Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

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1 Zentrale chriftliche Abiturprüfungen i Fach Matheatik Analyi Grundkur Aufgabe 5: Helikopter In der Abbildung it ein Auchnitt de Graphen einer quadratichen Funktion zu ehen, der i Zeitinterall on 0 bi 60 die Gechwindigkeit eine Helikopter in enkrechter Richtung (alo ein Steigen bzw. Sinken) bechreibt. Die waagerechte Ache tellt dait die Zeit t in dar, die enkrechte Ache die Steig- bzw. Sinkgechwindigkeit in / t a) Zeigen Sie anhand der Inforationen au de gegebenen Diagra, da der gezeigte Graph zur Funktion () t = t² + t gehört. Bechreiben Sie da Flugerhalten in der Zeit on 0 bi 60. Gehen Sie dabei auf die Nulltellen und den Hochpunkt on ein. b) Begründen Sie, da i gegebenen Diagra die Fläche zwichen der t-ache und de Graphen der Funktion die Dienion einer Länge dartellt. Skizzieren Sie die For eine zu diee Steigorgang paenden Höhe-Zeit-Diagra. Sie brauchen dabei die genaue Einteilung der enkrechten Ache (alo der Höhe) nicht durchzuführen. Die on Ihnen kizzierte Funktion und die Funktion tehen in eine atheatichen Zuaenhang. Geben Sie dieen Zuaenhang an. c) Da abgebildete Steiggechwindigkeit-Zeit-Diagra kann zu ielen Fluganöern gehören. Nennen Sie Geeinakeiten und Unterchiede der Flugbahnen (alo der Höhe-Zeit-Diagrae). d) Berechnen Sie für die Zeit on 0 bi 60 den Geathöhenunterchied, den der Helikopter durchfliegt und eine durchchnittliche Steiggechwindigkeit. Nehen Sie jetzt an, der Helikopter tartet i Zeitpunkt t = 0 o Flugfeld (alo h (0) = 0 ). Ein kleine otoriierte Flugobjekt (eine o genannte Drohne), die eine Kaera trägt, teigt ebenfall o Flugfeld nach folgender Funktiongleichung auf: h () t = ( t 30) + 120, wobei wiederu t die Zeit in Sekunden bechreibt, () h t die Flughöhe in Metern angibt und die Steiggechwindigkeit erchiedene Werte (jeweil in /) annehen kann. Diee Aufteig-Funktion it o gewählt, da die Drohne bei t = 30 eine Höhe on 120 erreicht; Drohne und Helikopter tarten nicht unbedingt gleichzeitig. 29

2 Analyi Grundkur Zentrale chriftliche Abiturprüfungen i Fach Matheatik e) Bechreiben Sie die öglichen Flugbahnen der Drohne i Vergleich / i Unterchied zu Helikopter. Interpretieren Sie die Bedeutung de Paraeter. Zeichnen Sie in Ihr Höhe-Zeit-Diagra indeten zwei ögliche Höhe-Zeit-Funktionen für die Drohne. Zeigen Sie, da Helikopter und Drohne ich unabhängig on zu Zeitpunkt t = 30 auf gleicher Höhe befinden. f) Geben Sie die Steiggechwindigkeit der Drohne an, oda Drohne und Helikopter zu genau eine Zeitpunkt die gleiche Steiggechwindigkeit aufweien. Können die Flugobjekte auch an ehreren Zeitpunkten die gleiche Steiggechwindigkeit haben? Begründen Sie Ihre Antwort. Alternatie Teilaufgabe g) Eine Drohne oll ebenfall auf de Flugfeld tarten und ich genau nach 15 Sekunden neben de Helikopter befinden, u den Helikopter on der Seite zu fotografieren. Betien Sie die erforderliche Drohnen-Steiggechwindigkeit, den Zeitpunkt, zu de die Drohne tarten u, owie die Höhe, in der ich die Drohne neben de Helikopter befindet. Begründen Sie: Kann diee Drohne auf ihre Flug noch ehr Bilder liefern, bei denen ie genau neben de Helikopter it? 30

3 Zentrale chriftliche Abiturprüfungen i Fach Matheatik Analyi Grundkur Erwartunghorizont Löungkizze a) Die Funktion it nach Vorauetzung eine ganzrationale Funktion 2. Grade it Nulltellen bei t = 0 und t = 60 owie de Scheitelpunkt S (30 6). Darau ergibt ich die gegebene Funktiongleichung. Der Helikopter teigt in der geaten Zeit zwichen t = 0 bi t = 60. An den beiden Grenzen de betrachteten Zeitinterall it jeweil die Steiggechwindigkeit Null (der Helikopter beginnt und erharrt an Schlu alo bei kontanter Höhe). Die Steiggechwindigkeit nit in den erten 30 Sekunden zu und erreicht zur Hälfte der Zeit, alo bei t = 30, ihren Maxialwert on 6 /. Danach nit ie yetrich in der Zeit wieder ab. Hinwei: Die Bechreibung Die Änderung der Steiggechwindigkeit, alo die Steigbechleunigung, erläuft linear, beginnt bei eine poitien Wert, it bei t = 30 Null und dann negati wird nicht erwartet b) Die Einheit der t-ache it 1, die der -Ache it 1 /. Eine Fläche i Diagra hat al Einheit da Produkt der Einheiten der Achen, alo hier die Einheit 1 ; dait it die Dienion die einer Länge. Hinwei: Eine Arguentation wie: Die Dienion der t-ache it die der Zeit, die der -Ache die einer Gechwindigkeit. Da Weg = Gechwindigkeit Zeit, hat die Fläche die Dienion eine Wege kann noch akzeptiert werden) Ein zugehörige h(t)-diagra (da it h(0) = 0) ieht o au: Der Zuaenhang it : Jede ögliche Funktion h it eine Stafunktion on ; al Bechreibung der zeitlichen Änderung on h it die Ableitungfunktion jeder öglichen h Funktion

4 Analyi Grundkur Zentrale chriftliche Abiturprüfungen i Fach Matheatik Löungkizze c) Alle Flugbahnen, die der gegebenen () t -Funktion entprechen, haben daelbe Höhenprofil, ihre h(t)-funktionen ind alo bi auf die Anfanghöhe gleich. Hinwei: Inbeondere ind die Geathöhendifferenz zur Auganghöhe und die Differenz zur Auganghöhe zu jede Zeitpunkt für jede der öglichen Flugbahnen gleich. 10 d) 1 1 Eine Stafunktion zu it h () t = t³ + t² Die Geathöhendifferenz it h (60) h (0) und ergibt ich zu 240. Dait it die durchchnittliche Steiggechwindigkeit = 4. Wenn an it de Integral arbeitet, o lautet der Anatz end 1 = () t dt t t. end anf tanf t tend Da tanf = 0 und tend = 60 owie ( t) dt = h ( tend ) h ( tanf ), tanf ergeben ich die oben aufgeführten Werte. 15 e) Die Drohne hat grundätzlich ein lineare Steigerhalten, ihr Höhengewinn it alo (o Beginn de bechriebenen Vorgang an) proportional zur ergangenen Zeit. I h( t) Diagra it diee Steigerhalten ier durch eine Gerade wiedergegeben. Der Helikopter hingegen teigert einen Höhengewinn bi t = 30, dann chwächt ich der Höhenzuwach wieder ab, bi ich bei t = 60 die Höhe nicht ehr ändert. Die Steiggechwindigkeit it die Steigung der die Flugbahn bechreibenden Geraden. Aufgrund der Aufgabentellung it die Gechwindigkeit eine poitie Größe. Da folgende Diagra enthält zuätzlich zur chon gezeigten Flugbahn de Helikopter drei ögliche Flugbahnen der Drohne, und zwar für die Gechwindigkeiten = 2, = 4 und = 5 :

5 Zentrale chriftliche Abiturprüfungen i Fach Matheatik Analyi Grundkur Löungkizze Grundätzlich gilt h (30) = 120. Die oben gegebene Stafunktion h it genau die Stafunktion, die den Helikopter zu Zeitpunkt t = 0 auf de Boden tarten lät, und e ergibt ich h (30) = f) Nur bei Maxiu der -Funktion (Scheitelpunkt) hat der entprechende Funktionwert nur ein Urbild; alle anderen Steiggechwindigkeiten de Helikopter in eine Bereich (alo [ 0,6] ) tauchen zweial auf. Wenn die Drohne alo it = 6 teigt, haben die beiden Objekte zu genau eine Zeitpunkt dieelbe Steiggechwindigkeit nälich 6 /. Dezufolge hat die Drohne zweial dieelbe Steiggechwindigkeit wie der Helikopter, wenn ihre Steiggechwindigkeit zwichen 0 / und 6 / liegt (letzterer Wert it augechloen) g) Hier üen die Tere der Höhenfunktionen gleichgeetzt werden: 1 1 ( 15) = 15³ + 15² E ergibt ich = 5,5 ; die Drohne u alo eine Steiggechwindigkeit on 5,5 / haben. Dait it die gefragte Höhe 37,5. U die Starterzögerung zu errechnen, u die Gleichung 0 = 5,5 ( t Start 30) gelöt werden. 2 E ergibt ich t Start = 8 8, Al Konequenz au e) wird die Drohne auch nach 30, in einer Höhe on 120, unittelbar neben de Helikopter ein. Sie wird al Konequenz der Syetrie aber auch noch ein dritte Bild liefern können, und zwar 45 nach Start de Helikopter in einer Höhe on 203,5. (10) (10) Ingeat 100 BWE