Vorkurs Beweisführung

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1 Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik

2 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7 Äquivalenzbeweise 8 Notwendig und hinreichend FIM VK Beweisführung 2 / 23

3 Einleitung Beweise sind grundlegend in der höheren Mathematik Die gezeigten Verfahren sind elementar Fokus liegt auf Beweismethodik, nicht auf dem Stoff der Beispiele Fragen sind jederzeit erlaubt und erwünscht FIM VK Beweisführung 4 / 23

4 Direkter Beweis Allgemein Es wird eine Behauptung aus bereits bekannten und bewiesenen Voraussetzungen gefolgert Formales Schema Voraussetzungen: V 1, V 2, V 3, V 4 Behauptung: B Beweis: V 1, V 2... V 3... V 4... B FIM VK Beweisführung 6 / 23

5 Direkter Beweis Beispiel Behauptung: Die Summe 3er aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist durch 3 teilbar. Voraussetzungen: n N, d.h. n ist eine (beliebige) natürliche Zahl Beweis: n N n + 1, n + 2 N n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 Distributivgesetz = 3 (n + 1) FIM VK Beweisführung 7 / 23

6 Widerspruchsbeweis Allgemein 1 Nimm das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) 2 Zeige, dass Annahme im Widerspruch zur Voraussetzung steht (Annahme und Voraussetzung können nicht gleichzeitig gelten) 3 Beim Erreichen des Widerspruchs wissen wir: Die Annahme war falsch. 4 Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung. Kurz: Man zeigt die Wahrheit der Aussage, indem man ihr Gegenteil widerlegt. Bemerkung: Das Wort Annahme ist für Widerspruchsbeweise reserviert! FIM VK Beweisführung 9 / 23

7 Indirekter Beweis Beispiel Voraussetzungen: (i) Es seien a, b R mit a 0 und b 0. (ii) c 2 0 c R Behauptung: Beweis: a+b 2 ab Tafel FIM VK Beweisführung 10 / 23

8 Vollständige Induktion Allgemein Situation: Eine Aussage soll für alle natürlichen Zahlen n n 0 gezeigt werden Idee: Beweis nach einem Domino-Prinzip Zeige die Behauptung für n 0 (Induktionsanfang) Nimm an, dass die Aussage für n wahr ist (Induktionsvoraussetzung) und folgere daraus, dass sie für n + 1 ebenfalls wahr ist (Induktionsschritt) Bemerkung: Der Induktionsanfang ist oft sehr leicht, darf aber nie vergessen werden! FIM VK Beweisführung 12 / 23

9 Vollständige Induktion Beispiel Behauptung: Alle Zahlen a n = n 3 + 5n mit natürlichem n sind durch 6 teilbar Beweis: Induktionsanfang (n = 1): a 1 = = 6 Induktionsvoraussetzung: a n = n 3 + 5n sei für ein n N durch 6 teilbar Induktionsschritt (n n + 1): Tafel FIM VK Beweisführung 13 / 23

10 Aussagen widerlegen Allgemein Es gibt Aufgabenstellungen à la Beweise oder widerlege... Frage: Wie widerlege ich eine Aussage? Antwort: Finde ein Gegenbeispiel! Beispiel Beweise oder widerlege: Alle linearen Funktionen f : R R, x m x sind injektiv (m R) Gegenbeispiel: f (x) = 0 x 0 ist nicht injektiv FIM VK Beweisführung 15 / 23

11 Gleichheit von Mengen Allgemein Aufgabe: Seien A, B zwei Mengen. Beweise: A = B Vorgehen: Zeige, dass A B und A B Genauer: (i) Zeige, dass alle x A auch x B erfüllen. ( ) (ii) Zeige, dass alle y B auch y A erfüllen. ( ) FIM VK Beweisführung 17 / 23

12 Gleichheit von Mengen Beispiel Beh.: {x N x ist durch 2 und 3 teilbar} = {y N y ist durch 6 teilbar} {}}{{}}{ := A := B Bew.: : Sei y B k N : y = 6 k= 2 3 k y ist durch 2 und 3 teilbar y A : Tafel FIM VK Beweisführung 18 / 23

13 Äquivalenzbeweise Allgemein Beweise Aussagen der Form: V W V ist äquivalent zu W, d.h. V und W treten immer gleichzeitig auf. Vorgehen: (i) Zeige V W (ii) Zeige W V ( ) ( ) FIM VK Beweisführung 20 / 23

14 Notwendig und hinreichend Notwendig Sei K eine Aussage und B eine notwendige Bedingung für K Dann muss B wahr sein, wenn K wahr ist (K B) Beispiel: Es hat geregnet (K), Die Straße ist nass (B) Wenn es geregnet hat, ist die Straße nass (K B). ABER: Nur weil die Straße nass ist, muss es nicht geregnet haben (B K gilt NICHT!) Also kann man aus dem Wissen, dass K gilt auf B schließen, aber nicht andersherum. Es reicht nicht B zu zeigen, wenn K gezeigt werden soll. FIM VK Beweisführung 22 / 23

15 Notwendig und hinreichend Hinreichend Sei T eine Aussage und H eine hinreichende Bedingung für T Dann muss T wahr sein, wenn H wahr ist (H T) Beispiel: Das Pferd ist satt (T), Das Pferd hat Gras gefressen (H) Wenn das Pferd Gras gefressen hat, dann ist es satt (H T). Also ist es hinreichend H zu zeigen, wenn man T zeigen möchte. FIM VK Beweisführung 23 / 23

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