Proseminar Theoretische Physik und Astroteilchenphysik

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1 Prosemnar Theoretsche Physk und Astrotelchenphysk Thermodynamsches Glechgewcht Ferm- und Bose Gase Hennng Wenck

2 . Entrope Um thermodynamsche Prozesse zu beschreben muss man zunächst den Begrff der Entrope erklären. De Entrope beschrebt de Anzahl der Mkrozustände enes beobachteten Makrozustandes. Des st ene recht egenwllge Größe, da man sch nur schwer darunter etwas vorstellen kann. Weterhn bestzt de Entrope folgende Egenschaften: - se st ene extensve Zustandsgröße, d.h. de Gesamtentrope st de Summe aller Entropen der Telsysteme ( S ) S - se kann als Funkton der extensven Parametern enes Systems ausgedrückt werden, wobe dese Funkton stetg und dfferenzerbar st und proportonal zur Energe (monoton wachsend) st - m Glechgewchtszustand nmmt de Entrope den maxmalen Wert an (vgl. klasssche Mechank: m Glechgewchtszustand st de potentelle Energe bedeutend größer als Verrückungen und de knetschen Energe - be rreversblen Zustandsänderungen nmmt de Entrope zu, be reversblen blebt se konstant (n Telsystemen kann se allerdngs mmer noch abnehmen!) 2. Der zwete Hauptsatz der Thermodynamk Es exsteren zwe Formulerungen des Hauptsatzes: zum enen de Formulerung von Clausus und zum anderen de Formulerung von Kelvn: Clausus: Es gbt kene Zustandsänderung, de allen darn besteht, dass Wärme von enem kälteren auf en wärmeres System übergeht. Kelvn: Es gbt kene Zustandsänderung, de allen darn besteht, dass ene Wärmemenge enem Wärmespecher entzogen und vollständg n Arbet umgesetzt wrd. Des entsprcht dem Verbot enes Perpetuum moble 2ter Art. De beden Formulerungen mplzeren sch ndrekt, also ncht Clausus mplzert ncht Kelvn und umgekehrt: Angenommen das Prnzp von Kelvn st verletzt, dann kann man dem kälteren System Wärme entzehen, dese n Arbet umwandeln und damt das wärmere System weter erwärmen, z.b. durch Rebung. Damt wäre aber das Prnzp von Clausus verletzt (Clausus Kelvn). En System be Temperatur T nehme von enem Wärmespecher glecher Temperatur ene Wärmemenge Q > 0 auf. Daraufhn gebe das System ene Wärmemenge Q2 > 0 an enen Wärmespecher der Temperatur T2 < T ab und leste ene Arbet W > 0. Da das System sch nach desem Zyklus weder m Ausgangszustand befnden soll muss nsbesondere de nnere Energe vor und nach dem Zyklus glech sen, also Q = Q2+W. Angenommen das Prnzp von Clausus st verletzt, dann könnte man dem Wärmespecher be Temperatur T de Wärmemenge Q2 weder aus dem Wärmespecher be Temperatur T2 < T zuführen. Nach desem Zyklus wären also das thermodynamsche System und der Wärmespecher be Temperatur T2 weder n hrem Ausgangszustand und man hätte dem Wärmespecher be Temperatur T de Wärmemenge Q Q2 = W entzogen und vollständg n Arbet umgewandelt. Damt wäre aber das Prnzp von Kelvn verletzt (Kelvn Clausus).

3 Jetzt stellt sch natürlch de Frage, we dese beden Formulerungen mt der Entrope nun aber zusammenhängen. De Antwort dafür st relatv enfach: man kann de beden Formulerungen quas zu ener enzgen Formulerung zusammenfassen. Dese lautet: De Entrope nmmt entweder zu oder blebt konstant.. Vertelungsfunkton Alle Telchen und Moleküle snd entweder Fermonen oder Bosonen. Des hat zur Konsequenz, dass ene glechzetge Beschrebung ncht möglch st (bslang: sehe SuSy Theoren). Daher erfolgt für bede Telchenarten ene seperate mathematsche Behandlung. Fermonen können belebg elementar und aus Quarks zusammengesetzt sen (Quarks und Leptonen). Zusammen blden de Fermonen de Baustene der Matere, z.b.: Protonen, Neutronen, Elektronen. Fermonen bestzen enen halbzahlgen Spn, d.h. se bestehen aus ener ungeraden Anzahl von Spn Telchen. Das Paul Prnzp glt für Fermonen, se dürfen also 2 kene glechen Quantenzustände annehmen. Fermonen folgen der Ferm Drac Vertelung: 2 2 f ( ), wobe p m 2 e I 0; Fermonen dürfen folgende Besetzungszustände haben: Bosonen können ebenfalls belebg elementar und zusammengesetzt sen (z.b. H Atom). Se bestzen enen ganzzahlgen Spn (auch Spn null), was bedeutet, dass se aus ener geraden Anzahl von Telchen mt Spn bestehen müssen. Das Paul Prnzp glt für de Bosonen 2 ncht. Bosonen werden durch de Bose Ensten Statstk beschreben: 2 2 f ( ), wobe p m 2 e Für Bosonen gbt es folgende Besetzungszustände: I 0,,2,,..., Am abosluten Nullpunkt st der Grundzustand mt allen Telchen besetzt. Weterhn bestzen de angeregten Nveaus ene relatv klene Anzahl von Telchen gegenüber dem Grundzustand. Ene nteressante Art der Bosonen snd de sog. Echbosonen ( Gaugebosons ). Des snd de Austauschtelchen der Wechselwrkungen ( Carrer ). Für de verschedenen Wechselwrkungen exsteren folgende Carrer: - Photonen für de Elektromagnetsche Wechselwrkung - W & Z Bosonen für de schwache Wechselwrkung - Gluonen für de starke Wechselwrkung - Das postulerte Gravton für de Gravtaton Also zusammengesetzt ergbt sch für de Vertelungsfunkton: 2 2 f ( ), wobe p m 2 und: für Bosonen; + für Fermonen e

4 Dese Vertelungsfunkton basert auf der Statstk von dealen Quantengasen. Das betrachtete System befndet sch m großkanonschen Ensemble. De großkanonsche Zustandssumme st dann gegeben durch wobe der Hamlton-Operator und der Telchenzahloperator st. De Spur lässt sch am enfachsten mt gemensamen Egenzuständen zu beden Operatoren ausführen. Des erfüllen de sog. Fockzustände. Dabe st n ν de Besetzungszahl des ν-ten Egenzustands. Dann schrebt sch de Zustandssumme als Dabe st de Energe E abhängg von der Gesamttelchenanzahl N = Σ ν n ν und der Besetzung der jewelgen Egenzustände. Angenommen der ν-te Egenzustand hat de Energe. Dann bedeutet ene n ν -fache Besetzung des ν-ten Egenzustandes enen Energebetrag von und Gesamtenerge E von E N = Σ ν E ν. Somt lautet de Zustandssumme De zwete Summe läuft über alle möglchen Besetzungszahlen (I = {0,} für Fermonen, bzw. für Bosonen), deren Summe stets de Gesamttelchenzahl N ergbt. Da zusätzlch über alle Gesamttelchenzahlen N summert wrd, kann man bede Summen zusammenfassen, ndem de Beschränkung n der zweten Summe aufgehoben wrd: De Summe lässt sch für de beden Telchensorten auswerten. Für Fermonen erhält man und für Bosonen wobe m letzten Schrtt de Konvergenz der geometrschen Rehe gefordert wurde. Mt Kenntns der großkanonschen Zustandssumme lässt sch auch das großkanonsche Potental

5 angeben. Von Interesse st her für de mttlere Besetzungszahl Ausnutzung der Relaton erhält man: des j-ten Zustandes. Unter Das ergbt für Fermonen de Ferm-Drac-Vertelung und für Bosonen de Bose-Ensten-Vertelung 4. Anwendungen der Vertelungsfunkton Der hergeletete Ausdruck unterschedet sch für Fermonen und Bosonen nur n enem Vorzechen. Her kann man zunächst annehmen, dass sch also de beden Ausdrücke nur unwesentlch von enander unterscheden. Tatsächlch trfft des auch für enen sehr großen Berech zu, allerdngs wrd ab ener bestmmten Temperatur deutlch, dass sch de Telchen n hrem Verhalten stark von enander unterscheden. De folgende Grafk zegt das unterschedlche Verhalten der beden Telchenarten, dass auch später noch ene tragende Rolle bestzen wrd.

6 De Vertelungsfunkton behandelt egentlch nur Mttelwerte, wobe de Boltzmann Konstante und das Chemsche Potental häufg vernachlässgt bzw. glech gesetzt werden. Aus der oben hergeleteten Funkton lassen sch: de Telchendchte de Energedchte n g 2 g 2 und den Druck P g 2 bestmmen. E E p f p p f p P E 2 P f d d p p p, d Herbe st g abhängg von der Polarsaton der jewelgen Telchenart, z.b. für Photonen g = 2, Neutrnos g =, Elektronen und Muonen g = 2. p Der ncht relatvstsche Ansatz lefert sowohl für de Ferm Drac Vertelung als auch für de Bose Ensten Statstk folgende Ergebnsse: n 2 mt nonrel g ( ) nonrel 2 m n nonrel e mt Der voll relatvstsche Ansatz, d.h. de Masse wrd vernachlässgt, lefert allerdngs deutlch unterschedlche Ergebnsse. Für de beden Statstken bzw. Vertelung treten folgende Ergebnsse auf:

7 Für de Bose Ensten Statstk: n rel () g T 2, wobe ( ), der Remann Zeta Funkton entsprcht. rel g 2 E 6 0 T e E³ ² de gt 0 4 Für de Ferm Drac Vertelung: n rel () gt 4 ² 4 rel g E³ 7 ² de g T E 6 ² T e 4 Her fallen de Abhänggketen der beden Ausdrücke auf (T³ vs T 4 ) sowe zwschen den beden Ansätzen generell. 4. Fermgas Das Fermgas besteht, we der Name berets vermuten lässt, aus Fermonen. Es zechnet sch durchene hohe knetsche Energe (selbst be T=0), ene gernge Wärmekapaztät und ene nedrge Stoßrate zwschen den Telchen aus. Man nennt en Fermgas entartet, wenn dessen Temperatur klener als de zur Fermenerge gehörenden Temperatur st. De Energezustände mt klenerer Energe als de f Fermenerge snd fast vollständg besetzt, während de mt größerer Energe fast leer snd. Be T=0 bestzt das Fermgas m Gegensatz zum dealen Gas enen Druck, der unglech null st (sog. Entartungsdruck). Weterhn hält das Paul Prnzp de Telchen ausenander und n Bewegung, es entsteht also kene drekte Ansammlung der Telchen. En Bespel für en Fermgas fndet man auf enem Weßen Zwerg. Weße Zwerge snd Endstaden von Hauptrehensternen und bestzen en Gewcht von ener Sonnenmasse sowe enen Radus, der dem Erdradus entsprcht. 6 De Dchte nnerhalb enes Weßen Zwerges st.5 0 größer als de der Sonne, wodurch man auf enem Weßen Zwerg en entartetes Elektronengas fndet. Der vorher schon erwähnte Entartungsdruck des Elektrongases wrkt der Gravtaton entgegen, weswegen er ncht weter n sch zusammenfällt. Erst be Überschretung ener bestmmten Grenze, das so genannte Chandrasekhar Lmt mt.44 Sonnenmassen, kollabert en Weßer Zwerg zu enem Neutronenstern oder schwarzen Loch. En weteres Bespel st en Neutronenstern. Her fndet sch en entartetes Neutronengas be enem Gewcht von. 2. Sonnenmassen und enem Radus von 2 km. Dasselbe Prnzp we schon bem Weßen Zwerg kommt her zum Tragen.

8 Ebenso en Bespel für en Fermgas snd de Letungselektronen n (Alkal-)Metallen. Da Metalle typscher Wese ene Ferm Temperatur von 0³ K bestzen, kann man davon ausgehen, dass sämtlche Metalle, de enem m Alltag begegnen entartet snd. Flüssges Helum (He³) st auch en Fermgas. 5. Bosegase En Bosegas besteht aus Bosonen. Ursprünglch wurde es für Photonen entwckelt, dann allerdngs auf massve Telchen ausgewetet. Es zechnet sch dadurch aus, dass es ene nedrge knetsche Energe bestzt. Weterhn glt das Paul Prnzp ncht. Es herrscht ene hohe Telchenkonzentraton m Grundzustand, wogegen höhere Zustände fast gar ncht besetzt snd. Das Bespel für en Bosegas st de sog. Bose Ensten Kondensaton. Se fndet hre größte Anwendung n der Atomphysk (z.b. am ILP). Ab ener bestmmten Temperatur T c befnden sch (fast) alle Telchen m Grundzustand. Da des das Paul Prnzp verletzt, st des nur mt Bosonen möglch (Rb bespelswese). De Telchen snd vollständg delokalsert, d.h. hr Aufenthaltwahrschenlchketen snd alle glech. Dadurch werden Quanteneffekte m makroskopschen Berech schtbar. So kann man das BEC durch enen Dpol dazu brngen mt sch selbst zu nterfereren. Wenn man das BEC n Rotaton versetzt dann blden sch Quantenstrudel. Des hat nchts mt Star Trek zu tun, sondern bedeutet, dass sch m Gegensatz zu ener anderen Flüssgket (z.b. Wasser) ncht en Vortex bem Umrühren bldet, sondern vele m glechen Abstand, unabhängg davon ob man den Behälter vergrößert oder verklenert. Es st möglch, das BEC mt ener Wellenfunkton zu beschreben, wodurch sch enge nteressante Effekte, we z.b. Suprafludtät (bedeutet das BEC st so flüssg, dass es kene Rebung mehr bestzt), Supraletung und Kohärenz (Interferenz von Atom Lasern) erklären lassen.