur Algorithmen die fast linear sind: Chazelle [1] O( E a( E, V )) (a ist die inverse Ackermann-Funktion)
10 Minimaler Spannbaum Oft sind diese schnellen Algorithmen aber sehr aufwändig zu implementieren und lohnen sich erst dann, wenn die Laufzeit ein Problem wird. Die klassischen Algorithmen sind im Vergleich um einiges einfacher zu verstehen und zu implementieren. (Hinzu kommt, dass viele der modernen Algorithmen auf Ideen der klassischen beruhen)
11 Minimaler Spannbaum Klassische Methoden zur Bestimmung eines minimalen Spannbaums: Boruvka s Algorithmus Otakar Borůvka, 126 Prim s Algorithmus Vojtěch Jarník [126], Robert C. Prim [15] Wiederentdeckt von Edsger W. Dijkstra [15] Kruskal s Algorithmus Joseph Kruskal [156]
12 Minimaler Spannbaum Eine naive Methode wäre z.b. Alle Spannbäume zu bestimmen, dann würde man sicher auch den minimalen finden. Jedoch hat es meist sehr viele Spannbäume. Diese Methode ist darum wohl sehr ineffizient
13 Kruskal s Algorithmus Um das Problem effizient von Hand zu lösen, eignet sich Kruskal s Algorithmus: INPUT: gewichteter Graph G=(V,E,w) OUTPUT: Minimaler Spannbaum T=(V,E ) Algorithmus (vereinfacht): T := G \ E sortiere E {aufsteigend nach Gewicht w} for all e=(u,v) in E do if {es gibt keinen Weg von u nach v} then e einfügen in T end end return T Nebenbei: Kruskal s Algorithmus ist ein Greedy Algorithmus, d.h. dass er jeweils die beste lokale Auswahl trifft in der Hoffnung das globale Optimum zu erreichen. Oft sind Greedy Algorithmen jedoch falsch, also aufpassen!!
14 Kruskal s Algorithmus Beispiel: A 1 B E 12 F 2 D C 8 GC 5 Hier werden z.b. nacheinander eingefügt: (A,D),(B,D),(C,E),(F,G),(C,F),(C,D)
15 Kruskal s Algorithmus Wieso ist dieser Ansatz korrekt? Nehme an Kantengewichte seien versch. Lemma: Wenn wir die Menge der Knoten V in zwei disjunkte Teilmengen V 1 und V 2 aufteilen, so ist die kleinste Kante e welche V 1 und V 2 miteinander verbindet Teil des minimalen Spannbaums. Beweis: Nehme an e sei nicht Teil des Spannbaums. V 1 und V 2 müssen durch eine Kante verbunden sein. Falls dies nicht e ist, dann kann diese Kante f nur noch schwerer sein, womit der Spannbaum schwerer wird. Widerspruch. In jedem Schritt fügen wir immer die kleinste Kante hinzu welche zwei disjunkte Teilmengen V 1 und V 2 verbindet. Nach obigem Lemma sind diese Kanten also jeweils Teil des minimalen Spannbaumes. qed. Will man auch gleiche Kantengewichte zulassen, wird der Beweis einwenig mühsamer, aber die Idee bleibt dieselbe. V 1 ={A,B,D} A 1 1 B E 12 V 2 ={C,E,F,G} F 2 D e C 8 GC 6
16 Kruskal s Algorithmus Laufzeit O( E log V ), da V 1 E V ( V +1)/2 Algorithmus: T := G \ E sortiere E {aufsteigend nach Gewicht w} for all e=(u,v) in E do if {es gibt keinen Weg von u nach v} then e einfügen in T end end return T union-find Datenstrukturen können dies meist in konstanter Zeit beantworten (naiver Ansatz würde O( V E ) benötigen) Fazit:O( E log V )
17 Prim s Algorithmus Prim baut den minimalen Spannbaum auf, indem er einen Knoten nach dem anderen einfügt. INPUT: gewichteter Graph G=(V,E,w) OUTPUT: Minimaler Spannbaum T=(V,E ) Algorithmus: T := ein bel. Knoten von G while {T weniger als V Knoten hat} do e := kleinste Kante welche T mit G\T verbindet e einfügen in T end return T
18 Prim s Algorithmus Beispiel: A 1 B E 12 F 2 D C 8 GC 5 Hier werden z.b. nacheinander eingefügt: (A,D),(D,B),(D,C),(C,E),(C,F),(G,F)
19 Prim s Algorithmus Korrektheit folgt aus dem gleichen Lemma wie schon bei Kruskal. Langsamster Teil des Algorithmus ist dieser Algorithmus: T := ein bel. Knoten von G while {T weniger als V Knoten hat} do e := kleinste Kante welche T mit G\T verbindet e einfügen in T end return T Wir brauchen also eine Datenstruktur, die effizient das Minimum bestimmen/löschen kann Eine solche kennengelernte Datenstruktur ist ein Heap. Besonders effzient ist ein Fibonacci-Heap. Siehe auch für eine mögliche Heap-Implementation.
20 Prim s Algorithmus Laufzeiten (ohne Begründung): Mit Adjazenzmatrix O( V 2 ) Mit Adjazenzliste und (normalem) Heap O(( V + E )log V ) Mit Adjazenzliste und Fibonacci-Heap O( E + V log V )
21 Boruvkas s Algorithmus Ähnlich wie Prim, einfach ohne komplizierte Datenstruktur. Baue MST auf indem man mehrere Bäume vereinigt, bis nur noch ein grosser vorhanden ist. INPUT: gewichteter Graph G=(V,E,w) OUTPUT: Minimaler Spannbaum T=(V,E ) Algorithmus: T := {} //MST L := {} //Liste von Bäumen Teile G auf in V Teilbäume bestehend aus einem einzigen Knoten und füge diese in L hinein. while {L mehr als einen Baum hat} do for all Bäume S in L do Finde die kleinste Kante e welche S mit G\S verbindet. Füge e in T ein. end Verschmelze verbundene Bäume und aktualisiere L. end return T
22 Boruvka s Algorithmus Beispiel: A 1 B E 12 F 2 D C 8 GC 5 L:={{A},{B},{C},{D},{E},{F}}
23 Boruvka s Algorithmus Beispiel: A 1 B E 12 F 2 D C 8 GC 5 L:={{A,B,D},{C,E},{F,G}}
24 Boruvka s Algorithmus Beispiel: A 1 B E 12 F 2 D C 8 GC 5 L:={{A,B,C,D,E,F,G}}
25 Boruvka s Algorithmus Korrektheit folgt wiederum aus dem gleichen Lemma wie schon bei Kruskal und Prim. Laufzeit: Begründung O( E log V ) Anzahl Durchgänge O(log V ), da Bäume immer mind. doppelt so gross werden. In jedem Durchgang jeweils alle Knoten und alle Kanten ansehen: O( V + E )=O( E ) hier, da V 1 E V ( V +1)/2
26 Maximalen Spannbaum Jetzt seit ihr gefragt: Wie konstruiert man einen maximalen Spannbaum? Aufgabe 10.3a Durch Modifikation von Kruskal Aufgabe 10.3c Durch Modifikation des Graphen
27 Uralte Challenge Zu zeigen: Wenn n die Anzahl Wände sind im Museum, dann braucht es höchstens n/3 [abgerundet] Wachen.
28 Alte Challenge der Woche Ein sehr beliebtes Problem... Schreibt ein Programm in Eiffel, welches seinen eigenen Quellcode ausgibt, i.e. mit io.put_string(... ) Dabei ist nicht eine Datei schon irgendwo abgespeichert auf der man zugreifen kann Brauchen kann man (ohne zu modifizieren) alle Klassen der Eiffel-Base Der Quellcode kann irgendetwas sein, Hauptsache das Programm gibt ihn aus Und ja... keinen leeren Quellcode ;)
29 The Challenge Gegeben: Einen Zeiger zu einem mittleren Knoten einer einfach verketten Liste Aufgabe: Lösche diesen Knoten a b c d e f a b d e f
30 Fibonacci-Heap Fredman, Tarjan [18] amort. konstante Laufzeit für praktisch alle Operationen bis auf deletemin (i.e. das Minimum löschen)
31 Fibonacci-Heap Ein Fibonacci-Heap ist eine Sammlung von Bäumen, wobei der Schlüssel eines Kindes immer grösser oder gleich dem Elternschlüssel ist. Somit ist das Minimum die Wurzel irgend eines dieser Bäume
32 Fibonacci-Heap Der Name Fibonacci kommt daher, da die Grösse eines Teilbaums mit Wurzel vom Grad k mindestens F k+2 beträgt (wobei F k die k-te Fibonacci Zahl ist) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 3, 55, 8, 1, 233, 3, 610, 8, 15, 258, 181, 665, 106, 111, 2865, 6368, 5025, 12133, 1618, 31811
33 Fibonacci-Heap Bäume vom Grad 1 enstehen aus zwei Bäumen vom Grad 0: 2 2
34 Fibonacci-Heap Bäume vom Grad 2 enstehen aus zwei Bäumen vom Grad 1:
35 Fibonacci-Heap Bäume vom Grad 3 enstehen aus zwei Bäumen vom Grad 2:
36 Fibonacci-Heap Baum vom Grad 5:
37 Fibonacci-Heap Minimum bestimmen: Minimum Zeiger zeigt immer darauf. Laufzeit somit konstant
38 Fibonacci-Heap Einfügen: Neuen Knoten in die Wurzelliste einfügen. (Minimum Zeiger ändern falls nötig)
39 Fibonacci-Heap Minimum entfernen (3 Phasen) 1. die Kinder des minimalen Knotens abschneiden und zur Wurzelliste hinzufügen. Danach minimalen Knoten entfernen
40 Fibonacci-Heap Minimum entfernen (3 Phasen) 2. Verbinde Wurzeln vom selben Grad. (mithilfe eines Arrays, wo wir jeweils von links nach rechts die Wurzelknoten durchgehen, und bei einem leeren k-ten Eintrag (falls der aktuelle Wurzelknoten Grad k hat) einen Zeiger machen zum aktuellen Wurzelknoten, und bei einem vorhandenen Zeiger diesem folgen und die Wurzeln verbinden.)
41 Fibonacci-Heap Minimum entfernen (3 Phasen) 3. Suche das neue Minimum unter den Wurzelknoten - maximal O(log(n)) Wurzelknoten
42 Fibonacci-Heap Einen Schlüssel verkleinern Verkleinere den Schlüssel des Knotens zuerst. Ist der neue Schlüssel grösser/gleich dem Schlüssel des Elternknoten, dann muss nichts mehr gemacht werden
43 Fibonacci-Heap Einen Schlüssel verkleinern Verkleinere den Schlüssel des Knotens zuerst. Ist der neue Schlüssel hingegen kleiner als der Schlüssel des Elternknoten, dann schneidet man den Knoten ab und markiert den Elternknoten. Ist dieser auch schon markiert, schneidet man diesen auch ab. (dies geht so weiter bis man zur Wurzel kommt oder einen unmarkierten Knoten erreicht. Jeweils immer minimum Aktualiseren falls nötig)
44 Fibonacci-Heap Einen Schlüssel löschen Verkleinere den Schlüssel zuerst auf Lösche nun das Minimum
45 Fibonacci-Heap Frage an euch: Aufgabe 10.b Warum können nicht alle Heap-Operationen eine konstante amortisierte Laufzeit haben (wenn man nur Vergleichsbasierte Operationen zulässt)?
46 Fibonacci-Heap Frage an euch: Aufgabe 10.a Kann ein Fibonacci-Heap zu einer Struktur degenerieren, die genau noch einen Knoten in der Wurzelliste hat, an dem eine lineare Liste hängt?
47 Ende der Stunde. Questions?
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen
Mehr3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36
Mehr4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)
Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine
MehrGraphen: Datenstrukturen und Algorithmen
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.
MehrKapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:
MehrDatenstrukturen und Algorithmen SS07
Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datum: 27.6.2007 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Online Algorithmen Update von Listen Move to Front (MTF) Transpose Approximationen
MehrUndirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time
Universität Konstanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2001/02 Mikkel Thorup: Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer
Mehr8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
MehrAnmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
MehrVorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME
Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME 72 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten für eine Firma, die ein Neubaugebiet ans Netz (Wasser, Strom oder Kabel oder...) anschließt! Ziel: Alle Haushalte ans Netz bringen, dabei
MehrS=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J
Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung
MehrFully dynamic algorithms for the single source shortest path problem.
Fully dynamic algorithms for the single source shortest path problem. Michael Baur Wintersemester 2001/2002 Zusammenfassung Im folgenden Paper werde ich Algorithmen für das dynamische Kürzeste-Wege-Problem
MehrBabeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf
Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen
MehrKap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis
Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO DAP2 SS 2009 2./4. Juni 2009 1 2. Übungstest
MehrDer linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)
Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der
Mehr9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen
9.4 Binäre Suchbäume Erweiterung: Einfügen an der Wurzel Standardimplementierung: Der neue Schlüssel wird am Ende des Suchpfades angefügt (natürlich, weil zuerst festgestellt werden muss, ob der Schlüssel
Mehr13. Binäre Suchbäume
1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),
MehrAVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl:
AVL-Bäume Analyse (Folie 85, Seite 39 im Skript) Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: 0 falls n = 0 F n = 1 falls
MehrLiteratur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
MehrAlgorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
MehrDas Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
MehrSuchen und Sortieren Sortieren. Heaps
Suchen und Heaps (Folie 245, Seite 63 im Skript) 3 7 21 10 17 31 49 28 14 35 24 42 38 Definition Ein Heap ist ein Binärbaum, der die Heapeigenschaft hat (Kinder sind größer als der Vater), bis auf die
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume
Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Suchbaum
Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen
MehrCodierung, Codes (variabler Länge)
Codierung, Codes (variabler Länge) A = {a, b, c,...} eine endliche Menge von Nachrichten (Quellalphabet) B = {0, 1} das Kanalalphabet Eine (binäre) Codierung ist eine injektive Abbildung Φ : A B +, falls
MehrProgrammiertechnik II
Bäume Symboltabellen Suche nach Werten (items), die unter einem Schlüssel (key) gefunden werden können Bankkonten: Schlüssel ist Kontonummer Flugreservierung: Schlüssel ist Flugnummer, Reservierungsnummer,...
MehrSteinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering
Steinerbäume Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Verfasser Flamur Kastrati Betreuer Prof. Dr. habil. Thomas
MehrSortierverfahren für Felder (Listen)
Sortierverfahren für Felder (Listen) Generell geht es um die Sortierung von Daten nach einem bestimmten Sortierschlüssel. Es ist auch möglich, daß verschiedene Daten denselben Sortierschlüssel haben. Es
Mehr1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert
Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrDatenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012
Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Mathematische Grundlagen: Das Handwerkszeug Mariano Zelke Datenstrukturen 2/26 Formeln: n - i = n (n+1) 2 und - i=1 k i=0 a i = ak+1 1 a 1, falls a 1 Rechnen
Mehr5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)
5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!
MehrGrundlagen der Programmierung 2. Bäume
Grundlagen der Programmierung 2 Bäume Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 24. Mai 2006 Graphen Graph: Menge von Knoten undzugehörige (gerichtete oder ungerichtete)
MehrInformatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen
Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange
MehrGrundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny
Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.
Mehr2. Lernen von Entscheidungsbäumen
2. Lernen von Entscheidungsbäumen Entscheidungsbäume 2. Lernen von Entscheidungsbäumen Gegeben sei eine Menge von Objekten, die durch Attribut/Wert- Paare beschrieben sind. Jedes Objekt kann einer Klasse
MehrWiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen
Was bisher geschah abstrakter Datentyp : Signatur Σ und Axiome Φ z.b. ADT Menge zur Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) mehrerer Elemente desselben Typs Spezifikation einer Schnittstelle Konkreter
MehrAlgorithmik II. a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge 20, 28, 35, 31, 9, 4, 13, 17, 37, 25 ein.
Aufgabe 10 Binäre Bäume a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge, 28, 35, 31, 9, 4,, 17, 37, 25 ein. 1. Einfügen von : 3. Einfugen von 35: 2. Einfügen von 28: 28 28 10. Einfügen
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63
Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders
MehrKapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume
Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei
MehrEinführung in die Informatik: Programmierung und Software-Entwicklung, WS 11/12. Kapitel 13. Bäume. Bäume
1 Kapitel 13 Ziele 2 Den Begriff des Baums in der Informatik kennenlernen als verkettete Datenstruktur repräsentieren können Rekursive Funktionen auf n verstehen und schreiben können Verschiedene Möglichkeiten
MehrKürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik
Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrBalancierte Bäume. Martin Wirsing. in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer. http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06
Balancierte Bäume Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06 2 Ziele AVL-Bäume als einen wichtigen Vertreter balancierter
Mehr- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen:
6 Partiell geordnete binäre Bäume: Heap (Haufen) Motivation für manchen Anwendungen nur partielle Ordnung der Elemente statt vollständiger nötig, z.b. - Prioritätsschlange: nur das minimale (oder maximale)
MehrSeminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn
Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:
MehrDatenstrukturen und Algorithmen
Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden
MehrDatenbankanwendung. Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern. Wintersemester 2014/15. smichel@cs.uni-kl.de
Datenbankanwendung Wintersemester 2014/15 Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern smichel@cs.uni-kl.de Wiederholung: Anfragegraph Anfragen dieses Typs können als Graph dargestellt werden: Der
Mehr1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI
MehrPunktbeschriftung in Dynamischen Karten
Vorlesung Algorithmische Kartografie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann Martin Nöllenburg 28.05.2015 1 Übungen Nachtrag 1) Überlegen Sie sich, wie man den
MehrDatenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt
Algorithmen und Datenstrukturen 265 10 Binäre Suchbäume Suchbäume Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Kann als Wörterbuch, aber auch zu mehr eingesetzt werden (Prioritätsschlange)
Mehr6-1 A. Schwill Grundlagen der Programmierung II SS 2005
6-1 A. Schwill Grundlagen der Programmierung II SS 25 6. Suchen Suchen = Tätigkeit, in einem vorgegebenen Datenbestand alle Objekte zu ermitteln, die eine best. Bedingung, das Suchkriterium, erfüllen und
MehrBäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37
Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine Kreise enthält. Diese Graphen sind Bäume: Diese aber nicht:
MehrGliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten
Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und
Mehr2 Lösungen "Peptide de novo Sequencing"
Lösungen "Peptide de novo Sequencing". Algorithm : PeptideSequencingOnlySux Input: a spectrum M with array of masses M = {m, m,, m n }, Σ, µ : Σ R >0 Output: the peptide string of the spectrum begin peptide
Mehr15 Optimales Kodieren
15 Optimales Kodieren Es soll ein optimaler Kodierer C(T ) entworfen werden, welcher eine Information (z.b. Text T ) mit möglichst geringer Bitanzahl eindeutig überträgt. Die Anforderungen an den optimalen
MehrKap. 4.2: Binäre Suchbäume
Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:
MehrSeminarausarbeitung Entwurf und Analyse von Datenstrukturen. Splay Trees. Mirco Lukas und Alexander Werthmann. Datum: 26.06.2013
Julius-Maximilians-Universität Würzburg Institut für Informatik Lehrstuhl für Informatik I Effiziente Algorithmen und wissensbasierte Systeme Seminarausarbeitung Entwurf und Analyse von Datenstrukturen
MehrFibonacci-Heaps und Amortisierte Analyse
Kapitel 6 Fibonacci-Heaps und Amortisierte Analyse Der Fibonacci-Heap dient als eine Implementierung für die abstrakte Datenstruktur Priority Queue und wurde von Michael L. Fredman and Robert E. Tarjan
MehrSuchbäume. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung
Suchbäume Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik: http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-13-14/infoeinf WS13/14 Action required now 1. Smartphone: installiere die App "socrative
MehrAlgorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
MehrDie k kürzesten Wege in gerichteten Graphen
Die k kürzesten Wege in gerichteten Graphen Marc Benkert Wintersemester 001/00 1 Einführung 1.1 Problemstellung In einem gerichteten, gewichteten Graphen G = (V, E) sollen die k kürzesten Wege zu zwei
MehrAbschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse
Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher
MehrSortierte Folgen 250
Sortierte Folgen 250 Sortierte Folgen: he 1,...,e n i mit e 1 apple applee n kennzeichnende Funktion: M.locate(k):= addressof min{e 2 M : e k} Navigations Datenstruktur 2 3 5 7 11 13 17 19 00 Annahme:
MehrBäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37
Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine einfachen Kreise enthält. Bäume und Wälder 2 / 37 Bäume
MehrEine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder
Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element
Mehr4. Lernen von Entscheidungsbäumen. Klassifikation mit Entscheidungsbäumen. Entscheidungsbaum
4. Lernen von Entscheidungsbäumen Klassifikation mit Entscheidungsbäumen Gegeben sei eine Menge von Objekten, die durch /Wert- Paare beschrieben sind. Jedes Objekt kann einer Klasse zugeordnet werden.
Mehr1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit
Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs Worst-case-Laufzeit pt (a) Folgender Algorithmus löst das Problem der
MehrVorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 19.04.2011 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche
MehrCodierung. Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau
Codierung Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau Ein bisschen Informationstheorie Betrachten wir das folgende Problem: Wie lautet eine sinnvolle Definition für das quantitative
MehrName: Seite 2. Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort.
Name: Seite 2 Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort. Aufgabe 1 (8 Punkte) 1. Wie viele negative Zahlen (ohne 0) lassen sich im 4-Bit-Zweierkomplement darstellen?
MehrEndTermTest PROGALGO WS1516 A
EndTermTest PROGALGO WS1516 A 14.1.2016 Name:................. UID:.................. PC-Nr:................ Beachten Sie: Lesen Sie erst die Angaben aufmerksam, genau und vollständig. Die Verwendung von
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes
MehrAlgorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur
Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte 1 35 2 30 3 30 4 15 5 40 6 30 Gesamt 180 1 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse
MehrDie in den Suchverfahren konstruierten Graphen waren zusammenhängend und enthielten keine Kreise. Also vereinbaren wir:
Kapitel 4 Bäume und Matchings Wir haben im letzten Kapitel Bäume implizit als Ergebnis unserer Suchverfahren kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir diese Graphenklasse ausführlich untersuchen. 4.1
MehrAlignment-Verfahren zum Vergleich biologischer Sequenzen
zum Vergleich biologischer Sequenzen Hans-Joachim Böckenhauer Dennis Komm Volkshochschule Zürich. April Ein biologisches Problem Fragestellung Finde eine Methode zum Vergleich von DNA-Molekülen oder Proteinen
MehrVorkurs Informatik WiSe 15/16
Konzepte der Informatik Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, 16.10.2015 Technische Universität Braunschweig, IPS Inhaltsverzeichnis Suchen Binärsuche Binäre Suchbäume 16.10.2015 Dr. Werner
MehrBinäre Bäume Darstellung und Traversierung
Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Name Frank Bollwig Matrikel-Nr. 2770085 E-Mail fb641378@inf.tu-dresden.de Datum 15. November 2001 0. Vorbemerkungen... 3 1. Terminologie binärer Bäume... 4 2.
MehrAlgorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 04.06.2004 7. Vorlesung
Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 04.06.2004 7. Vorlesung 1 Kapitel III Skalierbare Peer to Peer-Netzwerke Tapestry von Zhao, Kubiatowicz und Joseph (2001) Netzw erke 2 Tapestry
MehrKapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
MehrHINWEISE ZUR ADS-KLAUSUR SS06 für BACHELOR (für beide Termine)
HINWEISE ZUR ADS-KLAUSUR SS06 für BACHELOR (für beide Termine) Für DIPLOMER gelten, wie bereits bekannt, die Bedingungen und Inhalte der Klausuren aus SS04 bzw. WS04/05 weiter klicken sie sich auf unserer
MehrLange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege
Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick
Mehrw a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2
1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba
MehrSuche in Spielbäumen Spielbäume Minimax Algorithmus Alpha-Beta Suche. Suche in Spielbäumen. KI SS2011: Suche in Spielbäumen 1/20
Suche in Spielbäumen Suche in Spielbäumen KI SS2011: Suche in Spielbäumen 1/20 Spiele in der KI Suche in Spielbäumen Spielbäume Minimax Algorithmus Alpha-Beta Suche Einschränkung von Spielen auf: 2 Spieler:
MehrUnterscheidung: Workflowsystem vs. Informationssystem
1. Vorwort 1.1. Gemeinsamkeiten Unterscheidung: Workflowsystem vs. Die Überschneidungsfläche zwischen Workflowsystem und ist die Domäne, also dass es darum geht, Varianten eines Dokuments schrittweise
MehrVorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz
Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz Datenstruktur BDD 1986 von R. Bryant vorgeschlagen zur Darstellung von aussagenlogischen Formeln (genauer: Booleschen Funktionen)
Mehr3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1
3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2015/16 12. Vorlesung Hashing Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I 2 Übungen Begründen Sie grundsätzlich alle Behauptungen außer die Aufgabe
MehrNP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)
NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen. Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer
Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer Diese Folien Braucht man nicht abzuschreiben Stehen im Netz unter www.ibr.cs.tu-bs.de/courses/ws0910/aud/index.html Kleine Übungen
MehrTeil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29
1 29 Teil III: Routing - Inhalt I Literatur Compass & Face Routing Bounded & Adaptive Face Routing Nicht Ω(1) UDG E. Kranakis, H. Singh und Jorge Urrutia: Compass Routing on Geometric Networks. Canadian
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
Mehr16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
MehrBäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume.
Universität Osnabrück 1 Bäume 3 - Objektorientierte Programmierung in Java Vorlesung 10: Collections 4 Einführung Bäume sind verallgemeinerte Listenstrukturen Lineare Liste Jedes Element hat höchstens
MehrInformatik II. PVK Part1 Severin Wischmann wiseveri@student.ethz.ch n.ethz.ch/~wiseveri
Informatik II PVK Part1 Severin Wischmann wiseveri@student.ethz.ch n.ethz.ch/~wiseveri KAUM JAVA Kaum Java Viel Zeit wird für Java-spezifisches Wissen benützt Wenig wichtig für Prüfung Letztjähriger Assistent
MehrTutorium Algorithmen & Datenstrukturen
June 16, 2010 Binärer Baum Binärer Baum enthält keine Knoten (NIL) besteht aus drei disjunkten Knotenmengen: einem Wurzelknoten, einem binären Baum als linken Unterbaum und einem binären Baum als rechten
Mehr