Kombinatorische Optimierung

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1 Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 VORLESUNG 10 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 2

3 Literatur! Ulf Lorenz: Optimierung I. Vorlesungsfolien, Universität Paderborn.! Bertsimas, Tsitsiklis: Introduction to Linear Optimization.! Korte, Vygen: Kombinatorische Optimierung. Theorie und Algorithmen.! Hromkovic: Algorithmics for Hard Problems. Introduction to Combinatorial Optimization, Randomization, Approximation and Heuristics. 3

4 Beispielprobleme Futtermischung gegeben: Sojamehl Mais Anforderung Anteil im Futter in % % 4% 14% 56% 13% 30% Futter / kg Sojamehl 0,90 Mais 0,30 Mindestmenge Futter / Tag 800 kg 0 Ballaststoffe (max) Protein (min) Futterbestandteile Gesucht: Mischung, die die Nebenbedingungen erfüllt und minimale Kosten verursacht. 4

5 Formulierung mit Ungleichungen Þ Lineares Optimierungsmodell: min 0,9 x s + 0,3 x m (z) so dass x s + x m 800 (a) 0,17 x s + 0,04 x m 0,14(x s + x m ) (b) 0,56 x s + 0,13 x m 0,30(x s + x m ) (c) x s, x m 0 wobei: x s Menge an Sojamehl in kg x m Menge an Mais in kg x s und x m heißen Entscheidungsvariablen (a), (b), (c) (z) Nebenbedingungen Zielfunktion 5

6 Graphische Lösung x s + x m 800 (a) 0,17 x s + 0,04 x m 0,14(x s + x m ) (b) 0,56 x s + 0,13 x m 0,30(x s + x m ) (c) min 0,9 x s + 0,3 x m x s 1000 zulässiger Bereich (c) (z) bei (x m, x s ) = (484, 316) 0,3x m + 0,9x s = 429,6 (b) (a) x m (z) bei (x m, x s ) = (0, 0) 0,3x m + 0,9x s = 0 6

7 Lineares Programm (kanonische Form)! Definition: Problem LP (Lineares Programm in kanonischer Form)! Gegeben: Matrix A 2 R mxn, Spaltenvektoren b 2 R m, c 2 R n! Gesucht: x 2 R n 0 mit Ax b und c T x maximal! Beispiel: b 1 b 2 A x b c (c 1,c 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 max 7

8 Umwandlung in kanonische Form c T x min -c T x max 8

9 Aufgabe! Modellieren Sie das! Maximaler-Fluss-Problem! als LP! in kanonischer Form! 9

10 Standardform der linearen Optimierung (L S ) Max. F(x) :=! Auch hier gilt: A 2 R mxn, b 2 R m, c 2 R n sowie x 2 R n 0! Diese Darstellung ist wichtig, da sie für analytische Betrachtungen rechentechnische Vorteile bietet.! Gleichungen lassen sich oftmals besser handhaben als Ungleichungen. 10

11 Umwandlung Von kanonischer Form in Standardform! Sei (L K ) ein LP in kanonischer Form: max c T x u.d.n. x 0 und Ax b.! Durch Einführung so genannter Schlupfvariablen lässt sich ein (L K ) in ein (L S ) überführen.! Beispiel Futtermittel: max 0,9 x 1 0,3 x 2 so dass x 1 x ,03 x 1 0,10 x 2 0-0,26 x 1 + 0,17 x 2 0 x 1, x 2 0 n Strukturvariablen m Schlupfvariablen max 0,9 x 1 0,3 x 2 so dass x 1 x 2 + x 3 = 800 0,03 x 1 0,10 x 2 + x 4 = 0 0,26 x 1 + 0,17 x 2 + x 5 = 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x

12 Umwandlung Von kanonischer Form in Standardform! Sei (L K ) ein LP in kanonischer Form: max c T x u.d.n. x 0 und Ax b. A := (A,E), b := b, c := c, x := 0 Dann wird durch max c T x u.d.n. x 0 und Ax = b ein Optimierungsproblem in Standardform (L S ) beschrieben.! Folgerung: (L K ) und (L S ) sind äquivalente Darstellungen. x x S Sei x eine Lösung von (L S ). Dann ist x Lösung von x c T x = ( c T, 0 T ) = c T x + 0 T x S = c T x. x S x Andererseits: Sei x Lösung von Ax -Ax+b x Dann ist x eine Lösung von (L S ): Ax = (A,E) = Ax Ax + b = b = b, -Ax+b offensichtlich ebenfalls mit c T x =c T x. 12

13 Polyeder konvexe Menge nicht konvexe Menge! Definition: Eine Menge S ½ R n ist konvex, falls für alle x, y 2 S und jedes 2 [0, 1] gilt: x + (1- )y 2 S! Definition: Ein Polyeder ist eine Menge, die sich in der Form {x 2 R n Ax b} schreiben lässt.! Behauptung: Der Lösungsraum eines LP ist ein konvexes Polyeder. 13

14 Theorem 1. Der Durchschnitt konvexer Mengen ist konvex. 2. Jedes Polyeder ist eine konvexe Menge. 3. Eine Konvexkombination einer endlichen Zahl von Elementen einer konvexen Menge gehört auch zu dieser Menge. 4. Die konvexe Hülle (Menge der Konvexkombinationen) einer endlichen Zahl von Vektoren ist eine konvexe Menge. 14

15 Konvexes Polyeder als Schnitt! Man kann ein konvexes Polyeder als Schnitt von Halbräumen oder Hyperebenen definieren: x j -Hyperebene ( n-1 ): x j = 0 x j -Halbraum ( n ): x j 0 zulässiger Bereich: Schnitt aller Halbräume Ecke: Schnitt von n Hyperebenen 15

16 Hyperebenen und Halbräume Hyperebenen im R n+1 sind Halbräume im R n Gleichungen und Ungleichungen x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 x 1 0 x x 1 1 x 1 0 x 1 = 1 x 3 =1 x 3 x 2 x 1 + x 3 = 1 x 1 0 x 2 0 x x 1 1 x 1 = 1 x 1

17 Der Simplex-Algorithmus Historie! 1939: Der russische Mathematiker Leonid Kantorowitsch beschreibt lineare Optimierung in Mathematische Methoden in der Organisation und Planung der Produktion ; Bedeutung verkannt, erst 1975 Nobelpreis für Kantorowitsch.! 1947: Durchbruch durch George Dantzigs Simplex-Algorithmus. Mit ihm verbindet man den Begriff der linearen Optimierung. Interesse zunächst von US Air Force. Neumann und Morgenstern entwickelten das Verfahren weiter.! seit den 1950ern: Computereinsatz und immer größere Probleminstanzen. Lineare Optimierung heute viel im Einsatz bei Wirtschaftsmodellierungen. 17

18 Notation Sei Max. F(x) := ctx u.d.n Ax = b x 0.! Das LP habe n Zeilen und m Spalten.! Annahme: Rang(A) = n! Dann: Basis: n linear unabhängige Spaltenvektoren a :,1,...,a :,n Basisvariablen (BV): x 1,...,x n Nichtbasisvariablen (NBV): alle anderen Komponenten von x (primal zulässige) Basislösung: NBV = 0, BV = konstanter Term 18

19 Beispiel Lineares Optimierungsmodell max 2x 1 + 1,5x 2 = z so dass 2x 1 + x 2 + x 3 = 1000 (a) x 1 + x 2 + x 4 = 800 (b) x 1 + x 5 = 400 (c) x 2 + x 6 = 700 (d) x 1, x 2, x 3,x 4,x 5,x 6 0 Ausgangsbasis NBV: x 1 = 0, x 2 = 0 BV: x 3 = 1000, x 4 = 800, x 5 = 400, x 6 = 700 z = 0 19

20 Der Simplex-Algorithmus Geometrische Formulierung! Schritt 1 (Initialisierung):! Beginne mit einer beliebigen Ecke v des Polyeders P.! Schritt 2 (Optimalitätstest):! Falls es keine verbessernde Kante inzident zu v in P gibt: stop, v ist optimal; sonst weiter mit Schritt 3.! Schritt 3 (Verbesserungsschritt):! Folge einer beliebigen verbessernden Kante e inzident zu v. Falls e unbeschränkt ist: stop, denn das LP ist unbeschränkt.! Sei u inzident zu v durch e. Setze v = u.! Gehe zu Schritt 2. 20

21 Simplex als Eckenläufer Optimale Lösung Startlösung [ 21

22 Der Simplex-Algorithmus Algebraische Formulierung! Schritt 1 (Initialisierung):! Beginne mit einer zulässigen Basis.! Schritt 2 (Optimalitätstest):! Falls alle Koeffizienten der Zielfunktion < 0: stop, sonst Schritt 3.! Schritt 3 (Basiswechsel):! Wähle eine Variable x i der Zielfunktion, deren Koeffizient positiv ist.! Suche die Zeile, die eine Erhöhung von x i am stärksten beschränkt.! Rechne das Gleichungssystem auf die neue Basis um.! Gehe zu Schritt 2.! Beh.: Durch den Basentausch springt der Simplex-Algorithmus von einer Ecke des konvexen Polyeders zur nächsten. 22

23 Beispiel Lineares Optimierungsmodell max 2x 1 + 1,5x 2 = z so dass 2x 1 + x 2 + x 3 = 1000 (a) x 1 + x 2 + x 4 = 800 (b) x 1 + x 5 = 400 (c) x 2 + x 6 = 700 (d) x 1, x 2, x 3,x 4,x 5,x 6 0 Ausgangsbasis NBV: x 1 = 0, x 2 = 0 BV: x 3 = 1000, x 4 = 800, x 5 = 400, x 6 = 700 z = 0 23

24 Simplex-Durchführung Iteration 1: 2. Pivot-Spalte (Aufnahmeregel) 1. Umformen z = 0 + 2x 1 + 1,5x 2 Zielfunktionszeile x3 = x 1 - x 2 x4 = x 1 - x 2 x5 = x 1 x6 = x 2 x x x x 1 + min 3. Eliminationsregel NBV: x 2 = 0, x 5 = 0 BV: x 1 = 400, x 3 = 200, x 4 = 400, x 6 = 700 z = Umformen: x 1 = x 5 37

25 Simplex-Durchführung Graphische Veranschaulichung von Iteration 1 x a: Phase II Iteration 1 b: Phase II Iteration 2 c: Phase II Iteration optimale Lösung c 100 zulässiger Bereich b Isogewinngerade a x 1 25

26 Simplex-Durchführung Iteration 1, Umformung des Gleichungssystems: vorher x 1 = x 5 z = 0 + 2x 1 + 1,5x 2 x 5 = x 1 x 3 = x 1 - x 2 x 4 = x 1 - x 2 x 6 = x 2 zwischendurch z = 0 + 2(400 - x 5 ) + 1,5x 2 x 1 = x 5 x 3 = (400 - x 5 ) - x 2 x 4 = (400 - x 5 ) - x 2 x 6 = x 2 nachher z = x 5 + 1,5x 2 x 1 = x 5 x 3 = x 5 - x 2 x 4 = x 5 - x 2 x 6 = x 2 26

27 Simplex-Durchführung Iteration 2: Umgeformt: x 1 z = x 5 + 1,5x 2 x 1 = 400 x 5 x 3 = x 5 x 2 x 4 = x 5 x 2 x 6 = 700 x 2 x 2 + x x x min NBV: x 3 = 0, x 5 = 0 BV: x 1 = 400, x 2 = 200, x 4 = 200, x 6 = 500 z = 1100 Umformen: x 2 = x 5 x 3 27

28 Simplex-Durchführung Iteration 3, Umformung des Gleichungssystems: Umgeformt z = x 5 1,5x 3 x 1 = 400 x 5 x 2 = x 5 x 3 x 4 = 200 x 5 + x 3 x 6 = x 5 + x 3 x x 5 + x x min NBV: x 3 = 0, x 4 = 0 BV: x 1 = 200, x 2 = 600, x 5 = 200, x 6 = 100 z = 1300 Umformen: x 5 = x 3 x 4 28

29 Simplex-Durchführung Terminierung Umgeformt: z = 1300 x 4 0,5 x 3 x 1 = x 4 x 3 x 2 = x 4 + x 3 x 5 = 200 x 4 + x 3 x 6 = x 4 x 3 nur negative Koeffizienten optimale Lösung gefunden: x 1 = 200, x 2 = 600 z =

30 Zusammenfassung! Lineare Programme häufig geeignete Modellierung von Optimierungsproblemen! Verschiedene Darstellungen sind äquivalent:! Kanonische Form! Standardform! Lösungsraum ist konvexes Polyeder! Optimum finden:! Graphisch: Hyperebene in Richtung c verschieben, bis das Polyeder gerade noch berührt wird! Simplex-Algorithmus: Ecken des Polyeders mit lokaler Suche ablaufen 30