Einführung Mathematik Algorithmen Rekorde. Rubik s Cube. Höllinger, Kanzler, Widmoser WS 2016/17
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- Albert Burgstaller
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1 WS 2016/17
2 1 Einführung -Erfinder -Aufbau -Variationen 2 Mathematik -Permutationen -Singmaster Notation -Gruppentheorie -Zykelschreibweise 3 Algorithmen -Gottes Algorithmus -Thistlethwaite s Algorithmus -Kociemba s Algorithmus -Korf s Algorithmus 4 Rekorde
3 Erfinder: Name: Ernó Rubik geboren: 13.Juli 1944 in: Budapest, Ungarn Beruf: Architekt und Bildhauer [1]
4 Was ist ein? Der auch Zauberwürfel genannt ist ein Drehpuzzle.
5 Was ist ein? Der auch Zauberwürfel genannt ist ein Drehpuzzle. Ziel ist es bei einem verdrehten Würfel (Bsp. Bild rechts), die Seiten so lange zu rotieren, bis sich auf jeder Seite genau eine Farbe befindet. [1]
6 Aufbau: Standardwürfel Maße: Besteht aus 6 verschiedenen Farben
7 Aufbau: Standardwürfel Maße: Besteht aus 6 verschiedenen Farben 6 Mittelsteine (einfarbig) [2]
8 Aufbau: Standardwürfel Maße: Besteht aus 6 verschiedenen Farben 6 Mittelsteine (einfarbig) [2] 12 Kantensteine (zweifarbig) [2]
![[2] 12 Kantensteine](/docs-images/70/62900793/images/9-2.jpg "(zweifarbig) [2] 8")
9 Aufbau: Standardwürfel Maße: Besteht aus 6 verschiedenen Farben 6 Mittelsteine (einfarbig) [2] 12 Kantensteine (zweifarbig) [2] 8 Ecksteine (dreifarbig) [2]
10 Variationen: verschiedene Typen und Größen [3]
11 Variationen: verschiedene Typen und Größen [3] Größter Würfel der Welt [4] [5] Dogic (schwerstes Drehpuzzle)
12 Wir beziehen uns heute nur auf die Standardversion: [6]
13 1 Einführung -Erfinder -Aufbau -Variationen 2 Mathematik -Permutationen -Singmaster Notation -Gruppentheorie -Zykelschreibweise 3 Algorithmen -Gottes Algorithmus -Thistlethwaite s Algorithmus -Kociemba s Algorithmus -Korf s Algorithmus 4 Rekorde
14 Permutationen (1) 8! !
15 Permutationen (1) 8! ! Weder kann man nur 2 Kanten oder nur 2 Ecken vertauschen, d.h. die Anzahl der paarweisen Vertauschungen muss immer gerade sein. - Wird eine Kante gekippt, wird immer auch eine andere Kante gekippt. Nur die Hälfte der Kanten Orientierung ist möglich. - Nur ein Drittel der Ecken Orientierung ist möglich (3 Seiten).
16 Permutationen (2) Anzahl der verschiedenen Stellungen 8! ! =
17 Permutationen (2) Anzahl der verschiedenen Stellungen 8! ! = sek wären ca. 300x das Alter der Erde ( sek)
18 Permutationen (2) Anzahl der verschiedenen Stellungen 8! ! = sek wären ca. 300x das Alter der Erde ( sek) - Erdoberfläche: 510 Millionen km 2 = cm 2 Würfel mit 5.75cm Kantenlänge hat also ca. 33cm 2. D.h. man bräuchte also ca viele Würfel um die Erde zu bedecken.
19 Singmaster Notation / Basis Drehungen U (Up) U D (Down) F (Front) B (Back) L (Left) B L F B R (Right) R (Im Uhrzeigersinn) D
20 Gruppentheorie (1) Sei G eine Menge und eine zweistellige Operation auf G, dann nennt man das Paar (G, ) eine Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt werden:
21 Gruppentheorie (1) Sei G eine Menge und eine zweistellige Operation auf G, dann nennt man das Paar (G, ) eine Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt werden: 1. Vollständigkeit, 2. Assoziativität: (a b) c = a (b c) a,b,c G, 3. es gibt ein neutrales Element, 4. für jedes Gruppenelement existiert ein inverses Element.
22 Gruppentheorie (1) Sei G eine Menge und eine zweistellige Operation auf G, dann nennt man das Paar (G, ) eine Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt werden: 1. Vollständigkeit, 2. Assoziativität: (a b) c = a (b c) a,b,c G, 3. es gibt ein neutrales Element, 4. für jedes Gruppenelement existiert ein inverses Element. Zum Beispiel: (Z, +). - Sei G C die Menge aller möglichen Verdrehungen des Würfels, welche aus den Basiszügen {U, D, F, B, L, R} besteht und - eine Verkettung der Drehung.
23 Gruppentheorie (2) Definition (Symmetrische Gruppe) Die symmetrische Gruppe S n ist die Gruppe, die aus allen Permutationen einer n-elementigen Menge besteht. Also G C S 48 (9 6 = 54 6 = 48).
24 Gruppentheorie (2) Definition (Symmetrische Gruppe) Die symmetrische Gruppe S n ist die Gruppe, die aus allen Permutationen einer n-elementigen Menge besteht. Also G C S 48 (9 6 = 54 6 = 48). ( ) Vorteil: (Bsp. S 3 ) σ 1 =, σ = ( ) 1 2 3,..., σ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 Verknüpfungstabelle: σ 2 σ 2 σ 1 σ 5 σ 6 σ 3 σ 4 σ 3 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 σ 6 σ Problem: Tabelle wäre 48! 2 groß.
25 Disjunkte Zykelschreibweise Angenommen: F U L F R B D Bijektion zwischen Aufkleber und den Zahlen 1-48 F = (17,19,24,22) (18,21,23,20) (06,25,43,16) (07,28,42,13) (08,30,41,11) Die Permutation F hat also Ordnung 4
26 Bsp. Algorithmus RU (1) Vor R: Nach R: U U F R B F R B D Analog mit U D
27 Bsp. Algorithmus RU (2) Startnummerierung: U L F R B D Nach RU: U L F R D B
28 Bsp. Algorithmus RU (3) (1, 3, 38, 43, 11, 35, 27, 32, 30, 17, 9, 33, 48, 24, 6) - 15 (2, 5, 36, 45, 21, 7, 4) - 7 (8, 25, 19) - 3 (10, 34, 26, 29, 31, 28, 18) - 7 Definition (kgv - kleinstes gemeinsames Vielfaches) Der kgv von Zahlen ist also die kleinste Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen teilbar sind.
29 Bsp. Algorithmus RU (3) (1, 3, 38, 43, 11, 35, 27, 32, 30, 17, 9, 33, 48, 24, 6) - 15 (2, 5, 36, 45, 21, 7, 4) - 7 (8, 25, 19) - 3 (10, 34, 26, 29, 31, 28, 18) - 7 Definition (kgv - kleinstes gemeinsames Vielfaches) Der kgv von Zahlen ist also die kleinste Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen teilbar sind. kgv (15, 7, 3, 7) = 105 mal RU anwenden um wieder zur Ausgangsstellung zu gelangen.
30 1 Einführung -Erfinder -Aufbau -Variationen 2 Mathematik -Permutationen -Singmaster Notation -Gruppentheorie -Zykelschreibweise 3 Algorithmen -Gottes Algorithmus -Thistlethwaite s Algorithmus -Kociemba s Algorithmus -Korf s Algorithmus 4 Rekorde
31 Gottes Algorithmus Definition Wird für alle Puzzle mit endlichen Konfigurationen und wenigen/einfachen Bewegungen verwendet.
32 Gottes Algorithmus Definition Wird für alle Puzzle mit endlichen Konfigurationen und wenigen/einfachen Bewegungen verwendet. Die Gottes Zahl dient dabei als die maximale Anzahl an Schritten, die für eine optimale Lösung benötigt werden. Für den Zauberwürfel liegt diese Zahl bei 20. (bzw. 26)
33 Gottes Algorithmus Definition Wird für alle Puzzle mit endlichen Konfigurationen und wenigen/einfachen Bewegungen verwendet. Die Gottes Zahl dient dabei als die maximale Anzahl an Schritten, die für eine optimale Lösung benötigt werden. Für den Zauberwürfel liegt diese Zahl bei 20. (bzw. 26) Bekannter Algorithmus z.b. für Türme von Hanoi. Unbekannt für Schach, Go, etc...
34 Fakten Google hat circa 35 CPU-Jahre gespendet, um die Gottes Zahl zu bestimmen. Dabei wurden etwa 2 Milliarden Gruppen von je etwa 19.5 Milliarden Konfigurationen gelöst.
35 Fakten Google hat circa 35 CPU-Jahre gespendet, um die Gottes Zahl zu bestimmen. Dabei wurden etwa 2 Milliarden Gruppen von je etwa 19.5 Milliarden Konfigurationen gelöst. 67% aller Würfel können in 18 Zügen gelöst werden und 28% in 17 Zügen. Also sind 95% aller Würfel in 17 oder 18 Zügen lösbar.
36 Fakten Google hat circa 35 CPU-Jahre gespendet, um die Gottes Zahl zu bestimmen. Dabei wurden etwa 2 Milliarden Gruppen von je etwa 19.5 Milliarden Konfigurationen gelöst. 67% aller Würfel können in 18 Zügen gelöst werden und 28% in 17 Zügen. Also sind 95% aller Würfel in 17 oder 18 Zügen lösbar. Es gibt geschätzt 490 Millionen Konfigurationen, die 20 Züge benötigen.
37 Thistlethwaite s Algorithmus Unterteilt das Problem in 4 Teilprobleme, die jeweils nur beschränkte Bewegungen ausführen dürfen.
38 Thistlethwaite s Algorithmus Unterteilt das Problem in 4 Teilprobleme, die jeweils nur beschränkte Bewegungen ausführen dürfen. - G 0 = L, R, F, B, U, D - G 1 = L, R, F, B, U 2, D 2 - G 2 = L, R, F 2, B 2, U 2, D 2 - G 3 = L 2, R 2, F 2, B 2, U 2, D 2 - G 4 = {1}
39 Thistlethwaite s Algorithmus Unterteilt das Problem in 4 Teilprobleme, die jeweils nur beschränkte Bewegungen ausführen dürfen. - G 0 = L, R, F, B, U, D - G 1 = L, R, F, B, U 2, D 2 - G 2 = L, R, F 2, B 2, U 2, D 2 - G 3 = L 2, R 2, F 2, B 2, U 2, D 2 - G 4 = {1} Anfangs maximal 85 Drehungen, verbessert auf 80 > 63 > 52. Später wurde gezeigt, dass die optimale Anzahl pro Phase bei 7, 10, 13 und 15 liegt, also 45 Drehungen maximal.
40 Kociemba s Algorithmus Verbesserte Variante des Thistlethwaite s Algorithmus. (Nur noch 2 Teilprobleme)
41 Kociemba s Algorithmus Verbesserte Variante des Thistlethwaite s Algorithmus. (Nur noch 2 Teilprobleme) - G 0 = U, D, L, R, F, B - G 1 = U, D, L 2, R 2, F 2, B 2 - G 2 = {1} Die Phasen benötigen höchstens 12 und 18 Drehungen.
42 Kociemba s Algorithmus Verbesserte Variante des Thistlethwaite s Algorithmus. (Nur noch 2 Teilprobleme) - G 0 = U, D, L, R, F, B - G 1 = U, D, L 2, R 2, F 2, B 2 - G 2 = {1} Die Phasen benötigen höchstens 12 und 18 Drehungen. Nimmt man eine suboptimale Lösung für das erste Teilproblem, kann die Gesamtlösung optimiert werden. (Meist auf unter 21, aber es gibt keinen Beweis dafür)
43 Kociemba s Algorithmus Verbesserte Variante des Thistlethwaite s Algorithmus. (Nur noch 2 Teilprobleme) - G 0 = U, D, L, R, F, B - G 1 = U, D, L 2, R 2, F 2, B 2 - G 2 = {1} Die Phasen benötigen höchstens 12 und 18 Drehungen. Nimmt man eine suboptimale Lösung für das erste Teilproblem, kann die Gesamtlösung optimiert werden. (Meist auf unter 21, aber es gibt keinen Beweis dafür) Jeder Würfel kann mit höchstens 29 Drehungen gelöst werden.
44 Korf s Algorithmus Verwendet Tiefensuche um optimale Lösung zu finden. Auch hier werden Teilprobleme gelöst: - Nur die Ecken des Würfels, Kanten sind egal. - 6 Kanten des Würfels, Ecken und restliche Kanten sind egal. - Restlichen Kanten des Würfels.
45 Korf s Algorithmus Verwendet Tiefensuche um optimale Lösung zu finden. Auch hier werden Teilprobleme gelöst: - Nur die Ecken des Würfels, Kanten sind egal. - 6 Kanten des Würfels, Ecken und restliche Kanten sind egal. - Restlichen Kanten des Würfels. Zu einem beliebigen Startwürfel werden iterativ neue Würfel erzeugt, die mit n-vielen Drehungen entstehen können. Alle Würfel, die zu viele Drehungen brauchen, um optimal zu bleiben, werden gelöscht.
46 Korf s Algorithmus Verwendet Tiefensuche um optimale Lösung zu finden. Auch hier werden Teilprobleme gelöst: - Nur die Ecken des Würfels, Kanten sind egal. - 6 Kanten des Würfels, Ecken und restliche Kanten sind egal. - Restlichen Kanten des Würfels. Zu einem beliebigen Startwürfel werden iterativ neue Würfel erzeugt, die mit n-vielen Drehungen entstehen können. Alle Würfel, die zu viele Drehungen brauchen, um optimal zu bleiben, werden gelöscht. Liefert stets optimale Lösungen, aber Laufzeit ist unbekannt!
47 1 Einführung -Erfinder -Aufbau -Variationen 2 Mathematik -Permutationen -Singmaster Notation -Gruppentheorie -Zykelschreibweise 3 Algorithmen -Gottes Algorithmus -Thistlethwaite s Algorithmus -Kociemba s Algorithmus -Korf s Algorithmus 4 Rekorde
48 Rekorde Person Einzeln Kategorie Person Feliks Zemdegs 4.73 Zauberwürfel 6.45 Feliks Zemdegs Maciej Czapiewski x2x2 Würfel 1.51 Lucas Etter Feliks Zemdegs x4x4 Würfel Sebastian Weyer Feliks Zemdegs x5x5 Würfel Feliks Zemdegs Feliks Zemdegs 1: x6x6 Würfel 1:37.85 Feliks Zemdegs Feliks Zemdegs 2: x7x7 Würfel 2:22.55 Feliks Zemdegs Kaijun Lin x3x3 Blind Kaijun Lin Feliks Zemdegs x3x3 Einhändig Max Park Jakub Kipa x3x3 Mit Füßen Jakub Kipa Marcin Kowalczyk 41/41 54:14 3x3x3 Mehrfach-blind - - Abbildung: Derzeitige Weltrekorde
49 Literaturangabe Wikipedia: s_cube Martin Wohlgemuth Mathematik: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur Oswald Riemenschneider Elemente der Gruppentheorie David Joyner Adventures in Group Theory: World Cube Association - Derzeitige Weltrekorde &eventid=&years=&slim=slim
50 Abbildungsverzeichnis [1] [2] [3] [4] 3d-printed-22x22-rubiks-cube-is-the-largest-in-the-world [5] [6] geschichte-rubikon-wuerfel-zauberwuerfel
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