Lösungen zu Kapitel 5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen zu Kapitel 5"

Transkript

1 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : (a) Es gibt derartige Graphen: (b) Offensichtlich besitzen 0 der Graphen einen solchen Teilgraphen. Lösung zu Aufgabe : Es sei G = (V, E) zusammenhängend und V = V V, V V = sowie V = = V. Wir wählen beliebige Elemente u V und u V. Da G zusammenhängend ist, existiert nach Definition 5.8(a) ein Weg P = (u = u, u,..., u k+ = u ) in G. Es sei i {,..., k + } der kleinste Index i mit u i V. Dann folgt {u i, u i } E mit u i V, u i V. Für die umgekehrte Beweisrichtung wählen wir zwei Elemente v, v E, v = v. Zu zeigen ist, dass ein Weg von v nach v in G existiert. Wir betrachten zunächst Mengen V V mit folgender Eigenschaft: v V, und für alle u V existiert ein Weg von v nach u. {v } ist eine solche Menge. Ist V = V, so setzen wir V = V \V. Nach Voraussetzung existieren u V, u V mit {u, u } E. Damit gibt es auch einen Weg von v über u nach u. Die Menge V {u } erfüllt daher dieselbe Eigenschaft wie V, ist jedoch um ein Element größer. Von M = {v } ausgehend erhalten wir durch diese Konstruktion eine endliche Folge von Mengen M i mit M M M... M V = V,

2 Lösungen zu Kapitel 5 die jeweils die obige Eigenschaft erfüllen. Folglich existiert ein Weg von v nach v. Der Isomorphismus wird durch die folgende Zuordnung ge- Lösung zu Aufgabe : geben: f b h a e d g c Lösung zu Aufgabe : (a) Nach der Definition gilt für einen Graphen G = (V, E) und sein Komplement Ḡ = (V, Ē) {v, v } E {v, v } Ē. Nach Definition 5. gilt für die isomorphen Graphen G und G : {v, v } E {π(v ), π(v )} E. Unter Verwendung der beiden Äquivalenzen erhalten wir {v, v } Ē {v, v } E {π(v ), π(v )} E {π(v ), π(v )} Ē, so dass Ḡ und Ḡ isomorph sind. (b) Damit ein Graph G = (V.E) zu seinem eigenen Komplement isomorph sein kann, muss E = {{v, v } v, v V, v = v } gelten (die Hälfte der Kanten des vollständigen Graphen K V mit V Knoten). Da K Kanten enthält, gibt es keinen Graphen mit Knoten, der zu seinem Komplement isomorh ist. Der K enthält 6 Kanten. Folglich muss ein gesuchter Graph G mit Knoten Kanten besitzen. Würden die drei Kanten einen einfachen Kreis bilden, so gäbe es noch einen isolierten Punkt. Man überzeugt sich sofort, dass der Komplementgraph dazu nicht isomorph ist. Als verbleibenden Fall erhalten wir Der durch die durchgezogenen Kanten gegebene Graph G ist isomorph zu seinem Komplement Ḡ, dessen Kanten gestrichelt gezeichnet sind. Der K 5 enthält 0 Kanten. Folglich muss ein gesuchter Graph mit 5 Knoten 5 Kanten besitzen. Das geht nur, wenn er einen einfachen Kreis besitzt. Wir erhalten die folgenden möglichen Fälle:

3 Lösungen zu Kapitel 5 Der obere Kreis mit 5 Kanten ist offenbar zu seinem Komplement isomorph. Im linken Diagramm ist das Komplement des Graphen mit durchgezogenen Kanten der (bis auf Isomorphie eindeutige) Graph (gestrichelte Kanten), der einen Kreis aus Kanten besitzt. Der Graph und sein Komplement sind hier also nicht isomorph. Folglich muss nur noch das rechte Diagramm betrachtet werden. Darin ist offenbar wieder der durchgezogen gezeichnete Graph zu seinem Komplement isomorph. Lösung zu Aufgabe 5: Die Adjazenzlistendarstellung des Graphen ist: Mit Algorithmus 5. erhalten wir vor Eintritt in die while-schleife die Innengrade (d (),..., d (9)) = (0,,,, 0,,,, ) sowie die Schlange U 5. In der folgenden Tabelle notieren wir für jeden Schleifendurchlauf i den Knoten v mit ord(v) = i sowie die Werte, die nach Beendigung dieses Durchlaufs zum Vektor der

4 Lösungen zu Kapitel 5 (verbleibenden) Innengrade und zur Schlange U gehören: i v mit ord(v) = i (d (),..., d (9)) U (0, 0,,, 0,,,, ) 5 5 (0, 0,,, 0, 0,,, ) 6 (0, 0, 0,, 0, 0,,, ) 6 6 (0, 0, 0,, 0, 0,,, ) 5 (0, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0) 9 6 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) Da allen Knoten v V bijektiv eine Zahl von bis V zugewiesen wurde, haben wir eine toplogische Ordnung gefunden. Lösung zu Aufgabe 6: Jeder elementare Kreis ist auch ein einfacher Kreis. Wir gehen umgekehrt von einem einfachen Kreis K = (v,..., v k+ ) aus (k für einen gerichteten und k für einen ungerichteten Graphen). Dann existiert ein Paar (i, j), i < j k +, v i = v j mit j i minimal. Dann ist K = (v i..., v j ) ein elementarer Kreis. Lösung zu Aufgabe 7: Wir nehmen zunächst an, dass v, v in verschiedenen Zusammenhangskomponenten (Teilbäumen) von F liegen, etwa T und T mit n bzw. n Knoten. Nach Satz 5.7(d) besitzen T und T n bzw. n Kanten. Bei Hinzunahme von {v, v } erhalten wir eine neue Zusammenhangskomponente mit (n )+(n )+ Kanten, die wegen Satz 5.7(d) ein Teilbaum von G ist. Eventuell vorhandene andere Teilbäume von F bleiben unverändert. Folglich ist G ein Wald. Liegen v und v in demselben Teilbaum T von F, so liefert die Hinzunahme von {v, v } nach Satz 5.7(f) einen Graphen mit genau einem einfachen Kreis. Somit ist G kein Wald. Lösung zu Aufgabe 8: Knoten. Wir setzen Es sei T = (V, E) ein Baum und v V ein beliebiger X := {u V v mit u durch einfachen Weg gerader Länge verbunden}, Y := {u V v mit u durch einfachen Weg ungerader Länge verbunden}. Nach Satz 5.7(b) sind zwei Knoten v, u V durch genau einen einfachen Weg in T verbunden. Daher folgt X Y =, X Y = V, und für {v, v } E können nicht beide Knoten in X oder beide in Y liegen. Nach Definition 5.5(a) ist T ein bipartiter Graph.

5 Lösungen zu Kapitel 5 5 Lösung zu Aufgabe 9: / + + / / a d c d c a a b b f Polnische Notation: ad + cd /ab c/bf a/ +. Umgekehrte polnische Notation: / + ad cd + / abc/ bf a. Lösung zu Aufgabe 0: Es sind zwei Fälle zu unterscheiden: (a) Falls x einen rechten Sohn besitzt, ist der Nachfolger das Minimum im vom rechten Sohn aufgespannten Teilbaum. (b) Wenn x keinen rechten Sohn besitzt, ist der Nachfolger der nächste Vorgänger von x, dessen linker Sohn der Knoten x oder ein Vorgänger von x ist. Ist x das Maximum im Baum, existiert kein solcher Nachfolger. Eingabe: Knoten x eines binären Suchbaums. Ausgabe: Knoten y des Suchbaums, der der Nachfolger von x bezüglich der Schlüsselgröße ist. if rechter Sohn(x) = (Fall (a)) then y := rechter Sohn(x); while linker Sohn(y) = do y := linker Sohn(y) od else y := Vater(x); (Fall (b)) while y = und x = rechter Sohn(y) do x := y; y := Vater(y) od fi

6 6 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : c d 6 5 b a a b c 5 Der linke Graph ist nicht planar, da er den Graphen K, als Unterteilung (fett gezeichnet) enthält. Dabei entsprechen die Knoten bis 6 den Knoten des K,. Alle Knoten des Graphen gehören zur Unterteilung, jedoch nicht die drei dünn gezeichneten Kanten. Der rechte Graph ist nicht planar, da er K 5 als Unterteilung besitzt. Dabei entsprechen die Knoten bis 5 den Knoten des Graphen K 5, wobei die Kante {, 5} von K 5 in der Unterteilung dem Weg (, a, b, c, 5) entspricht. Alle Knoten und Kanten des gegebenen Graphen gehören zur Unterteilung. Lösung zu Aufgabe : Das Diagramm von Seite 6 des Buchs wird zu einem schlichten Graphen umgewandelt, indem in jede der vier parallelen Kanten ein zusätzlicher Knoten (Mitte der jeweiligen Brücke) eingefügt wird. Ein Euler scher Weg dieses Graphen würde einen Spazierweg bedeuten, der alle sieben Brücken über die Pregel genau einmal überquert. Vier Knoten dieses Graphen haben ungeraden Grad. Nach Satz 5.9 gibt es daher keinen Euler schen Weg. Lösung zu Aufgabe : Das linke Diagramm enthält nur Knoten geraden Grads. Folglich besitzt der zugehörige Graph G nach Satz 5.9 einen Euler schen Kreis. Nach dem Beweis des Satzes können wir mit einem beliebigen Knoten v, etwa v = 7, beginnen und dann der Reihe nach jeweils eine beliebige noch nicht betretene Kante durchlaufen, um schließlich wieder in v zu enden. Dadurch wird ein einfacher Kreis gefunden, der nicht mehr verlassen werden kann. Wir erhalten beispielsweise (7, 8, 5, 7). Für den verbleibenden Graphen G (ohne isolierte Punkte), der in diesem Fall aus nur einer Zusammenhangskomponente besteht, wiederholen wir das Verfahren. Wir bekommen etwa den Euler schen Kreis (,,,, 6, 0, 9, 6,, 8, 9,, 5, ) von G. Mithilfe des Knotens 5, der zu beiden Kreisen gehört, können wir den Euler schen Kreis (,,,, 6, 0, 9, 6,, 8, 9,, 5, 7, 8, 5, )

7 Lösungen zu Kapitel 5 7 von G konstruieren. Das Verfahren ist nicht eindeutig, auch die Anzahl der Iterationsschritte hängt von den jeweils gewählten Kanten ab. Das rechte Diagramm enthält genau zwei Knoten ungeraden Grads, und zwar und. Nach Satz 5.9 gibt es keinen Euler schen Kreis, jedoch einen Euler schen Weg. Wird in gestartet und dann der Reihe nach jeweils eine beliebige noch nicht betretene Kante durchlaufen, so erhalten wir beispielsweise einen einfachen Weg P = (,,,,, 7,,,, 5, ), der in endet und nicht mehr verlassen werden kann. Im verbleibenden Graphen G starten wir in 7 und können unter anderem den einfachen Kreis K = (7, 5, 8,, 9, 6, 8, 0, 7) bilden, der wieder von 7 ausgehend nicht mehr verlassen werden kann. Der verbleibende Graph G hat jetzt Zusammenhangskomponenten, die aus den Euler schen Kreisen K = (5, 0,, 8,, 5) und K = (,, 9,, 6, ) bestehen. Unter Verwendung gemeinsamer Knoten in K und K bzw. K erhalten wir den Euler schen Kreis (7, 5, 0,, 8,, 5, 8,,, 9,, 6,, 9, 6, 8, 0, 7) in G, mithilfe von P dann den Euler schen Weg (,,,,, 7, 5, 0,, 8,, 5, 8,,, 9,, 6,, 9, 6, 8, 0, 7,,,, 5, ) im gegebenen Graphen. Lösung zu Aufgabe : Es gilt χ(g a ) =, χ(g b ) =, χ(g c ) =, χ(g d ) =, χ(g e ) =. Die entsprechenden Färbungen sind (die Farben durch Zahlen gekennzeichnet) in den folgenden Diagrammen dargestellt.

8 8 Lösungen zu Kapitel 5 G a G b G c G d G e Wir müssen noch zeigen, dass die Graphen nicht mit weniger Farben als angegeben gefärbt werden können. G a ist isomorph dem Graphen K und kann nur mit Farben gefärbt werden, da jeder Knoten zu jedem anderen adjazent ist. G b enthält ein Dreieck (elementarer Kreis mit Knoten) und kann daher (siehe Beispiel 5.0) nicht -gefärbt werden. G c : trivial. G d enthält Dreiecke und kann nicht -gefärbt werden. Wir betrachten jetzt den Teilgraphen von G d, der aus den unteren 6 Knoten von G d besteht. Wenn wir den mit gefärbten Knoten v zunächst außer Acht lassen, dann können die übrigen Knoten des Teilgraphen bis auf Isomorphie (Umbenennung der Farben) auf genau eine Weise gefärbt werden (siehe Diagramm). v ist dann adjazent zu Knoten, die jeweils verschieden gefärbt sind. Folglich kann der Teilgraph und damit G d nicht -gefärbt werden. G e enthält einen elementaren Kreis mit 5 Knoten und kann daher (siehe Beispiel 5.0) nicht -gefärbt werden.

9 Lösungen zu Kapitel 5 9 Lösung zu Aufgabe 5: Der dünn gezeichnete Graph ist der geometrische Dualgraph H. Das folgende Diagramm gibt die Landkarte H wieder: Lösung zu Aufgabe 6: Konstruktion für den Graphen des linken Diagramms (Konstruktion nach Satz 5.): M-Ergänzungsweg P und Matching M (dick gezeichnete Linien): M -Ergänzungsweg P und Matching M (dick gezeichnete Linien):

10 0 Lösungen zu Kapitel 5 Da kein ungesättigter Punkt existiert, gibt es keinen M -Ergänzungsweg. Nach Satz 5.5 ist M maximal. Konstruktion für den Graphen des rechten Diagramms: M-Ergänzungsweg P und Matching M : M -Ergänzungsweg P und Matching M : Da nur ein ungesättigter Punkt existiert, gibt es keinen M -Ergänzungsweg. Folglich ist M maximal.

11 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe 7: Als Heiratsproblem können wir das Problem durch den folgenden Graphen darstellen (X = Knoten der Stellen, Y = Knoten der Bewerber): Theoretische Informatik Software Engineering Robotik Informationssysteme Computergraphik 5 6 Gesucht wird ein Matching M des zugehörigen bipartiten Graphen G, bei dem jeder Knoten von X M-gesättigt ist. Nach Satz 5.6 ist das genau dann der Fall, wenn für alle S X die Relation N(S) S gilt. Wir erhalten jedoch N({Theor. Inform., Software Eng., Robotik} = {, 6}, so dass die Fakultät nicht alle Stellen besetzen kann. Interessiert sich der zweite Bewerber zusätzlich für die Stelle Software Engineering, so können die Stellen wie folgt besetzt werden: Theoretische Informatik Software Engineering Robotik Informationssysteme Computergraphik 5 6

12 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe 8: Minimale aufspannende Bäume: Nach Algorithmus 5.6 (Kruskal) werden die Kanten zunächst nach aufsteigendem Gewicht sortiert. Da mehrere Kanten das gleiche Gewicht haben, kann dies auf verschiedene Arten geschehen. Dadurch ergeben sich verschiedene minimale aufspannende Bäume. Erster Fall (linkes Diagramm): w({b, c}) w({d, f }) w({e, f }) w({ f, g}) w({e, g}) w({c, g}) w({ f, h}) w({a, c}) w({b, d}) w({b, f }) w({b, e}) w({g, h}) w({a, b}). Zweiter Fall (rechtes Diagramm): w({b, c}) w({d, f }) w({e, f }) w({e, g}) w({c, g}) w({ f, g}) w({ f, h}) w({a, c}) w({b, d}) w({b, f }) w({b, e}) w({a, b}) w({g, h}). d f h e g d f h e g b a c b a c Man überlegt sich, dass es keine weiteren minimale aufspannende Bäume gibt. Maximale aufspannende Bäume: Wählt man alle Kanten vom Gewicht 5 bis, so ergibt sich der Baum h f 5 g d e b 5 a c

13 Lösungen zu Kapitel 5 Jede Kante eines Gewichts führt zu einem Kreis, so dass es genau den dargestellten maximalen aufspannenden Baum gibt. Lösung zu Aufgabe 9: Tiefensuche mit Graph aus Beispiel 5.7: Algorithmus 5.7 wird so angewendet, dass die Reihenfolge der Knoten zunächst durch ihre Bezeichnungen gegeben ist G W Die Reihenfolge, in der die Knoten besucht werden, ist,,,, 5, 6. Breitensuche mit Graph aus Beispiel 5.: G 9 0 Algorithmus 5. wird so angewendet, dass die Reihenfolge der Knoten zunächst durch ihre Bezeichnungen gegeben ist. Der Ablauf des Algorithmus kann durch die folgende Tabelle beschrieben werden:

14 Lösungen zu Kapitel 5 i v mit t(v) = i U u U\{u} Die Reihenfolge, in der die Knoten besucht werden, ist also,,,, 5, 8, 6, 7, 9, 0,. Der aufspannende Wald W ist durch das folgende Diagramm gegeben W 9 0

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63 Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007 Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und

Mehr

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1 3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)

Mehr

13. Binäre Suchbäume

13. Binäre Suchbäume 1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

Zeichnen von Graphen. graph drawing

Zeichnen von Graphen. graph drawing Zeichnen von Graphen graph drawing WS 2006 / 2007 Gruppe: D_rot_Ala0607 Christian Becker 11042315 Eugen Plischke 11042351 Vadim Filippov 11042026 Gegeben sei ein Graph G = (V; E) Problemstellung V E =

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk

Mehr

Praktikum Planare Graphen

Praktikum Planare Graphen 1 Praktikum Planare Graphen Michael Baur, Martin Holzer, Steffen Mecke 10. November 2006 Einleitung Gliederung 2 Grundlagenwissen zu planaren Graphen Themenvorstellung Gruppeneinteilung Planare Graphen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling Approximationsalgorithmen: Klassiker I Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling VO Approximationsalgorithmen WiSe 2011/12 Markus Chimani

Mehr

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

Codierung. Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau

Codierung. Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau Codierung Auszug aus dem Skript von Maciej Liśkiewicz und Henning Fernau Ein bisschen Informationstheorie Betrachten wir das folgende Problem: Wie lautet eine sinnvolle Definition für das quantitative

Mehr

Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de. Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum

Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany zach@in.tu-clausthal.de. Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum lausthal Beispiele Stammbaum Informatik II. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de. Zachmann Informatik - SS 06 Stammbaum Stammbaum / Parse tree, Rekursionsbaum Parse tree, Rekursionsbaum

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Algorithmen und Datenstrukturen 265 10 Binäre Suchbäume Suchbäume Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Kann als Wörterbuch, aber auch zu mehr eingesetzt werden (Prioritätsschlange)

Mehr

Grundlagen der Programmierung 2. Bäume

Grundlagen der Programmierung 2. Bäume Grundlagen der Programmierung 2 Bäume Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 24. Mai 2006 Graphen Graph: Menge von Knoten undzugehörige (gerichtete oder ungerichtete)

Mehr

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS / KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

Mehr

Die in den Suchverfahren konstruierten Graphen waren zusammenhängend und enthielten keine Kreise. Also vereinbaren wir:

Die in den Suchverfahren konstruierten Graphen waren zusammenhängend und enthielten keine Kreise. Also vereinbaren wir: Kapitel 4 Bäume und Matchings Wir haben im letzten Kapitel Bäume implizit als Ergebnis unserer Suchverfahren kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir diese Graphenklasse ausführlich untersuchen. 4.1

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Thomas Krakow Rostock, den 26. April 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundbegriffe und einfache Sätze über Graphen 5 2.1 Der Knotengrad.................................

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME

Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME 72 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten für eine Firma, die ein Neubaugebiet ans Netz (Wasser, Strom oder Kabel oder...) anschließt! Ziel: Alle Haushalte ans Netz bringen, dabei

Mehr

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012 Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Mathematische Grundlagen: Das Handwerkszeug Mariano Zelke Datenstrukturen 2/26 Formeln: n - i = n (n+1) 2 und - i=1 k i=0 a i = ak+1 1 a 1, falls a 1 Rechnen

Mehr

Modelle und Statistiken

Modelle und Statistiken Kapitel 4 Modelle und Statistiken In letzter Zeit werden vermehrt Parameter (Gradfolgen, Kernzahlfolgen, etc.) empirischer Graphen (Internet, WWW, Proteine, etc.) berechnet und diskutiert. Insbesondere

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO DAP2 SS 2009 2./4. Juni 2009 1 2. Übungstest

Mehr

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:

Mehr

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine Kreise enthält. Diese Graphen sind Bäume: Diese aber nicht:

Mehr

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege

Lange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering

Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Steinerbäume Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Verfasser Flamur Kastrati Betreuer Prof. Dr. habil. Thomas

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen

Mehr

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange

Mehr

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen Was bisher geschah abstrakter Datentyp : Signatur Σ und Axiome Φ z.b. ADT Menge zur Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) mehrerer Elemente desselben Typs Spezifikation einer Schnittstelle Konkreter

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen SS07

Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datum: 27.6.2007 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Online Algorithmen Update von Listen Move to Front (MTF) Transpose Approximationen

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37

Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine einfachen Kreise enthält. Bäume und Wälder 2 / 37 Bäume

Mehr

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Ulrich Loup 24.03.2006 Prüfungsstoff: Alegebra I, Analysis IV, Graphentheorie I Prüfer: Prof. Dr. Wilhelm Plesken Protokollant: Dipl.

Mehr

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Name Frank Bollwig Matrikel-Nr. 2770085 E-Mail fb641378@inf.tu-dresden.de Datum 15. November 2001 0. Vorbemerkungen... 3 1. Terminologie binärer Bäume... 4 2.

Mehr

5. Verschiedene Repräsentanten

5. Verschiedene Repräsentanten 5. Verschiedene Repräsentanten 5.1. Die Sätze Hall und König Sei I := {1,...,n}, und sei A(I) = (A 1,...,A n ) eine Familie von Teilmengen einer endlichen Menge E. Zu K I seien A(K) := (A i : i K) und

Mehr

Das Falten-und-Schneiden Problem

Das Falten-und-Schneiden Problem Das Falten-und-Schneiden Problem Kristian Bredies Uttendorf, 14. Februar 2005 Inhalt Einleitung Origami Das Falten-und-Schneiden Problem Mathematische Analyse Flaches Origami Lokale Eigenschaften Faltbarkeit

Mehr

Breiten- und Tiefensuche in Graphen

Breiten- und Tiefensuche in Graphen Breiten- und Tiefensuche in Graphen Inhalt Theorie. Graphen. Die Breitensuche in der Theorie am Beispiel eines ungerichteten Graphen. Die Tiefensuche in der Theorie am Beispiel eines gerichteten Graphen

Mehr

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v) Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (20 Graphen) T. Lauer

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (20 Graphen) T. Lauer Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (20 Graphen) T. Lauer 1 Motivation Wie komme ich am besten von Freiburg nach Ulm? Was ist die kürzeste Rundreise durch eine gegebene Menge von Städten?

Mehr

22. Algorithmus der Woche Partnerschaftsvermittlung Drum prüfe, wer sich ewig bindet

22. Algorithmus der Woche Partnerschaftsvermittlung Drum prüfe, wer sich ewig bindet 22. Algorithmus der Woche Partnerschaftsvermittlung Drum prüfe, wer sich ewig bindet Autor Volker Claus, Universität Stuttgart Volker Diekert, Universität Stuttgart Holger Petersen, Universität Stuttgart

Mehr

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:

Mehr

Property Testing in Graphen mit beschränktem Maximalgrad

Property Testing in Graphen mit beschränktem Maximalgrad Property Testing in Graphen mit beschränktem Maximalgrad Björn Schümann Seminar Graphentheorie und Kombinatorik WS 2007-08 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Allgemeine Aussagen zum Property Testing 3

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI

Mehr

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP

Mehr

Kapitel MK:IV. IV. Modellieren mit Constraints

Kapitel MK:IV. IV. Modellieren mit Constraints Kapitel MK:IV IV. Modellieren mit Constraints Einführung und frühe Systeme Konsistenz I Binarization Generate-and-Test Backtracking-basierte Verfahren Konsistenz II Konsistenzanalyse Weitere Analyseverfahren

Mehr

EndTermTest PROGALGO WS1516 A

EndTermTest PROGALGO WS1516 A EndTermTest PROGALGO WS1516 A 14.1.2016 Name:................. UID:.................. PC-Nr:................ Beachten Sie: Lesen Sie erst die Angaben aufmerksam, genau und vollständig. Die Verwendung von

Mehr

Name: Seite 2. Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort.

Name: Seite 2. Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort. Name: Seite 2 Beantworten Sie die Fragen in den Aufgaben 1 und 2 mit einer kurzen, prägnanten Antwort. Aufgabe 1 (8 Punkte) 1. Wie viele negative Zahlen (ohne 0) lassen sich im 4-Bit-Zweierkomplement darstellen?

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen

Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen C# Projekt 1 Name: Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen Aufgabe: Basierend auf dem Abschnitt 2.1.6. Random mappings, Kap.2, S 54-55, in [1] sollen zunächst für eine beliebige Funktion

Mehr

Branch-and-Bound. Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir

Branch-and-Bound. Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 289 Branch-and-Bound Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir 1.

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Prof. Dr.-Ing. Firoz Kaderali Prof. Dr. rer. nat. Werner Poguntke. Graphen, Algorithmen und Netze

Prof. Dr.-Ing. Firoz Kaderali Prof. Dr. rer. nat. Werner Poguntke. Graphen, Algorithmen und Netze Prof. Dr.-Ing. Firoz Kaderali Prof. Dr. rer. nat. Werner Poguntke Graphen, Algorithmen und Netze Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung

Mehr

Codes und Informationsgehalt

Codes und Informationsgehalt Aufgaben 2 Codes und Informationsgehalt Auf wie viele Dezimalziffern genau können vorzeichenlose ganze Zahlen in einem binären Code der Länge 32 bit dargestellt werden? 2 Codes und Informationsgehalt Auf

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 3.2.07 astian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Organisatorisches / Review is zum 2.2 müssen alle Praxisaufgaben

Mehr

Information Systems Engineering Seminar

Information Systems Engineering Seminar Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Bäume Symboltabellen Suche nach Werten (items), die unter einem Schlüssel (key) gefunden werden können Bankkonten: Schlüssel ist Kontonummer Flugreservierung: Schlüssel ist Flugnummer, Reservierungsnummer,...

Mehr

Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time

Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time Universität Konstanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2001/02 Mikkel Thorup: Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer

Mehr

Laufzeit und Komplexität

Laufzeit und Komplexität Laufzeit und Komplexität Laufzeit eines Algorithmus Benchmarking versus Analyse Abstraktion Rechenzeit, Anzahl Schritte Bester, Mittlerer, Schlechtester Fall Beispiel: Lineare Suche Komplexitätsklassen

Mehr

Überblick. Lineares Suchen

Überblick. Lineares Suchen Komplexität Was ist das? Die Komplexität eines Algorithmus sei hierbei die Abschätzung des Aufwandes seiner Realisierung bzw. Berechnung auf einem Computer. Sie wird daher auch rechnerische Komplexität

Mehr

10 Dynamische Programmierung

10 Dynamische Programmierung 137 Dynamische Programmierung Das Prinzip der Dynamischen Programmierung wird häufig bei Fragestellungen auf Worten angewendet..1 Längste gemeinsame Teilfolge Wir betrachten Worte der rt w = a 1 a 2 a

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Efficient Parallel Algorithms for Edge Coloring Problems H. Karloff, D. Shmoys Journal of Algorithms 8, 39-52 (1987)

Efficient Parallel Algorithms for Edge Coloring Problems H. Karloff, D. Shmoys Journal of Algorithms 8, 39-52 (1987) Efficient Parallel Algorithms for Edge Coloring Problems H. Karloff, D. Shmoys Journal of Algorithms 8, 39-5 (1987) Ausarbeitung im Fach Parallele Algorithmen Dozent: Prof. Dr. Berrendorf Sommersemester

Mehr

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen

Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Zustandsübergangssystemen Constraint-Systemen Logiken Repräsentation von Mengen aussagenlogischer Regeln: Wissensbasis (Kontextwissen): Formelmenge,

Mehr

Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen

Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen Stephan Schwiebert Sommersemester 2009 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Maschinelles Lernen Überwachtes Lernen

Mehr

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395 Kostenmaße Bei der TM nur ein Kostenmaß: Ein Schritt (Konfigurationsübergang) kostet eine Zeiteinheit; eine Bandzelle kostet eine Platzeinheit. Bei der RAM zwei Kostenmaße: uniformes Kostenmaß: (wie oben);

Mehr

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen 9.4 Binäre Suchbäume Erweiterung: Einfügen an der Wurzel Standardimplementierung: Der neue Schlüssel wird am Ende des Suchpfades angefügt (natürlich, weil zuerst festgestellt werden muss, ob der Schlüssel

Mehr

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps Suchen und Heaps (Folie 245, Seite 63 im Skript) 3 7 21 10 17 31 49 28 14 35 24 42 38 Definition Ein Heap ist ein Binärbaum, der die Heapeigenschaft hat (Kinder sind größer als der Vater), bis auf die

Mehr

Lösungen zu Kapitel 7

Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig

Mehr