Sozialpolitik I (Soziale Sicherung) Wintersemester 2005/06

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1 Sozialpolitik I (Soziale Sicherung) Wintersemester 2005/06 3. Vorlesung: Theorie der Alterssicherung Dr. Wolfgang Strengmann-Kuhn

2 Theorie der Alterssicherung grundsätzliche Beschreibung OLG-Modell notwendig: dynamisches Modell Grundidee des overlapping-generations-model (siehe Abbildung 1) Individuen werden zu unterschiedlichen Zeitpunkten geboren und sterben irgendwann zu jedem Zeitpunkt leben also Individuen unterschiedlichen Alters deswegen: überlappende Generationen Abbildung 1: einfachste Variante: 2 Perioden (Abbildung 2): Abbildung 2: Generation I Generation II Generation III Generation IV Zeit t=1 t=2 t=3 t=4 zu jeder Periode t leben also jeweils 2 Generationen ( Junge und Alte ) Individuen Notation: t c 1 : Konsum in der ersten Lebensperiode eines in der Periode t Geborenen, entsprechend t t l, 1 l2 : Arbeitszeit in Periode 1 und Periode 2 sinnvoll, um Auswirkungen auf das Arbeitsangebot zu analysieren t c 2

3 Nutzenfunktion allgemein: U = U (c 1, c 2, l 1, l 2 ) vereinfachende Annahme: U für alle Individuen gleich - unabhängig davon, wann sie geboren werden häufig: U = u (c 1, l 1 ) + ρ u (c 2, l 2 ) mit u: Periodennutzenfunktion, ρ: subjektive Zeitdiskontrate ( 1) einfachster Fall: Annahmen - in Periode 2 wird nicht mehr gearbeitet l 2 =0 - in Periode 1 arbeiten alle gleichviel l 1 = const., z.b. l 1 =1 U = U (c 1, c 2 ), z.b. U= ln c 1 + ρ ln c 2 (Cobb-Douglas-Nutzenfunktion) c 2 intertemporale Präferenzen c 1

4 Budgetbeschränkung y 1, y 2 : Einkommen in den Perioden 1 und 2 einfachster Fall nur Arbeitseinkommen y 1 = w l (=w für l=1) oder y 1 = f (l), w: Lohnsatz, f: Produktionsfunktion y 2 = 0 Autarkielösung c 1 =w und c 2 =0 nicht pareto-optimal alle würden sich verbessern, wenn es einen Transfer von Gütern von den Alten zu den Jungen gäbe Frage: Ist eine Paretoverbesserung durch freien Wertpapierhandel möglich? Junge: wären bereit Güter gegen ein Wertpapier anzugeben Nachfrage auf dem Wertpapiermarkt Alte: wären bereit ein Wertpapier gegen Güter zu tauschen Angebot auf dem Wertpapiermarkt funktioniert trotzdem nicht, da die Alten, von denen die Jungen ein Wertpapier kaufen könnten, in der nächsten Periode nicht mehr leben, um das Wertpapier wieder in Güter zurück zu tauschen. Möglichkeiten der Paretoverbesserung gegenüber der Autarkie-Lösung 1) Geld staatlich garantiertes Wertpapier y 1 = w m y 2 = m, eventuell multipliziert mit (1-π), π: Inflationsrate

5 2) (staatliche) Alterssicherung im Umlageverfahren Staat bestimmt, dass die Jungen den Alten etwas abgeben ( Generationenvertrag ), eventuell auch durch soziale Normen Individuen: y 1 = w b, y 2 = p; b: Beiträge, p: Renten 3) Lagerung bisher: Annahme, dass Güter nicht von einer zur anderen Periode übertragen werden können, wenn das möglich ist, ändern sich die Budgetbeschränkungen wie folgt: y 1 = w s y 2 = s, eventuell multipliziert mit (1-φ), φ: Anteil der Güter, die verderben ähnlich wie das Modell mit Geld 4) Produktion mit Kapital Annahme: lagerbares Gut kann in der nächsten Generation zur Produktion verwendet werden Kapital Produktionsfunktion: F (K t-1, L t )

6 Analyse der grundsätzlichen Varianten der Alterssicherung Modell mit privater Vorsorge Zwei-Periodenmodell: erste Periode (Erwerbsphase) zweite Periode (Ruhestand) Konsum c 1 c 2 Arbeitseinkommen w l 0 Ersparnisse: s Zinssatz: r Nutzenfunktion: u = u (c 1,c 2 ) c 1 = y 1 s c 2 = s (1+r) c 1 + 1/ (1+r) c 2 = y 1

7 Modell mit Kapital gedeckter Alterssicherung erste Periode (Erwerbsphase) zweite Periode (Ruhestand) Konsum c 1 c 2 Arbeitseinkommen w l 0 Ersparnisse: s Zinssatz: r zusätzlich: Beitrag zur Alterssicherung: b = τ y 1 Rente: p = b (1+r) = (1+r) τ y 1 c 1 = y 1 τ y 1 s c 2 = (1+r) τ y 1 + s (1+r) c 1 + 1/ (1+r) c 2 = y 1 In diesem theoretischem Modell: gleiche Lösung wie bei privater Vorsorge Warum macht staatliche Alterssicherung möglicherweise trotzdem Sinn? - Unsicherheit über die Lebensdauer - Unsicherheit über die Renditen - Wenn staatliche Renditen höher sind als private - Individuen sorgen nicht genug vor (Nutzenfunktion!)

8 Modell mit Umlage finanzierter Alterssicherung (pay as you go system) overlapping generations Modell (OLG Modell) Menschen, die in Periode t geboren werden: N t Menschen, die in Periode t+1 geboren werden: N t+1 D.h.: zum Zeitpunkt t leben N t junge Menschen und N t-1 alte Menschen. n t := (N t+1 N t )/N t Bevölkerungswachstumsrate 1+n t : = N t+1 /N t : Wachstumsrate der Bevölkerung Periode t: N t Junge N t b N t-1 p N t-1 Alte Periode t+1: N t+1 Junge N t+1 b N t p N t Alte p = N t+1 /N t b = (1+n t ) b 1 + n t : natürlicher Zins für b = constant, p=constant bei lohnabhängigen Beiträgen und nicht-stationärer Wirtschaft: erste Periode (Erwerbsphase) zweite Periode (Ruhestand) Konsum c 1,t c 2,t Arbeitseinkommen w t l t 0 Ersparnisse: s t, Zinssatz: r t Beitrag zur Alterssicherung: b t = τ t y 1,t = τ t w t l t Rente: p t+1 Umlageverfahren: Es gilt: N t b t = N t-1 p t bzw. N t+1 b t+1 = N t p t+1 Rente: p t = b t N t / N t-1 = τ t w t l t (1 + n t-1 ) 1+i t = p t+1 /b t = [τ t+1 w t+1 l t+1 (1 + n t )]/ [τ t w t l t ] konstanter Beitragssatz: τ t =τ 1+i t =(1+g t ) (1+n t ) mit 1+g t := (w t+1 -w t )/w t

9 Lohnsummenwachstumsrate i t g t + n t konstantes Rentenniveau: q t = p t /w t =q : konstantes Bruttorentenniveau Rendite: da gilt: q=τ t w t l t (1 + n t-1 )/w t = τ t l t (1 + n t-1 ) ist 1+i t = (1+g t ) (1+n t-1 ) i t g t + n t-1 Auch bei schrumpfender Bevölkerung muss die Rendite des UV nicht negativ werden! falls g+n>r, ist das UV effizient. Aber Zusammenhang zwischen Rentenniveau und Beitragssatz bei konstantem Rentenniveau: q = τ t w t l t (1 + n t )/w t = τ t l t (1 + n t ) τ t = q/ l t (1 + n t ) endogene Produktion Produktion: 1- α Y t = F (K t-1, L t ), z.b. Y t = A K t-1α L t Optimum: F K = r Kapitalnachfrage ist eine fallende Funktion des Zinssatzes Kapitalangebot, also die Ersparnis Abhängigkeit vom Zinssatz unklar Grafik Einkommens- und Substititionseffekt bei Cobb-Douglas-Produktionsfunktion unabhängig vom Einkommen UV KV: - Kapitalangebotsfunktion verschiebt sich nach rechts - Kapital steigt - Y steigt (bei konstantem Arbeitsangebot) - aber Zinssatz sinkt und damit die Rendite des Kapitaldeckungsverfahrens

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