Einführung in die Mathematik des Operations Research

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1 Universität zu Köln Mathematisches Institut Prof. Dr. F. Vallentin Einführung in die Mathematik des Operations Research Sommersemester 3 en zur Klausur (7. Oktober 3) Aufgabe ( = Punkte). Es sei D = (V, A) ein gerichteter Graph mit Kantenlängenfunktion l : A R. Wie ist ein Potential von D und l definiert?. Zeigen Sie: Falls D und l ein Potential besitzen, dann enthält D keine Kreise negativer Länge. a e d 8 3. Bestimmen Sie mit Hilfe des Algorithmus von Bellman-Ford einen kürzesten Weg vom Knoten a zum Knoten c in dem rechtsstehenden Graphen, der keine Kreise negativer Länge besitzt. b 6 c. Eine Funktion p : V R heisst Potential von D und l, falls für alle a = (u, v) A die Ungleichung l(a) p(v) p(u) gilt.. Es sei C = (v, a, v,..., a m, v m ) mit v = v m ein Kreis und es sei p ein Potential. Dann ist m m l(c) = l(a i ) (p(v i ) p(v i )) =. i= i= 3. Die Funktionen f k : V Z, die der Bellman-Ford Algorithmus in der k-ten Iteration der for-schleife berechnet ist gleich: a b c d e f = f = (a) (a) f = (a) 8 (b) (e) (a) f 3 = (d) 8 (b) (e) (a) f = (d) 7 (b) (e) (a) In Klammern ist die Funktion g notiert, mit der man die Umkehrung eines kürzesten a c Weges, der die Länge 7 hat, findet: c b d e a.

2 Aufgabe ( + + = Punkte) Es sei C R n eine nichtleere, konvexe und kompakte Menge.. Wie ist eine Extrempunkt von C definiert?. Es sei c R n \ {}. Zeigen Sie: Das Maximum max{c T x : x C} wird in einem Extrempunkt von C angenommen. 3. Bestimmen Sie alle Extrempunkte des Polyeders: P = x R 3 : 3 3 x. Ein Punkt z C heißt Extrempunkt von C, falls für alle x, y C, für die es ein α (, ) gibt, so dass z = αx + ( α)y gilt, stets x = z = y folgt.. Da C kompakt ist und die Abbildung x c T x stetig ist, wird das Maximum an einem Punkt p C angenommen. Per Induktion nach dim C. Falls dim C =, dann besteht C nur aus dem Punkt p, der klarerweise ein Extrempunkt von C ist, und die Behauptung folgt unmittelbar. Angenommen dim C >. Betrachte D = C {x R n : c T x = c T p}. Dies ist eine nichtleere, konvexe und kompakte Menge mit dim D < dim C, weil c. Nach Induktionsvoraussetzung wird das Maximum max{c T x : x D} in einem Extrempunkt z von D angenommen. Dies ist auch ein Extrempunkt von C, weil für x, y C und α (, ) mit z = αx + ( α)y gilt c T z = αc T x + ( α)c T y αc T z + ( α)c T z = c T z. Da α (, ) und z D gilt c T p = c T z = c T x = c T y. Also x, y D. Weil z Extrempunkt in D ist x = z = y, wie gewünscht. 3. Wir bezeichnen die Matrix, die P beschreibt, mit A R 3, wobei a T i die i-te Zeile von A ist. Wir verwenden die folgende Charakterisierung der Extrempunkte eines Polyeders: Ein Punkt z P ist genau dann ein Extrempunkt, wenn der Rang der Matrix A z gleich 3 ist (Dabei ist die Matrix A z die Matrix, die aus A entsteht, wenn wir alle Zeilen a T i mit at i z < b i löschen.). Wir lösen die vier linearen Gleichungssysteme, die entstehen, wenn wir jeweils eine Zeile der Matrix A löschen. Löschen der. Zeile: 3 3 Löschen der. Zeile: nicht lösbar 7/ z = 5/ /

3 Löschen der 3. Zeile: 3 Löschen der. Zeile: z 3 = 5/3 z = /3 Nun ist a T z = 6, a T 3 z 3 = 5, a T z = 3, also sind z, z 3, z die Extrempunkte von P, da z i P und weil rang A zi = 3, mit i =, 3,. 3

4 Aufgabe 3 ( + 6 = Punkte). Geben Sie zu folgendem linearen Programm ein duales lineares Programm an: max { x 3x : x, x, x + x x 3, 3x x 3 = 3, 3x + x + 5x 3 }. Berechnen Sie den Wert des Matrixspiels, das durch die folgende Auszahlungsmatrix definiert ist: ( 3 ) 9. min { u + v ( 3) + w : u, w u ( ) + v ( 3 ) + w ( 3 ) ( 3 ), u ( ) + v ( ) + w 5 = }. Der Wert des Matrixspiels wird gegeben durch das lineare Programm max µ Durch Substitution v = v bekommt man ( ) ( ) 3 v = 9 v v, v, v + v = ( ) ( ) ( 3 v µ 9 v µ) ( ) ( v µ. v + 9 µ) Für v = 5/7 gilt, v = v + 9. Also ist µ = 3/7 der Wert des Matrixspiels.

5 Aufgabe ( + 6 = Punkte) A 6 a. Berechnen Sie mit Hilfe der ungarischen Methode ein Matching mit maximalem Gewicht für den rechtsstehenden Graphen. B b. Modellieren Sie das Problem der Berechnung der maximalen Kardinalität eines Matchings in einem bipartiten Graphen als ein maximales Flussproblem. C 3 c. Wir haben die Zerlegung V = U W mit U = {A, B, C}, W = {a, b, c}. Das extreme Matching der Kardinalität ist M = {B, b}. Der kürzeste gerichtete Weg im Residualgraphen D M von U M nach W M ist A b B a, der Länge 5 hat. Also ist das extreme Matching der Kardinalität. M = M {{A, b}, {b, B}, {B, a}} = {{A, b}, {B, a}} Der kürzeste gerichtete Weg im Residualgraphen D M von U M nach W M ist C a B b A c, der Länge hat. Also ist M 3 = M {{C, a}, {a, B}, {B, b}, {b, A}, {A, c}} = {{C, a}, {B, b}, {A, c}} das extreme Matching der Kardinalität 3, das auch gleichzeitig das Matching mit maximalen Gewicht, das gleich 6 ist, ist.. Es sei G = (U W, E) ein ungerichteter bipartiter Graph. Definiere den gerichteten Graph D = (V, A) durch V = U W {s, t} und A = {(u, w) : u U, w W, {u, w} E} {(s, u) : u U} {(w, t) : w W }. Die Kapazitätsfunktion c : A R ist definiert durch c((s, u)) = für u U, c((u, w)) = für u U, w W, (u, w) A, c((w, t)) = für w W. Nun entspricht jedem Matching von G ein ganzzahliger Fluss in D, der durch c beschränkt ist, weil ein solcher Fluss f bei Kanten der Form (u, w) A mit u U, w W wegen der Flusserhaltung nur die Werte oder annehmen kann. Außerdem: Wenn an einer Kante (u, w) der Wert angenommen wird, dann gilt f(u, w ) = f(u, w) = für alle Kanten mit w w, u u. Der Wert des Flusses ist dann gleich der Kardinalität des entsprechenden Matchings. Da es einen maximalen Fluss in einem Netzwerk, das eine ganzzahlige Kapazitätsfunktion besitzt, gibt, der ganzzahlig ist, kann man ein Matching mit maximaler Kardinalität in G durch einen maximalen Fluss in D bestimmen. 5

6 Aufgabe 5 ( = Punkte). Wie ist eine vollständig unimodulare Matrix definiert?. Ist die folgende Matrix vollständig unimodular? Begründen Sie Ihre Antwort. 3. Zeigen Sie: Die Inzidenzmatrix M R V A eines gerichteten Graphen D = (V, A) ist vollständig unimodular.. Eine Matrix heisst vollständig unimodular, falls jeder ihrer Minoren gleich,, oder ist.. Die Matrix ist die Inzidenzmatrix eines ungerichteten Graphen (mit 9 Knoten und 9 Kanten), weil in jeder Zeile genau zwei Einsen vorkommen. Dieser Graph ist bipartit und somit ist die Matrix vollständig unimodular. Die Zerlegung der Knoten in zwei disjunkte, kantenfreie Teilgraphen sieht dabei wie folgt aus, wie man durch Aufteilung der Zeilen der Matrix sieht: U = {,, 7, 8, 9}, W = {3,, 5, 6}. 3. Es sei B eine t t Teilmatrix von M. Wir zeigen per Induktion nach t, dass det B {,, +} ist. Dies ist klar, wenn t = ist. Falls t > ist, unterscheiden wir drei Fälle: B hat eine Nullspalte. Dann ist det B =. B hat eine Spalte, die genau ein Element ungleich enthält. Dann ist nach evtl. Vertauschen von Zeilen und Spalten ( ) ± b T B = B, für b R t, B R (t ) (t ). Nach Induktionsvoraussetzung ist det B {,, +}. Also det B = (±) det B {,, +}. Jede Spalte von B enthält zwei Elemente ungleich. Dann liefert Addieren aller Zeilen von B den Nullvektor und somit det B =. 6

7 Aufgabe 6 ( = Punkte). Wie ist der Chvátal-Gomory-Abschluss P von einem rationalen Polytop P definiert?. Wie ist eine Hilbertbasis definiert? 3. Bestimmen Sie den Chvátal-Gomory-Abschluss P von { P = x R : x }. 5. Der Chvátal-Gomory-Abschluss von P ist P = H I, wobei H I = conv(h Z n ), H P und H durch alle rationalen Halbräume läuft.. Die Vektoren a,..., a t Q n sind eine Hilbertbasis, falls es für alle b cone{a,..., a t } Z n ganzzahlige Koeffizienten λ,..., λ t Z gibt mit b = t i= λ ia t. 3. Die inklusionsminimalen Seiten von P sind die Ecken ( ) 3/ x =, x = Die zugehörigen Kegel sind ( 5/ ), x 3 = ( ) /. C = cone{(, ), (, )}, C = cone{(, ), (, )}, C 3 = cone{(, ), (, )} Hilbertbasen dafür sind dann H = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), }, H = {(, ), (, ), (, )}, H 3 = {(, ), (, ), (, )}. Also ist P = { x R : x / 5/ 5 5/ / } = { x R : x }. 7

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