Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Oktober 2015 HSD. Physik. Bewegung in einer Dimension
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- Angelika Peters
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1 Physik Bewegung in einer Dimension
2 Überblick für heute 2. Semester Mathe wird das richtig gemacht! Differenzieren (Ableitung) Integration Strecke Geschwindigkeit Beschleunigung Integrieren und differenzieren ist vom Konzept nicht schwierig. Schwierig ist die Bilder im Kopf mit der Mathe zu verbinden und die Rechenregeln zu begreifen.
3 Graphen
4 Was bedeutet ein Graph? Ein Graph zeigt in einem Bild den Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen. Das können Messdaten sein. Oder ein Graph visualisiert ein mathematisches Modell.
5 Graphen
6 Graphen
7 Differenzieren Ableitung
8 Differenzieren Ableitung Konzept: wie stark ändert sich etwas? Wie stark hat sich mein Ort pro Zeit geändert? Wie stark hat sich meine Position im Raum verändert?
9 Differenzieren Ableitung Strich als Ableitung werden wir selten gebrauchen. Meist haben wir zeitliche Ableitungen, bei denen ein Punkt über die Variable gesetzt wird. Das ist typisch für Physik, und wird stellenweise in Mathe oder GET anders dargestellt. d dx f(x) =f 0 (x) d x(t) =ẋ(t) dt
10 Differenzieren Ableitung Wir benötigen Ableitungsregeln für Polynome und einzelne Sonderfunktionen: Euler-Funktion e Logarithmus ln Sinus und Kosinus d Ableitung dx xn = n x n 1 Kettenregel d dx g(f(x)) = d dx f(x) d innere Ableitung df g(f) äußere Ableitung
11 Integration
12 Integrieren Frage: wie groß ist die Fläche unter einer gegebenen Kurve? Idee: Ich zerlege eine Fläche in viele kleine Teile und addiere alle Teile zusammen. Bedeutung: schauen Sie sich die Einheiten an!
13 Integrieren In dieser Vorlesung werden nur einfache Polynome integriert. Bessere Methoden für viele andere Integrale lernen Sie in Mathe. f(x) =x n ) F (x) = 1 n +1 xn+1 + c Funktion Stammfunktion
14 Strecke Geschwindigkeit Beschleunigung
15 Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung Ein Auto fährt eine Strecke von 50km. Hierfür braucht es 1 Stunde. Das sind 50km/h. An der Ampel in der Stadt beschleunigt das Auto von 0km/h auf 50km/h in 10s. Das sind 50km/h/10s. v = s/ t = 50 km/h = 13.9m/s a = v/ t = 50 km/h/10s =1.39 m/s 2
16 BR Dampflok fährt 200 km/h Dampflok Baureihe 05 Seriennummer 002 Fährt am 11. Mai 1936 Weltrekordgeschwindigkeit 5km in < 90s = 200,4 km/h 558m in 10s = 200,9 km/h
17 x und dx dx ist eine mathematische Größe, ein Differential. Ein Differential ist,unendlich schmal. Die Bedeutung von,unendlich schmal wird in der Infinitesimalrechnung erläutert. x ist eine,echte Differenz. dx = lim!0 x
18 Beschleunigung und Geschwindigkeit Wann wird welche Formel angewandt? Im Allgemeinen sind immer die Ableitungen und Integrale die richtigen Formeln. Wir werden zwei Spezialfälle behandelt: Konstante Geschwindigkeit Kontante Beschleunigung Hier vereinfacht sich die Formel.
19 Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung Wir werden nur mit konstanten Beschleunigungen arbeiten. Daher müssen Sie sich nur eine einzige Formel merken. Diese erhalten Sie durch zweimalige Integration der Beschleunigungsgleichung. Hierbei dürfen die Integrationskonstanten nicht vergessen werden! a(t) = const = a 0. Z v(t) = a(t)dt Z = a 0 dt = a 0 t + v 0 x(t) = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0
20 Konstante Geschwindigkeit dx dt = v(t) = const. = v 0 x(t) dv dt = a(t) =0) v(t) = const. Geschwindigkeit konstant v(t) a(t) t t x(t) = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0 Nur hier auf Null gesetzt t
21 Konstante Beschleunigung Geschwindigkeit x(t) Integral Z v(t) = a(t)dt Z = a 0 dt = a 0 t Ableitung dv dt = a(t) = const. = a 0 v(t) a(t) t t t
22 Konstante Beschleunigung Strecke x(t) Integral Z x(t) = v(t)dt Z = a 0 tdt Ableitung dx dt = v(t) = a 0 t v(t) t t = 1 2 a 0 t 2 a(t) t
23 Konstante Beschleunigung x(t) Beschleunigung konstant t x(t) = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0 v(t) Nur hier auf Null gesetzt a(t) t t
24 Integrationskonstanten Bei den bisherigen Rechnungen wurden die Integrationskonstanten alle gleich Null gesetzt. Im Allgemeinen ist das nicht richtig. Z v(t) = a(t)dt = a 0 t + v 0 Integrationskonstante a(t) = const. = a 0
25 Zusammenfassung Geschwindigkeit konstant Beschleunigung konstant Strecke Geschwindigkeit x(t) =v 0 t + x 0 x(t) = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0 v = const. = v 0 v = a 0 t + v 0 Beschleunigung a =0 a = const. = a 0
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