6. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04

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Judith Kohler
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1 6. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 JOACHIM VON ZUR GATHEN, OLAF MÜLLER, MICHAEL NÜSKEN Abgabe bis Freitag, 5. Dezember 2003, in den jeweils richtigen grünen oder roten Kasten auf dem D-Flur. Verfahrenstipp für Beweise: Überlege für jeden Schritt: Was ist bekannt? Was soll gezeigt werden? Die Antworten können einen Beweis ganz einfach machen. Auch beim Aufschreiben sorgt das für Klarheit... Aufgabe 6. (Teilbarkeit). Seien s; t; x; y; d 2 Z. Zeige: (2 Punkte) (i) d j x ^ d j y =) d j (s x + t y). (ii) s x + t y = d =) ggt(x; y) j d. Aufgabe 6.2 (Primfaktorzerlegung, ggt, kgv). (7 Punkte) (i) Seien a; b 2 R. Zeige: a + b = minfa; bg + maxfa; bg. Seien r 2 N, p ;:::;p r prim und paarweise verschieden, e ;:::;e r ;f ;:::;f r 2 N. (ii) Zeige: Für x 2 N gilt: x j (p f ::: p fr r ) () 9 e ;:::;e r 2 N x = p e ::: p er r ^ e» f ^ :::^ e r» f r : Wir erinnern an die Definition des ggt: Definition (ggt). Seien a; b 2 N. Eine Zahl g 2 N heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b genau dann, wenn ffi g j a und g j b gilt (g ist ein gemeinsamer Teiler), und ffi 8t 2 N t j a ^ t j b ) t j g gilt (jeder gemeinsame Teiler t teilt g). Wir schreiben dann auch g = ggt(a; b). (iii) Zeige: ggt(p e ::: p er r ;pf ::: p fr r )=pminfe ;f g ::: p minfer;frg r. Die Definition des kgv ist ganz analog zu der des ggt:

2 2 Definition (kgv). Seien a; b 2 N. Eine Zahl k 2 N heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b genau dann, wenn ffi a j k und b j k gilt (k ist ein gemeinsames Vielfaches), und ffi 8v 2 N a j v ^ b j v ) k j v gilt (jedes gemeinsame Vielfache v ist ein Vielfaches von k). Wir schreiben dann auch k = kgv(a; b). (iv) Zeige: kgv(p e ::: p er r ;pf ::: p fr r )=pmaxfe ;f g ::: p maxfer;frg r. (v) Seien x; y 2 N. Zeige: ggt(x; y) kgv(x; y) =x y: (vi) Betrachte x = und y = Berechne (von Hand) ggt(x; y) und kgv(x; y). [Tipp: Primfaktorzerlegung ist hier nicht notwendig.] Aufgabe 6.3 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus). (5 Punkte) Betrachte den folgenden Algorithmus: Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus. Eingabe: a; b 2 Z. Ausgabe: ` 2 N, r i ;s i ;t i 2 Z für 0» i» ` +, und q i 2 Z für» i» `, wie unten berechnet.. r 0 ψ a, r ψ b. 2. s 0 ψ, t 0 ψ s ψ 0, t ψ. 4. i ψ. 5. While r i 6=0do q i ψ r i quo r i. 7. r i+ ψ r i q i r i. 8. s i+ ψ s i q i s i. 9. t i+ ψ t i q i t i. 0. i ψ i +.. ` ψ i. 2. Return `, r i, s i, t i für 0» i» ` +, und q i für» i» `. (i) Führe den Algorithmus für a = und b = durch. Notiere ` sowie in einer Tabelle i, r i, q i, s i, t i.

3 3 (ii) Zeige, dass für 0» i» ` +gilt: r i = s i a + t i b. (iii) Schließe, dass es ganze Zahlen s; t 2 Z gibt mit ggt(a; b) =s a + t b. Aufgabe 6.4 (Mersenne-Zahlen). Ziel dieser Aufgabe ist es folgenden Satz zu zeigen. (4 Punkte) Satz. Wenn die Mersenne-Zahl 2 k prim ist, dann ist k prim. Dazu ist zu zeigen, dass für a; b 2 N > die Zahl 2 ab zusammengesetzt ist. (i) Bestimme die Binärdarstellung von 2 k. (Mit Beweis!) (ii) Bestimme die Binärdarstellung von (2 7 )( ). (iii) Zerlege die Zahl a := ( ) 2 in Faktoren. (iv) Bestimme die 2 5 -adische Darstellung von [Man könnte die Ziffern wiederum 2-adisch darstellen.] (v) Schreibe 2 35 als echtes Produkt. (vi) Bestimme die 2 a -adische Darstellung von 2 ab. (vii) Schreibe 2 ab als echtes Produkt. Beweise den Satz. Aufgabe 6.5 (Induktion). Sei ' eine Formel mit einem Parameter. Beweise: 8n 2 N 8i 2 N <n '(i) ) '(n) =) 8n 2 N '(n): (3 Punkte) In Worten: Wenn für jedes n 2 N aus der Gültigkeit der Formel ' für alle i 2 N mit i<nauf die Gültigkeit von ' für n geschlossen werden kann, dann gilt ' für alle natürlichen Zahlen. Tipps: Was bedeutet die Voraussetzung für n = 0? Betrachte versuchsweise einige weitere kleine n. Bezeichne mit ψ(n) die Aussage 8i 2 N <n '(i) und betrachte diese. Bemerkung: Das ist eine abgewandelte Form der vollständigen Induktion. Hier kann man alle vorher erreichten Zwischenergebnisse im Induktionsschritt nutzen und braucht verblüffenderweise keinen separaten Induktionsanfang.

4 4 Aufgabe 6.6 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus). (3 Punkte) Berechne den ggt g von a und b und eine Darstellung der Form g = sa + tb. ffi a =3795und b =2574. ffi a =5978und b =6699. ffi a = 60 und b =377.

5 5 6. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04, Mündlicher Teil JOACHIM VON ZUR GATHEN, OLAF MÜLLER, MICHAEL NÜSKEN Mündliche Aufgabe 6.7 (Teilbarkeit). Seien a; b; c; d; q; r 2 Z. Zeige: (i) a j b ^ c j d =) (ac) j (bd). (ii) c 6= 0^ ac j bc =) a j b. (iii) ggt(a; 0) = a. (iv) Wenn a = q b + r ist, dann ist ggt(a; b) =ggt(b; r). (v) (a; b) 6= (0; 0) ^ ggt(a; b) =c =) c 6= 0^ ggt( a ; b )=. c c Mündliche Aufgabe 6.8 (Primfaktorzerlegung, ggt, kgv). Seien r 2 N, p prim, e; f 2 N. Zeige: (i) Für x 2 N gilt: x j p f () 9e 2 N x = p e ^ e» f. (ii) ggt(p e ;p f )=p minfe;f g. (iii) kgv(p e ;p f )=p maxfe;f g. Mündliche Aufgabe 6.9 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus). Berechne den ggt g von a und b und eine Darstellung der Form g = sa + tb. ffi a = und b = 00. ffi a =003und b =9269. ffi a =47248und b =83740.

6 6 Mündliche Aufgabe 6.0 (Repunits). Ziel dieser Aufgabe ist es folgenden Satz zu zeigen. Satz. Wenn die Zahl R k = 0k 0 prim ist, dann ist k prim. Bemerkung. Bekannt ist derzeit nur, dass R k prim ist für k =2, k =9, k =23, k = 37 und k = 03. Für k = und k = ist R k vermutlich auch prim, dies ist aber nur mit sogenannten probabilistischen Tests überprüft worden: During 999 Dubner discovered R = ( )=9 was a probable prime. In October 2000, Lew Baxter discovered the next repunit probable prime is R It will be some time before this giant is proven prime! As the poet wrote: Ah, but a man s reach should exceed his grasp, or what s a heaven for? (Robert Browning) Für den Beweis des Satzes ist zu zeigen, dass für a; b 2 N > die Zahl 0ab 0 zusammengesetzt ist. (i) Bestimme die Dezimaldarstellung von 0 k. (Mit Beweis!) (ii) Zerlege die Zahl a := ( ) 0 in Faktoren. (iii) Bestimme die 0 3 -adische Darstellung von (iv) Schreibe 05 0 als echtes Produkt. (v) Bestimme die 0 a -adische Darstellung von 0ab 0. (vi) Schreibe 0ab 0 als echtes Produkt. Beweise den Satz.

7 7 Mündliche Aufgabe 6. (Induktion rückwärts). Sei ' eine Formel mit einem Parameter. Beweise: '(k) ^ 8j 2 N <k '(j +)) '(j) =) 8j 2 N»k '(j): Das bedeutet wir führen eine Induktion rückwärts aus. In Worten: Wenn ' für den größten Wert gilt, und für alle geeigneten j aus '(j +)die Gültigkeit von '(j) folgt, dann gilt ' für alle betrachteten j.

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