2 Die naturlichen Zahlen

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1 2 Die naturlichen Zahlen 2.1 Historisches Schon fruh in der Kulturgeschichte stellte man die Frage nach dem Wesen der Zahlen. Wahrend sich jedoch die Agypter und Babylonier mit einer hoch entwickelten Rechentechnik begn ugten, ruckten die Zahlen bei den Pythagoreern ins Blickfeld einer philosophischen Betrachtung. Euklid (3. Jhd. v. Chr.) deniert in den Elementen VII, 2: " Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.\, wahrend es vorher (VII, 1) heit: " Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird.\ Euklid und Aristoteles fassen die Einheit nicht als Zahl auf, sondern die Einheit ist " Grundlage des Zahlens, der Ursprung der Zahl.\ Diese Denition wird von Georg Cantor (1845{1918) aufgegrien, der die Kardinalzahl als eine aus lauter Einsen zusammengesetzte Menge bezeichnet (Quelle: Ebbinghaus et al. (1992), Zahlen). 2.2 Denition der naturlichen Zahlen Denition 1 (Richard Dedekind (1831{1916), 1888) Die naturlichen Zahlen bilden eine Menge N, in der ein Element 1 2 N (die Eins) ausgezeichnet ist und auf der eine Selbstabbildung S : N! N deniert ist, so dass gilt: (S1) S ist injektiv. (S2) 1 =2 S(N). (S3) Wenn eine Teilmenge M N die Eins enthalt und S(M) M gilt, so muss diese Teilmenge schon ganz N sein: M = N. Diese Denition bildet im wesentlichen den naturlichen Prozess des Abzahlens mathematisch nach. Man beginnt mit dem ersten Element und muss stets von jedem Element zum nachsten gelangen, ohne ein Element doppelt zu zahlen (Injektivitat). Das Axiom (S3) (Induktionsprinzip) verhindert u.a. die Existenz einer Teilmenge M 0, fur die S(M 0 ) = M 0 und die die Eins nicht enthalt (M 0 konnte z.b. ein in sich geschlossener Zahlzyklus sein.). Aus dieser Festlegung folgt der hier nicht bewiesene Satz 1 (Einzigkeitssatz) Sei N 0 eine Menge mit einer Nachfolgerfunktion S 0, einem ausgezeichneten Element 1 0 und den Axiomen (S1){(S3). Dann sind N 0 und N kanonisch isomorph, das heit, es gibt genau eine bijektive Abbildung : N! N 0 mit (1) = 1 0 und S 0 = S. Bemerkung: Hier und im folgenden soll die Notation S so verstanden werden, dass zuerst die Abbildung S ausgefuhrt wird und danach die Abbildung, das Zeichen " \ ist also als " nach\ zu lesen. 2.3 Die Addition in N Denition 2 Fur alle m 2 N wird deniert: () m + 1 := S(m), () m + S(n) := S(m + n) fur alle n 2 N. Folgende Aussage wird hier nur mitgeteilt und nicht bewiesen: Satz 2 Durch obige Denition wird jedem Zahlenpaar (m; n) 2 N N eindeutig eine Zahl m + n 2 N zugeordnet. " +\ ist also eine (zweistellige) Verknupfung auf N bzw. (N; +) ist ein Verknupfungsgebilde. Satz 3 (Assoziativgesetz der Addition, +, Verbindungsgesetz) Fur alle naturlichen Zahlen a; b; c 2 N gilt: (a + b) + c = a + (b + c). Beweis: Vollstandige Induktion uber c: Induktionsanfang (c = 1): (a + b) + 1 = S(a + b) = a + S(b) = a + (b + 1).

2 Induktionsschritt: Gelte fur ein c 2 N: (a + b) + c) = a + (b + c) (*). Zu zeigen ist, dass dann auch (a + b) + (c + 1) = a + (b + (c + 1)) gilt. (a + b) + (c + 1) = (a + b) + S(c) = S((a + b) + c) = S(a + (b + c)) = a + S(b + c) = a + (b + S(c)) = a + (b + (c + 1)) Bemerkung: Aufgrund des Assoziativgesetzes kann man Klammern weglassen, da z. B. in einem Ausdruck wie die Reihenfolge der Verknupfungen keine Rolle spielt (gleiches folgt aus dem { spater gezeigten { Assoziativgesetz der Multiplikation). Zum Beweis des 2. wichtigen Gesetzes der Addition formulieren wir zuerst den Hilfssatz 4 Fur alle n 2 N gilt: n + 1 = 1 + n. Beweis: Vollstandige Induktion uber n: Induktionsanfang (n = 1): = Induktionsschritt: Gelte fur ein n 2 N: n+1 = 1+n (*). Zu zeigen ist, dass dann auch (n+1)+1 = 1+(n+1) gilt. (n + 1) + 1 = S(n + 1) = S(1 + n) = 1 + S(n) = 1 + (n + 1) Satz 5 (Kommutativgesetz der Addition, KG +, Vertauschungsgesetz) Fur naturlichen Zahlen a; b 2 N gilt: a + b = b + a. Beweis: Vollstandige Induktion uber b mit beliebigem a: Induktionsanfang (b = 1): a + 1 = 1 + a (Hilfssatz). Induktionsschritt: Gelte fur ein b 2 N: a+b = b+a (*). Zu zeigen ist, dass dann auch a+(b+1) = (b+1)+a gilt. a + (b + 1) = a + S(b) = S(a + b) = S(b + a) = b + S(a) = b + (a + 1) Hilfssatz = b + (1 + a) (b + 1) + a Satz 6 (Kurzungsregel der Addition) Fur alle naturlichen Zahlen a; b; m 2 N gilt: a+m = b+m ) a = b. Beweis: Vollstandige Induktion uber m: Induktionsanfang (m = 1): a + 1 = b + 1 ) S(a) = S(b) ) a = b, letzteres aufgrund der Injektivitat von S. Induktionsschritt: Gelte fur ein m 2 N: a + m = b + m ) a = b (*). Zu zeigen ist, dass dann auch a + (m + 1) = b + (m + 1) ) a + b gilt. a + (m + 1) = b + (m + 1) ) a + S(m) = b + S(m) ) S(a + m) = S(b + m) S injektiv ) a + m = b + m ) a = b alle

3 2.4 Die Multiplikation in N Denition 3 Fur alle m 2 N wird deniert: (M1) m 1 := m, (M2) m S(n) = m (n + 1) := m n + m fur alle n 2 N. Wir teilen ohne Beweis mit: Satz 7 Durch obige Denition wird jedem Zahlenpaar (m; n) 2 N N eindeutig eine Zahl m n 2 N zugeordnet. " \ ist also eine (zweistellige) Verknupfung auf N bzw. (N; ) ist ein Verknupfungsgebilde. Bemerkung: Fur weniger Klammerpaare sorgt die Regel " Punkt vor Strich\: In einem vermischten Ausdruck aus Additionen und Multiplikationen gelten die Multiplikationen grundsatzlich als geklammert: = 4 + (7 6). Ebenfalls fur eine Reduzierung an Schreibarbeit sorgt die Vereinbarung, dass bei der Verwendung von Variablen das Verknupfungszeichen " \ entfallen kann: 4a = 4 a. Satz 8 Fur alle naturlichen Zahlen a; b; c 2 N gilt: 1. Assoziativgesetz der Multiplikation ( ): (a b) c = a (b c) 2. Kommutativgesetz der Multiplikation (KG ): a b = b a 3. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) (DG): (a + b) c = a c + b c Beweis: Die Beweise erfolgen durch vollstandige Induktion. Wir beweisen exemplarisch das Distributivgesetz durch Induktion uber c: Induktionsanfang (c = 1): (a + b) 1 = a + b = a 1 + b 1 (jew. aufgrund von M1). Induktionsschritt: Gelte fur ein c 2 N: (a + b) c = a c + b c (*). Zu zeigen ist, dass dann auch (a + b) (c + 1) = a (c + 1) + b (c + 1) gilt. (a + b) (c + 1) M2 = (a + b) c + (a + b) = (a c + b c) + (a + b) ((a c + b c) + a) + b (a c + (b c + a)) + b KG (a c + (a + b c)) + b ((a c + a) + b c) + b ((a c + a) + (b c + b) M2 = (a (c + 1) + (b (c + 1)) 2.5 Die Anordnung der naturlichen Zahlen Wir wollen nun die naturlichen Zahlen um ein Element erweitern (die " Null\), fur die wir die bisher erklarten Operationen ebenfalls erklaren mussen. Denition 4 N 0 := N [ f0g := 0, 0 0 := 0. Fur alle a 2 N sei a + 0 := 0 + a := a und a 0 := 0 a := 0. Bemerkungen: Die in N bewiesenen Gesetze gelten auch in N 0. Auf die Beweise verzichten wir. Ebenso ist kunftig der Beweis mit vollstandiger Induktion uber N 0 moglich. Denition 5 Auf N 0 (a; b 2 N 0 ): werden die Relationen " \ und " <\ (sowie " \ und " >\) wie folgt erklart 1. Wir schreiben a b ( " a ist kleiner oder gleich b.\) genau dann, wenn es ein t 2 N 0 gibt mit a + t = b. Statt a b schreiben wir auch b a.

4 2. Wir schreiben a < b ( " a ist kleiner als b.\) (bzw. b > a) genau dann, wenn a b und a 6= b. Folgerung: Fur alle a; b 2 N 0 ist a < b genau dann, wenn ein t 2 N existiert mit a + t = b. Satz 9 Die Relation " \ ist eine Ordnungsrelation. Die Relation " <\ ist transitiv. Beweis: 1. " \ ist reexiv, denn es ist stets a + 0 = a, also a a. 2. " \ ist antisymmetrisch: Sei a b, etwa a + u = b, und b a, etwa b + v = a. Dann folgt a + 0 = a = b + v = (a + u) + v = a + (u + v). Wegen der Kurzungsregel folgt u + v = 0 und damit u = v = 0 (warum?), woraus a = b folgt. 3. " \ ist transitiv: Sei a b, etwa a + u = b, und b c, etwa b + v = c. Es folgt: c = b + v = (a + u) + v = a + (u + v), also a c. Analog zeigt man die Transitivitat von " <\ (Ubung). Satz 10 (Trichotomiegesetz) Fur alle a; b 2 N 0 b < a. gilt stets genau einer der Falle a < b, a = b oder Folgerung: Fur alle a; b 2 N 0 ist a b oder b a, d. h. die Ordnung ist linear (total): " Je zwei Elemente aus N 0 konnen verglichen werden.\ Beweis des Satzes: 1. Es gilt hochstens einer dieser Falle: Nach Denition von " <\ ist a < b (b < a) mit a = b unvereinbar. Sei also a < b, woraus a b folgt, und b < a, woraus b a folgt. Hieraus folgt nach der Antisymmetrie von " \, dass a = b sein muss, was aber mit beiden Annahmen unvereinbar ist. 2. Es gilt mindestens einer dieser Falle: Beweis durch vollstandige Induktion uber b fur ein beliebiges a. Induktionsanfang (b = 0): Entweder ist a = 0 oder a 6= 0. Im zweiten Fall ist 0 < a, denn 0 + a = a. Fur den Induktionsschritt nehmen wir an, dass fur ein b 2 N 0 a < b oder a = b oder b < a gelte. Zu zeigen ist, dass dann a < b + 1 oder a = b + 1 oder b + 1 < a gilt. Aus a < b, etwa a + t = b (t 2 N), folgt a + (t + 1) = b + 1, also a < b + 1. Aus a = b folgt a + 1 = b + 1, also a < b + 1. Aus b < a, etwa b + t = a (t 2 N), folgt t = 1 (Fall 1) oder t 6= 1 (Fall 2). Im 1. Fall ist b + 1 = a. Im 2. Fall gibt es ein t 0 2 N mit t = S(t 0 ) = t 0 + 1, d. h. a = b + t = b + (1 + t 0 ) = (b + 1) + t 0, also b + 1 < a. Satz 11 (Monotoniegesetze der Addition und Multiplikation) Fur alle a; b; c 2 N 0 gilt: 1. a < b ) a + c < b + c 2. Falls c 6= 0: a < b ) a c < b c Bemerkung: (1) gilt auch mit " \. (2) gilt mit " \ sogar fur c = 0. Beweis: Wir beweisen hier nur die zweite Aussage (Beweis von (1) zur Ubung). Sei a < b, etwa a + t = b, t 6= 0. Nach Multiplikation mit c folgt mit dem Distributivgesetz (a + t) c = a c + t c = b c, wobei t c 6= 0. Hieraus folgt die Behauptung. Satz 12 (Kurzungsregel der Multiplikation) Fur alle a; b; c 2 N 0, c 6= 0, gilt: a c = b c ) a = b. Beweis: Wir beweisen die Kontraposition: Gelte also a 6= b. Dann ist entweder a > b, woraus sich a c > b c ergibt, oder a < b, woraus a c < b c folgt, jeweils aus dem Monotoniegesetz der Multiplikation. Insgesamt folgt also a c 6= b c.

5 2.6 Zusammenfassung Mit folgender Denition: Denition 6 Ein Verknupfungsgebilde mit einer assoziativen Verknupfung heit Halbgruppe. erkennen wir, dass (N 0 ; +) und (N 0 ; ) Halbgruppen sind. Es gilt jedoch noch mehr: Denition 7 Sei (A; ) ein Verknupfungsgebilde. n 2 A heit neutrales Element, wenn fur alle a 2 A gilt: a n = n a = a. Da sich die neutralen Elemente fur " +\ und " \ aus den jeweiligen Denitionen ergeben, sehen wir: Satz 13 (N 0 ; +) und (N; ) sind Halbgruppen mit neutralem Element und Kurzungsregel. Insgesamt haben wir eine reichhaltige mathematische Struktur auf den nat urlichen Zahlen etabliert, die wir mit (N 0 ; +; ; ) bezeichnen wollen. Bei den folgenden Zahlbereichserweiterungen wird darauf zu achten sein, dass diese Struktur erhalten bleibt. Zum Abschluss des Kapitels sollen die Axiome fur die naturlichen Zahlen in der Form nachgetragen werden, wie sie von Guiseppe Peano (1858{1932) 1889 formuliert wurden. Auch Peano geht von den Grundbegrien N 0, 0 und S aus: (P1) 0 2 N 0. (P2) Wenn n 2 N 0, dann S(n) 2 N 0. (P3) Wenn n 2 N 0, dann S(n) 6= 0. (P4) Wenn 0 2 E und wenn aus n 2 E stets S(n) 2 E folgt, ist N 0 E. (P5) Wenn m; n 2 N 0, folgt aus S(m) = S(n), dass m = n ist. 2.7 Ubungen 1. Geben Sie eine Menge M an und eine Selbstabbildung S auf M, so dass (S1) und (S2) erfullt sind, M aber dennoch nicht isomorph zu N ist. 2. Wie sind nun Addition und Multiplikation insgesamt auf N 0 erklart? Kann man dies vereinfachen? 3. (N 0 ; +) und (N; ) sind beide kommutative Halbgruppen mit neutralem Element und Kurzungsregel. Zeigen Sie, dass sie dennoch nicht isomorph sind. 4. Beweisen Sie: Fur alle a; b 2 N 0 : a b = 0, a = 0 oder b = Beweisen Sie: Jede nicht leere Teilmenge M N 0 enthalt ein kleinstes Element. (Prinzip der kleinsten Zahl) Hinweis: Betrachten Sie die Menge V = fx 2 N 0 j x < y fur alle y 2 Mg.