Informatik 3 Übung 09 Georg Kuschk

Transkript

1 Informatik 3 Übung 09 Georg Kuschk 9.1) Das Tupel ( {1,2,3,5,6,10,15,}, kgv, ggt, inv,, 1 ) mit inv()=/ ist eine boolesche Algebra, wenn für alle,y,z M folgende 7 Regeln gelten ( Zur besseren Übersicht werden allerdings zuerst die gegebenen Operationssymbole mit den folgenden Operationssymbolen gleichgesetzt kgv(,y) = +y, ggt(,y) = *y, inv() = ) 1.) Idempotenz + = und * = kgv(,) = trivialerweise ggt(,) = trivialerweise Idempotenz erfüllt 2.) Kommutativität +y = y+ und *y = y* kgv(,y) = kgv(y,) trivialerweise ggt(,y) = ggt(y,) trivialerweise Kommutativität erfüllt (Reihenfolge der Operanden ist egal) 3.) Assoziativität *(y*z) = (*y)*z und +(y+z) = (+y)+z Zeigen, dass ggt(, ggt(y,z) ) = ggt( ggt(,y), z ) gilt (*1) Sei d=ggt( ggt(,y), z ). Dann gilt nach der Definition des ggt d ggt(,y), also d und d y, und d z. Es gilt also d ggt (y,z) und weiterhin d ggt(, ggt(y,z) ). D.h. die rechte Seite der Gleichung (*1) teilt die linke Seite. Umgekehrt gilt Sei d=ggt(, ggt(y,z) ). Dann gilt nach der Definition des ggt d und d ggt(y,z), also d y und d z Es gilt also d ggt(,y) und weiterhin d ggt( ggt(,y), z ). D.h. es teilt auch die linke Seite der Gleichung (*1) die rechte Seite. Noch zeigen, dass kgv(, kgv(y,z) ) = kgv( kgv(,y), z ) gilt kgv( kgv(,y), z ) = kgv( *y/ggt(,y), z ) = *y*z / ggt( ggt(,y), z ) = *y*z / ggt(, ggt(y,z) ) = kgv(, y*z/ggt(y*z) ) = kgv(, kgv(y,z) ) Assoziativität erfüllt 4.) Absorption +(*y) = und *(+y) = Zuerst zeigen, dass kgv(, ggt(,y) ) = Sei d=kgv(, ggt(,y) ). Es gilt d. Umgekehrt Sei a=ggt(,y). Wegen kgv(,a) gilt also kgv(, ggt(,y) ). Als zweites noch zeigen, dass ggt(, kgv(,y) ) = Sei d=ggt(, kgv(,y) ). Es gilt d. Umgekehrt gilt wegen und kgv(,y) ggt(, kgv(,y) ). Absorptionsgesetze erfüllt

2 5.) Distributivität *(y+z) = (*y)+(*z) und +(y*z) = (+y)*(+z) Zuerst zeigen, dass ggt(, kgv(y,z) ) = kgv( ggt(,y), ggt(,z) ) Es sei die linke Seite d=ggt(, kgv(y,z) ) und die rechte Seite e=kgv( ggt(,y), ggt(,z) ). Wegen ggt(,y) und ggt(,z) gilt e. Ebenso lässt sich folgern e kgv(y,z) und somit e d. Umgekehrt gilt Wegen y kgv(y,z) und z kgv(y,z), gilt auch ggt(,y) d und ggt(y,z) d und somit d e. kgv(, ggt(y,z) ) = ggt( kgv(,y), kgv(,z) ) analog. Distributivität erfüllt 6.) Neutrale Elemente +1= und += und *= und *1=1 kgv(,1) = trivial kgv(,) =, da und ggt(,) =, da und ggt(,1) =1 trivial Gesetze der neutralen Elemente erfüllt 7.) Komplement * = 1 und + = Beweise * = 1 kann man einfach zeigen, indem man die 4 verschiedenen Möglichkeiten für ggt (, ) aufzählt ggt(,1) = 1 ggt(15,2) = 1 ggt(10,3) = 1 ggt(6,5) = 1 Wegen der Kommutativität gibt es keine weiteren möglichen verschiedenen Operandenpaare. + = zeigt man mit der Beziehung kgv(,y) = *y / ggt(,y) ggt(,/ ) 1 kgv(, / ) = = = auch diese Regel ist erfüllt Somit ist das gegebene Tupel eine boolesche Algebra. Die Atome sind die Primzahlen 2,3,5.

3 9.2 a) Zuerst zeigen, dass ( y) + ( z) ( y + z) Es gilt y sowie y y y + z Mittels der Idempotenz folgt y ( y + z) (*1) Analog gilt z sowie z z y + z z ( y + z Mittels der Idempotenz folgt ) (*2) Aus (*1) und (*2) folgt wegen Idempotenz q.e.d. ( y) + ( z) ( y + z) Als zweites zeigen, dass + ( y z) ( + y) Es gilt + y und + z, woraus folgt ( + y) (*3) Desweiteren gilt y z y + y und y z z + z, woraus folgt y z ( + y) (*4) Aus (*3) und (*4) folgt wegen Idempotenz + ( y z) ( + y) q.e.d. 9.2 b) a,b sind Atome der Menge M. Nach Definition ist also 0 Ebenso für b 0 a und für alle c M gilt a c = a oder a c = 0 b und für alle c M gilt b c = b oder b c = 0 Zeigen, dass a b 0 a = b " " Nach Definition und Kommutativität gilt a b = a und b a = a b = b. Hieraus folgt unmittelbar a = b. " " Es gilt a 0 und b 0 sowie a = b. Wegen Idempotenz gilt a b = a a = a 0. Q.e.d. s 9.2 c) I.) Zeigen, dass für jedes M gilt + 0 =, +1 = 1, 0 = 0, 1= + 0 =, da 0 = ' +1 =1, da 1 0 = 0, da 0 1 =, da + '= 1 II.) Zeigen, dass aus y folgt y'= 0 und + y'= 1 y y = ( z) ( y z) = ( y) ( z z) = z z y z für alle z aus M also insbesondere auch für z = y' y' y y' y'= 0 (da y y'= 0 ) q.e.d. für alle,y aus M. y + y = y ( + z) + ( y + z) = ( + y) + ( z + z) = + z

4 y + z + z für alle z aus M also insbesondere auch für z = y' y + y' + y' + y'= 1 (da + y'= 1 y ) q.e.d. III.) Zeigen, dass Consensus-Regeln gelten???

5 9.3) Angenommen, es sei möglich eine boolesche Algebra über einer ungeraden Anzahl von Elementen unter Einsatz beliebiger binärer und unärer Operationen zu konstruieren. ( M, +,, ',1,0) sei eine solche, beliebige Algebra mit den beliebigen binären Operationen " + " und " ", der beliebigen unären Operation " ' ", dem Einselement 1 und dem Nullelement 0. Die Menge M muss also eine ungerade Anzahl von Elementen enthalten. Da die Eindeutigkeit des Komplements eines Elements aus M gewährleistet sein muss, kann die unäre Operation ein Element aus M also nur auf sich selbst abbilden. D.h. es muss gelten = '. Desweiteren müssen aber auch die Gesetze der 0 und = +1 =1 1= 0 = 0 erfüllt sein, sowie die Komplement-Regeln + '=1 '= 0 Wählt man jedoch z.b. = 0, so gilt nach den Gesetzen der 0 und = d. h = 0 Komplement-Regeln + ' = 1 d. h = 1 Da beide Gesetze erfüllt sein müssen, liegt hier ein Widerspruch vor, d.h. die Annahme ist falsch und es ist nicht möglich eine boolesche Algebra über einer ungeraden Anzahl von Elementen unter Einsatz beliebiger binärer und unärer Operationen zu konstruieren.