30. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 6 Saison 1990/1991 Aufgaben und Lösungen

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1 30. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 6 Saison 1990/1991 ufgaben und Lösungen 1

2 OJM 30. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 6 ufgaben Hinweis: er Lösungsweg mit egründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene ussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende ussage aus dem Schulunterricht oder aus rbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne eweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen. ufgabe : a) Zeichne in ein Koordinatensystem das Quadrat mit den ckpunkten und das Quadrat P QRS mit den ckpunkten ein! (1;1), (5;1), (5;5), (1;5) P(9;1), Q(13;1), R(13;5), S(9;5) b) Gibt es eine Spiegelung und auch eine rehung, bei der das Quadrat P QRS das ild des Quadrates ist? Wenn dies der all ist, gib die Koordinaten des rehzentrums und die Größe des rehwinkels an! ine egründung wird nicht verlangt. Hinweis: Wenn das Quadrat P QRS das ild des Quadrates ist, so braucht die Reihenfolge P, Q, R, S nicht die Reihenfolge der ildpunkte,,, zu sein. ufgabe : bbildung a a) bbildung b Sechs Personen,,,,, wollen ihre Sitzordnung (bbildung a) so ändern, daß in der neuen Sitzordnung jede Person feststellen kann: Unter meinen beiden Nachbarn befindet sich jetzt keiner der beiden, die ich vorher (in bbildung a) als Nachbarn hatte. bbildung b zeigt eine solche neue Sitzordnung. ülle zur Überprüfung, daß tatsächlich eine Sitzordnung der geforderten rt vorliegt, die folgende Tabelle aus! Person Nachbarn in bb. a Nachbarn in bb. b 2

3 b) Gib alle weiteren Möglichkeiten in einer neuen Sitzordnung der geforderten rt an! abei sollen jeweils außer einer schon angegebenen Möglichkeit diejenigen nicht mehr angegeben werden, die aus ihr durch rehung oder Spiegelung zu erhalten sind. ine egründung wird nicht verlangt. ufgabe : ine uchdruckerei habe zum ruck der Ziffern 0, 1,..., 9 Lettern in folgenden Stückzahlen zur Verfügung: Ziffer Stückzahl Unter Verwendung nur dieser Lettern sollen die Seitenzahlen von 1 bis eines uches gedruckt werden. abei soll keine Letter mehr als einmal benutzt werden. Reichen die Lettern hierfür aus? egründe deine ntwort! ufgabe : rmittle alle diejenigen natürlichen Zahlen n, die sich in der orm n = 5a + 7b darstellen lassen, wobei a und b natürliche Zahlen sind! 3

4 OJM 30. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 6 Lösungen Hinweis: er Lösungsweg mit egründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene ussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende ussage aus dem Schulunterricht oder aus rbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne eweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen. Lösung : a) ie bbildung zeigt die in ein Koordinatensystem eingezeichneten Quadrate. b) ie bbildung zeigt auch die Spiegelgerade g und eine Konstruktion dieser Geraden. c) as rehzentrum ist Z(7;3), der rehwinkel beträgt 180. y S R Z g P Q x ufgeschrieben von Manuela Kugel Quelle: (25) Lösung : a) Person Nachbarn in bbildung a Nachbarn in bbildung b,,,,,,,,,,,, b) lle weiteren Möglichkeiten (bis auf rehung und Spiegelung) zeigt bbildung b. ufgeschrieben von Manuela Kugel Quelle: (25) 4

5 Lösung : ie Lettern reichen nicht aus. Zu einer egründung kommt man, wenn man für die Lettern mit der Ziffer 6 die benötigte Stückzahl ermittelt (dies ist zweckmäßig, da für die 6 die kleinste verfügbare Stückzahl vorliegt)! n der inerstelle wird die Ziffer 6 jeweils einmal für die Zahlen 1 bis 10, 11 bis 20,..., 1011 bis 1020 gebraucht, d.h. 102mal. n der Zehnerstelle wird die Ziffer 6 jeweils 10mal für die Zahlen 60 bis 69, 160 bis 169,..., 960 bis 969 gebraucht, d.h. 100mal. n der Hunderterstelle wird die Ziffer 6 für die Zahlen 600,..., 699 gebraucht, d.h. 100mal. s werden also 302 Lettern mit der Ziffer 6 gebraucht, während nur 300 zur Verfügung stehen. ufgeschrieben von Manuela Kugel Quelle: (25) Lösung : ie folgende Tabelle zeigt alle Werte n = 5a + 7b mit a = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und b = 0, 1, 2, 3, 4 b\ a a bei weiterem Vergrößern von a oder b (oder beiden) stets jeweils auch n größer wird, ergibt sich: (1) Unter allen natürlichen Zahlen n 24 lassen sich genau die Zahlen 0, 5, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 24 in der genannten orm darstellen. erner ist aus der Tabelle ersichtlich: (2) ie Zahlen 24, 25, 26, 27, 28 lassen sich in der genannten orm darstellen. Indem man nun zu den in (2) genannten Zahlen der Reihe nach 1 5, 2 5, 3 5,... u.s.w. addiert, erhält man: (3) uch die Zahlen 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, lassen sich in der genannten orm darstellen. Mit (2) und (3) ist gezeigt, daß jede natürliche Zahl n 24 sich in dieser orm darstellen läßt. ie insgesamt gesuchten Zahlen sind also genau die in (1) genannten Zahlen und alle natürlichen Zahlen n > 24. ufgeschrieben von Manuela Kugel Quelle: (25) 5

6 Quellenverzeichnis (25) Offizielle Lösung der ufgabenkommission 6

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