Wie man Diophantische Gleichungen löst. Anna-Maria Chiavetta Seminar 28. Oktober 2013

Transkript

1 Wie man Diophantische Gleichungen löst Anna-Maria Chiavetta Seminar 28. Oktober 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung in das Thema 2. Lösbarkeit Diophantischer Gleichungen - Beispielgleichung 3. Ein anderer Blickwinkel - Höhenfunktion 4. Nadeln im Heuhaufen 5. Schlussfolgerung

3 1. Diophantische Gleichungen F(x1,x2,...,xn) = 0 F ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Die Lösungen sind auszoder Q, je nach Bedarf. Benannt nach Diophantos von Alexandria

4 Beispiele x³+y³+z³ = 29 x³+y³+z³ = 30 (x,y,z)=(3,1,1) (x,y,z)=(4,-3,-2) x³+y³+z³ = 31 x = y = z = x³+y³+z³ = 33 Keine Lösung a³ -1;0;1 mod 9 => Summe aus 3 Kubikzahlen ist 4;5 mod 9 Unbekannt

5 2. Lösbarkeit Diophantischer Gleichungen David Hilberts 10. Problem: Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung Er versuchte eine Methode zu finden, um nach endlich vielen Operationen eine Entscheidung treffen zu können. (Er sucht einem Algorithmus)

6 Kann man die Lösbarkeit zeigen? Der Beweis zu zeigen, dass es solch ein Algorithmus gibt, ist einfach: Algorithmus finden und aufschreiben! Zu zeigen,dass es keinen Algorithmus gibt ist ein Problem: Alle möglichen Algorithmen betrachten und zeigen, dass keiner das Problem löst.

7 Theorem 1 (Davis, Putnam, Robinson, Matiyasevich) Die Lösbarkeit Diophantischer Gleichungen ist unentscheidbar Die Lösbarkeit kann immer gezeigt werden beim Durchsuchen abzählbar vieler Möglichkeiten Probleme treten auf wenn, - Keine Lösung existiert. - Endlich viele Lösungen existieren und alle Lösungen gefunden werden sollen.

8 Sollen wir jetzt aufgeben? Nein! Wir wollen versuchen Algorithmen zu finden, für bestimmte Arten von Gleichungen. (z.b.: für Polynome in 2 Variablen)

9 Das Pascalsche Dreick

10 Beispielgleichung Wir suchen eine ganzzahlige Lösung für: (1) Nebenbedingungen: 1 < k y/2, 1 < l x/2 und k < l

11 Lösungen F steht für die Fibonacci-Zahlen (F0=0, F1=1, Fn+2=Fn+1 + Fn)

12 Gleichung (1) hängt nicht in polynomialer Weise von k und l ab, deshalb ist sie nach unserer Definition keine Diophantische Gleichung. Wir nehmen k und l konstant, (k,l) {(2,3),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(4,6)} (sind schon vollständig gelöst) Noch ungelöst ist der Fall (k,l) = (2,5) oder (2) 60y(y-1) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

13 Lösungen suchen: x = 0,1,2,3,4,5,6,7,15 und 19 Sind dies nun alle Lösungen? Wenn ja, wie können wir das Beweisen? Nun müssen wir überlegen was über die Lösungensmengen solcher Gleichungen bekannt ist bewies Carl Ludwig Siegel hierfür, das erst wichtige Ergebnis.

14 Theorem 2 (Siegel) Sei F ein irreduzibles Polynom in 2 Variablen x und y mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn die Lösungen von F(x,y)=0 nicht rational parametrisiert werden können, dann hat F(x,y)=0 nur endlich viele ganzzahlige Lösungen.

15 Rationale Parametrisierung: Ist ein Paar f(t), g(t) rationaler Funktionen nicht beide Konstant, s.d. F(f(t),g(t))=0 ist. Dies kann algorithmisch geprüft werden. Theorem 2 und sein Beweis sind ineffizient, da es keine Schranke für die Größe der Lösungen gibt. ( bis 1960) Alan Baker entwickelt die Linearformen in Logarithmen!

16 => für (2) gilt x < 10^10^10^10^600 (3) (Obere Schranke) => endliches Problem Wir wollen nun die vollständige Liste der Lösungen Druch Verbesserungen und Verfeinerungen wurde die Schranke reduziert auf: x < 10^10^600 (4)

17 3. Ein anderer Blickwinkel Eine geometrische Interpretation F(x,y)=0 ist eine Teilmenge der Ebene, die aus den Punkten besteht, deren Koordinanten die Gleichung erfüllen. F ist ein Polynom => Die Lösungsmenge ist eine ebene algebraische Kurve C(Z) ist die Menge der ganzzahligen Punkte auf der Kurve C

18 Kurve C in R² Wir sind nur an den ganzzahligen Punkten auf C interessiert.

19 Die algebraische Geometrie sagt uns: C kann in ein anderes Objekt J eingebettet werden, wobei J eine Fläche darstellt. Dies nennt man die Jacobi-Varietät Eigenschaften von J: J ist eine Gruppe Die Menge J(Z) ist eine abelsche Gruppe

20 Theorem 3 (Weil) Wenn J die Jacobi-Varietät einer Kurve ist, dann ist die abelsche Gruppe J(Z) endlich erzeugt. D.h. wir wollen eine explizite Beschreibung der Gruppe durch Erzeuger und Relationen finden.

21 Wozu? Um die Elemente von J(Z), welche im Bild von C liegen in den Griff zu bekommen. Explizites Erzeugendensystem algorithmisch bestimmen => es können alle ganzzahligen Lösungen gefunden werden. Allerdings ist unbekannt ob dies immer möglich ist.

22 Zu unserer Beispielgleichung Es ist möglich: J(Z) ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang 6: J(Z)=ZP1+ZP2+ZP3+ZP4+ZP5+ZP6 (5) mit bekannten P1,...,P6 J(Z) Sei i : C à J eine Einbettung von C in J J ist ein hoch dimensionaler Raum Die ganzzahligen Punkte darauf sind durch eine Anzahl von Koordinaten gegeben.

23 Eigenschaften: => Höhenfunktion h: J(Z) à R 0 h(i(x,y)) log x, für (x,y) C(Z) (6) (Zeigt das Verhalten der Punkte auf der Kurve) h(n1p1+n2p2+n3p3+n4p4+n5p5+n6p6) n1²+n2²+n3²+n4²+n5²+n6² (7) (Zeigt die Verträglichkeit mit der Gruppenstruktur auf J) => h ist eine positiv definite quadratische Form auf J(Z) bis auf einen beschränkten Fehler. Wir kombinieren nun die Ausage (4) mit (6) u. (7)

24 Lemma 1 Wenn (x,y) C(Z) ist, dann haben wir i(x,y) = n1p1+n2p2+n3p3+n4p4+n5p5+n6p6 mit nj Z, welche nj <10^300 erfüllt. Die gegebene Schranke ist nicht genau. Durch die Gruppenstruktur kann die Schranke von 10^10^600 auf 10^1800 verkleinert werden. => diese Zahlen kann nun ein Computer dastellen.

25 4. Nadeln im Heuhaufen H={(n1+n2+n3+n4+n5+n6) Z⁶: nj < 10^300} 10^1800 Halme und eine kleine Anzahl an Nadeln Wir wollen Bedingungen an die Position der Nadeln stellen, um einen großen Teil des Heuhaufens auszuschließen.

26 An dieser Stelle benutzen wir, dass die Gruppenstruktur auf J geometrisch definiert ist. Die Objekte C, J und i sind über Z definiert. Ihre Gleichungen modulo p betrachten, wobei p eine Primzahl ist. KörperZ/pZ bezeichen wir als Fp C(Fp) und J(Fp) sind die Mengen der Punkte die die Gleichungen mod p erfüllen. Dann ist J(Fp) bis auf endlich viel p wieder abelsch und sie enthält das Bild i(c(fp)) auf C(Fp) Gruppe J(Fp) endlich => Menge C(Fp) endlich

27 Die senkrechten Abbildungen erhält man durch reduzieren der Koordinaten mod p Die geometrische Natur der Gruppenstruktur implizert, dass die rechte senkrechte Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. αp ist ein Gruppenhomomorphismus, welcher durch das Bild der Erzeuger P1...P6 von J(Z) festgelegt ist.

28 Lemma 2 Seien (x,y) C(Z) und n1,n2,n3,n4,n5,n6 Z mit i(x,y) = n1p1+n2p2+n3p3+n4p4+n5p5+n6p6 Dann ist αp(n1,n2,n3,n4,n5,n6) ip(c(fp))

29 Die Teilmenge ʎp=αp^-1 (ip(c(fp))) Z⁶ ist eine Vereinigung von #C(Fp) Nebenklassen einer Untergruppe vom Index #J(Fp) inz⁶. # C(Fp) p und #J(Fp) p² => H ʎp hat nur 1/p mal so viele Elemente, wie H. Nun kombinieren wir die Einschränkungen vieler Primzahlen.

30 Wir nennen S eine große, endliche Menge von Primzahlen und setzen, ʎs = ʎp mit p S und erhalten i(c(z)) ʎs H. Je größer wir nun S wählen, umso kleiner wird ʎs H. Wir haben eine Reduktion der Heuhaufengröße erreicht und jetzt ist ein Computer in der Lage uns ein Ergebnis zu liefern.

31 5. Schlussfolgerung (Bugeaud, Mignotte, Siksek,Stoll, Tengely) Seien x,y ganze Zahlen, die die Gleichung erfüllen. Dann ist x {0,1,2,3,4,5,6,7,15,19}

32 Vielen Dank Quellenangabe: - Einladung in die Mathematik (2013) ISBN