Quadratische Gleichungen. Üben. Lösung. Quadratische Gleichungen. Klasse. Schwierigkeit. Art. math. Thema. Nr. Löse mit der Lösungsformel:

Transkript

1 1a Löse mit der sformel: a) x 2 + 6x + 5 = 0 b) y 2 + 6y + 7 = 0 c) z 2 13z 48 = 0 1a a) a = 1, b = 6, c = ± x 1/ 2 = ; x1 5 ; x2 = b) x 1 = 3 2 ; x 2 = 3+ 2 c) x1 = - 3 ; x2 = 16

2 1b Löse mit der sformel: a) x 2 + 8x - = 0 b) y 2 - y - 20 = 0 c) 3z 2 4z 4 = 0 1b a) a = 1, b = 8, c = ± ( ) x 1 / 2 = ; x1 ; x2 = b) L = {- 4 ; 5} c) L = {- 2/3 ; 2}

3 1c Löse mit der sformel: a) 3x 2 4x - 4 = 0 b) 2y 2-11y - 6 = 0 c) 2z 2 + z + 7 = 0 1c a) a = 3, b = - 4, c = ± ( 4) 4 3 ( 4) 2 x 1 / 2 = ; x1 = ; x2 = b) L = {- 0,5 ; 6} c) L = {- 3,5 ; 1}

4 1d Löse mit der sformel: a) 2x 2-5x - 42 = 0 b) y 2 - y - 56 = 0 c) 3z 2 11z + 10 = 0 1d a) a = 2, b = - 5, c = ± ( 5) 4 2 ( 42) x 1 / 2 = ; x1 = 3,5 ; x2 = b) L = {- 7 ; 8} c) L = { 5/3 ; 2}

5 2a Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax 2 + bx + c = 0 a) (x+1)(2x+3) = 4x 2-22 b) u 2 + (2u 1) 2 = 25 c) (3r 4) 2 (4r 3) 2 + (5r - 2)(5r + 2) = 18( r + 2) + 3 2a a) 2x 2 5x 25 = 0 ; L = {- 2,5 ; 5} b) 5u 2 4u 33 = 0 ; L = {- 2,2 ; 3} c) 18r 2 18r 36 = 0 ; L = {- 1 ; 2}

6 2b Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax 2 + bx + c = 0 a) (y- 3) 2 = 2(y 2 - ) b) v(3v 7) v + 4 = (v+2) 2 c) (s+3)(s- 7)+(s+2)(s- 3) = (1,4s+4)(1,4s- 4) 2b a) y 2 + 6y 27 = 0 ; L = {- ; 3} b) 2v 2 12v = 0 ; L = {0 ; 6} c) 1,04s 2 3s 11 = 0 ; L = {- 55/26 ; 5}

7 2c Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax 2 + bx + c = 0 a) (2z- 3) 2 = (z- 1)(z- 4) + z b) (3w+5) 2 w(7w- 5) = 2w + 45 c) (2a+6)(17,5-2,5a) (10+5a)(2a- 3) = (7a+20)(4-1,4a) 2c a) 3z 2 16z + 5 = 0 ; L = { 1/3 ; 5} b) 2w 2 + 6w 20 = 0 ; L = {- 5 ; 2} c) 5,2a 2 15a 55 = 0 ; L = {5 ; - 55/26}

8 3a Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax 2 + bx + c = 0 (2x- 4)(2x- 3) = (6x- 14)(2x- ) (2x- 12)(5x- 12) 3a 4x 2-6x 8x + 12 = 12x 2 54x 28x x2 + 24x + 60x x 2 16x + 30 = 0 D = => L = { 3 ; 5 }

9 3b Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax 2 + bx + c = 0 (x+2) 2 + (6x- 2)(x- 3) (26x- 61) = (2x- 6) 2 (3x- 5) 2 3b x 2 + 4x x 2 2x 18x x + 61 = 4x 2 24x + 36 x x x 2 48x + 60 = 0 D = < 0 => L = { } (die ganze Arbeit war umsonst L )

10 4a Löse ohne sformel: a) x = 56 b) (x- 7)(x+7) = 15 c) 2x 2 = 10x 4a a) x 2 = 30 ; x 1/2 = ± 30 b) x 2 4 = 15 ; x 2 = 64 ; x1 = - 8 ; x2 = 8 c) 2x 2 10x = 0 ; 2x(x- 5) = 0 ; x1 = 0 ; x2 = 5

11 4b Löse ohne sformel: a) 5x 2 +1 = 81 b) (x+2)(x- 2) = 12 c) x 2 = - 4x 4b a) x2 = 16 ; x 1/2 = ±4 b) x 2 4 = 12 ; x 2 = 16 ; x 1/2 = ±4 c) x 2 + 4x = 0 ; x(x+4) = 0 ; x1 = 0 ; x2 = - 4

12 4c Löse ohne sformel: a) 5 3x 2 = - 22 b) (z- 15)(z+15)=400 c) 7x 2 = 8x 4c a) x 2 = ; x 1/2 = ±3 b) z = 400 ; z 2 = 625 ; x 1/2 = ±25 c) 7x 2 8x = 0 ; x(7x- 8) = 0 ; x1 = 0; x2 = 8/7

13 5a Welche Werte muss k annehmen, damit die Gleichung keine, eine oder zwei en hat? a) x 2 + kx + 4 = 0 b) x 2 + kx 2k 2 = 0 c) kx 2 + k 2 x + k = 0 5a a) D = k 2 16 ; D = 0: eine für k = 4 und k = - 4 D > 0: zwei en für k<- 4 und k>4 D < 0: keine en für - 4 < k < 4 b) D = k 2 + 8k 2 = k 2 ; D = 0: eine für k = 0 D > 0: zwei en für alle anderen k D < 0: nicht möglich c) D = k 4-4k 2 = k 2 (k 2 4); D = 0: eine für k = 0 und k = - 2 und k = 2 D > 0: zwei en für k<- 2 und k> 2 D < 0: keine für - 2 < k < 2

14 5b Welche Werte muss k annehmen, damit die Gleichung keine, eine oder zwei en hat? a) x 2 4x + k = 0 b) x 2 2kx 8k = 0 c) x 2 (k+2)x + 1 = 0 5b a) D =16 4k ; D = 0: eine für k = 4 D > 0: zwei en für k<4 D < 0: keine en für k>4 b) D = 4k k 2 = 36k 2 ; D = 0: eine für k = 0 D > 0: zwei en für alle anderen k D < 0: nicht möglich c) D = (k+2) 2-4 = k 2 +4k = k(k+4); D = 0: eine für k = 0 und k = - 4 D > 0: zwei en für k<- 4 und k>0 D < 0: keine für - 4 < k < 0

15 5c Welche Werte muss k annehmen, damit die Gleichung keine, eine oder zwei en hat? a) kx 2 + 6x + 1 = 0 b) 2x 2 (k + 2)x + k = 0 c) 3k 2 x 2 + 4kx + 1 = 0 5c a) D = 36-4k ; D = 0: eine für k = D > 0: zwei en für k< D < 0: keine für k> b) D = (k+2)2 8k = k 2 + 4k + 4 8k = k 2-4; D = 0: eine für k = 2 und k = - 2 D > 0: zwei en für k<- 2 und k>2 D < 0: keine für - 2 < k < 2 c) D = 16k 2-12k 2 = 4k 2 ; D = 0: eine für k = 0 D > 0: zwei en für alle anderen k D < 0: nicht möglich

16 6 a) Multipliziert man zwei aufeinanderfolgende, ganze Zahlen mit einander, so erhält man Wie lauten diese Zahlen? b) Das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger einer ganzen Zahl ist um 37 größer als die Zahl selbst. Um welche Zahl handelte s sich? c) Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 1216cm 2. Die eine Seite ist 6cm länger als die andere. Berechne die Seitenlängen. 6 a) Beachte x Z! x(x+1) = 1056 x 2 + x 1056 = 0 x 1= 32 ; x2 = - 33 b) Beachte x N! (x- 1)(x+1) = x +37 x 2 - x- 380 = 0 x = 20 c) Beachte x R +! Seiten: a und b = a+6 a(a+6) = 1216 a 2 + 6a 1216 = 0 a = 32, b = - 38

17 7 Die Summe der Quadrate von vier auf einander folgenden, natürlichen Zahlen beträgt 446. Berechne diese Zahlen 7 Beachte x N! x 2 + (x+1) 2 + (x+2) 2 + (x+3) 2 = 446 x 2 + x 2 + 2x x 2 + 4x x 2 + 6x + = 446 4x x 432 = 0 x 1/2 = 12 ± ( 432) 8 x 1 = ; x 2 = 12 ( ) = 12 ± 84 8

18 8 Bei einem Quader ist die zweite Kante 1cm länger als die erste und die dritte 3cm länger als die zweite. Wie lang sind diese Kanten, wenn die Raumdiagonale 17cm lang ist? 8 Kanten a,b,c > 0! b = a + 1 ; c = b + 3 = a + 4 a 2 + b 2 + c 2 = 17 2 a 2 + (a+1) 2 + (a+4) 2 = 28 a 2 + a 2 + 2a a 2 + 8a + 16 = 28 3a a 272 = 0 10 ± ( 272) a 1/2 = = 6 # a 1 = 8 ; a 2 = 34 & % ( $ 3 ' : a = 8, b =, c = ± 58 6