Integrierbarkeit und Integral

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1 Integrierbrkeit und Integrl Klus-R. Löffler Inhltsverzeichnis 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls 1.1 Hinführung Grundlegende Begriffe und Zusmmenänge Beschränktheit von Funktionen und bgeschlossene Intervlle Zerlegungen eines Intervlls Unter- und Obersummen Unter- und Oberintegrl. Definition des Integrls Kriterium für Integrierbrkeit Integrierbre Funktionen 7..1 Klssen integrierbrer Funktionen Beispiele integrierbrer Funktionen Eigenschften integrierbrer Funktionen Klssische Integrlnottion f(x)dx Integrlfunktionen und Huptstz Eigenschften von Integrlfunktionen - Teil Erweiterung der Integrlnottion Eigenschften von Integrlfunktionen - Teil Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtionsregeln Integrtion gerder bzw. ungerder Funktionen uf zu symmetrischen Intervllen Prtielle Integrtion Substitutionsregel (Erster) Mittelwertstz der Integrlrechnung 17 6 Anwendungsbeispiele der Integrlrechnung Flächeninhlte Bogenlängen Rottionsvolumin

2 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls 1.1 Hinführung Eine Grundufgbe, die zur Integrlrechnung führt, ist die Berechnung des Inhlts eines Flächenstücks, dessen Rnd nicht nur us Strecken besteht. Während sich der Inhlt eines Vielecks - bei gegebenen Koordinten der Ecken - mit Hilfe einer Zerlegung in Dreiecke leicht berechnen lässt, scheint die Lösung der entsprechenden Aufgbe bei nicht gerdlinig berndeten Flächenstücken nfngs llenflls näherungsweise möglich. Dbei wird sich die Betrchtung zunächst uf solche Fläechen im Koordintensystem beschränken, deren Rnd us zwei prllelen Strecken zur y-achse, einer Strecke uf der x-achse und einem Funktionsgrphen besteht. Ds Ziel ist, den Inhlt einer solchen Fläche zunächst mit einer gewünschten Genuigkeit, lso innerhlb einer vorgegebenen Fehlerschrnke zu berechnen, dnn ber ntürlich möglichst exkt nzugeben. Dbei wird zunächst in niver Weise offen gelssen, ob sich der Flächeninhlt überhupt durch eine reelle Zhl beschreiben lässt. Dzu werden zunächst einige grundlegende Begriffe bereitgestellt. 1. Grundlegende Begriffe und Zusmmenänge 1..1 Beschränktheit von Funktionen und bgeschlossene Intervlle Eine Menge A reeller Zhlen heißt nch oben beschränkt, wenn es eine reelle Zhl s gibt, die von keinem Element von A übertroffen wird; nlog heißt die Menge nch unten beschränkt, wenn kein Element der Menge kleiner ls eine geeignete reelle Zhl t ist. s und t werden in diesem Fll ls obere Schrnke bzw. untere Schrnke der Menge bezeichnet. Als beschränkt wird die Menge bezeichnet, wenn sie sowohl nch oben wie nch unten beschränkt it. Ist s obere Schrnke einer Menge A, und ist z größer ls s, ist (ufgrund der Trnsitivität der Ordnungsreltion) uch z eine obere Schrnke von A; die nloge Aussge gilt für untere Schrnken. Ht die Menge der oberen Schrnken einer Menge A ein Minimum, so wird diese kleinste obere Schrnke ls Supremum von A bezeichnet, in Zeichen: sup A. Um den Supremumsbegriff forml uf lle Teilmengen von R, lso uch nch oben unbeschränkte Mengen und die leere Menge, erweitert mn die Kndidten für untere bzw. obere Schrnken forml um die uneigentlichen Elemente und mit der Anordnung < x <. x R Für jede Menge A reeller Zhlen gilt mit dieser formlen Schreibweise sup A = A nch oben nicht beschränkt; sup A = A = Eine wesentliche Eigenschft der reellen Zhlen besteht drin, dss jede nicht leere Teilmenge von R ein Supremum ht.

3 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls Unter einem bgeschlossenen Intervll [p; q] versteht mn für p, q R die Menge ller reellen Zhlen, die nicht kleiner ls p und nicht größer ls q sind, lso die Menge ller x, welche die Ungleichung p < x < q erfüllen. Ds Supremum einer Funktion f mit Argumentmenge A, bezeichnet ls sup f, ist ds Supremum von f(a), lso ds Supremum ller Funktionswerte: f : A R; sup f := sup{f(x) x A}. Ist A die Vereinigung von zwei Mengen A 1 und A, f eine Funktion mit Argumentmenge A, und sind f A1 und f A die Einschränkungen von f uf A 1 bzw. A, dnn gilt: sup f = mx{sup f A1, sup f A }. Denn d jede obere Schrnke von A uch eine obere Schrnke von A 1 und A ist, gilt sup A i sup A (i = 1, ), lso mx{sup A 1, sup A } sup A. Gälte ber mx{sup A 1, sup A } sup A, wäre jede reelle Zhl x mit mx{sup A 1, sup A } < x < sup A zwr eine obere Schrnke zu A 1 und zu A, ber nicht zu A, ws nicht möglich ist. Die nlogen Aussgen gelten für die kleinste untere Schrnke, ds Infimum einer Menge A und ds Infimum einer Funktion f, in Zeichen: inf A bzw. inf f. D für jede f mit einer Argumentmenge A für jedes x A gilt inf f f(x) sup f, giltt für jede nicht leere Funktion f : inf f sup f; inf f = sup f f konstnt. 1.. Zerlegungen eines Intervlls Unter einer Zerlegung eines Intervlls [; b] versteht mn eine endliche isotone Folge reeller Zhlen, deren erstes Glied und deren letztes Glied b ist. Die Zerlegung lässt sich lso in der folgenden Form drstellen: = x x 1 x... x n = b. Dmit ergibt sich ds gesmte Intervll [; b] ls Vereinigungsmenge ller Teilintervlle [x i 1 ; x i ], wobei i die positiven gnzen Zhlen von 1 bis n durchläuft. Die Länge eines Intervlls [x i 1 ; x i ] errechnet sich ls x i x i 1 ; bei der Zerlegung wird keine strenge Isotonie verlngt, ufeinnderfolgende Glieder der Zerlegungsfolge müssen nicht immer verschieden sein. Die Teilintervlle können lso zu Mengen us nur einem Punkt usrten; die Länge dieser Intervlle ist dnn ntürlich. Für eine Zerlegung Z = (x, x 1, x,..., x n ) mit = x x 1 x... x n = b wird die Länge des größten Teilintervlls ls Feinheit der Zerlegung Z bezeichnet, in Zeichen σ(z). Zerlegt mn ds Intervll speziell in n Teilintervlle gleicher Länge, dnn wird für i = 1,, 3,..., n der i-te Zerlegungspunkt offenbr erhlten ls x i = + (i 1) b n. Beispiele: (1) Eine Zerlegung des Intervlls [1; 3] ist z.b. Z 1 = (1, 1.5,,.1,.8,.9, 3), () die Zerlegung von [1; 3] in 5 Teilintervlle gleicher Länge ist Z = (1, 1.4, 1.8,.,.6, 3). Die Feinheit der Zerlegung beträgt im ersten Beispiel.7, im zweiten.4. Unter einer Verfeinerung Z einer Zerlegung Z 1 versteht mn eine Zerlegung Z des gleichen Intervlls, unter deren Zerlegungspunkten sich lle Zerlegungspunkte von Z 1 befinden. Dß eine Zerlegung Z eine Verfeinerung von Z 1 ist, wird uch in der Form Z Z 1 notiert, gelesen ls Z ist feiner ls Z 1. Zwr nimmt die Feinheit bei einer Verfeinerung der Zerlegung nicht notwendigerweise b, für zwei Zerlegungen Z 1, Z gilt ber offensichtlich Z Z 1 σ(z ) σ(z 1 ). 3

4 1..3 Unter- und Obersummen 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls Zu einer uf einem bgeschlossenen Intervll [; b] definierten Funktion f erklärt mn für eine Zerlegung Z von [; b] die Untersumme von f zur Zerlegung Z (Bezeichnung: U(f, Z) und die Obersumme von f zur Zerlegung Z uf die folgende Weise: U(f, Z) := O(f, Z) := (x 1 x i 1 ) inf{f(x) x [x i 1 ; x i ]}, (x 1 x i 1 ) sup{f(x) x [x i 1 ; x i ]}. Beispiele Für die uf dem Intervll [1; 3] betrchtete Funktion f mit der Gleichung f(x) = x ergeben sich mit den oben ls Beispiel ngegebenen Zerlegungen folgende Unter- bzw. Obersummen: U(f, Z 1 ) = = 7.1 O(f, Z ) = = 1.3 Bei der Berechnung wurde verwendet, dss der Grph von f (ein Ausschnitt us dem rechten Ast der Normlprbel) über dem betrchteten Intervll monoton steigt, sein Supremum und sein Infimum lso jeweils m rechten bzw. linken Teilintervllende nnimmt, Ist f eine beschränkte Funktion über [; b] und sind Z 1 und Z Zerlegungen von [; b], wobei Z eine Verfeinerung von Z 1 ist, dnn gilt: O(f, Z ) O(f, Z 1 ). Es genügt, den Nchweis für eine Zerlegung Z 1 = (, x 1, x,..., x n 1, b) und eine Zerlegung Z zu führen, die us Z 1 durch Hinzunhme eines einzigen Zerlegungspunktes entsteht, d die Richtigkeit der llgemeineren Behuptung dnn durch Induktion folgt. Es sei lso k ein Index, für den der für Z hinzugenommene Zerlegungspunkt z im Intervll [x k 1 ; x k ] liegt, lso Z = (, x 1,..., x k 1, z, x k,..., x n 1, b). O(f, Z ) = (x 1 x i 1 ) sup f [xi 1 ;x i ] + (z x k 1 ) sup f [xk 1 ;z] + (x k z) sup f [z;xk ] 1 i n i k 1 i n i k Anlog ist zu zeigen (x 1 x i 1 ) sup f [xi 1 ;x i ] + (z x k 1 ) sup f [xk 1 ;x k ] + (x k z) sup f [xk 1 ;x k ] = 1 i n i k σ(z ) σ(z 1 ) U(f, Z ) U(f, Z 1 ). (x 1 x i 1 ) sup f [xi 1 ;x i ] + (x k x k 1 ) sup f [xk 1 ;x k ] = O(f, Z 1 ) Um eine obere Schrnke für die Differenz von O(f, Z 1 ) und O(f, Z ) zu erhlten, schätzt mn mit s := sup{ f(x) x [; b]} b: O(f, Z 1 ) O(f, Z ) = (x k x k 1 ) sup f [xk 1 ;x k ] (z x k 1 ) sup f [xk 1 ;z] (x k z) sup f [z;xk ] = (z x k 1 ) (sup f [xk 1 ;x k ] sup f [xk 1 ;z]) + (x k z) (sup f [xk 1 ;x k ] sup f [z;xk ]) (z x k 1 ) s + (x k z) s = (x k x k 1 ) s 4

5 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls Bei Einfügen einer weiteren Zerlegungsstelle z ins Intervll [x k 1 ; x k ] knn lso die Obersumme nicht um mehr ls s (x k x k 1 ) bnehmen. Drus folgt: Ist Z 1 = (x, x 1, x,..., x n ) eine Zerlegung von [; b], und ist Z eine Verfeinerung von Z 1, die durch Hinzunhme von n Zerlegungspunkten entsteht, dnn gilt mit s := sup{ f(x) x [; b]}: (1) O(f, Z 1 ) O(f, Z) n s σ(z) 1.3 Unter- und Oberintegrl. Definition des Integrls Ist f eine beschränkte Funktion über [; b] und sind Z 1 und Z Zerlegungen von [; b], wobei Z eine Verfeinerung von Z 1 ist, dnn gilt: () U(f, Z 1 ) U(f, Z ) O(f, Z ) O(f, Z 1 ). Hierus folgt, dss für beliebige Zerlegungen Z 1 und Z stets U(f, Z 1 ) O(f, Z ) gilt; somit ist die Menge ller Untersummen U(f, Z), wobei Z Zerlegung von [; b] ist, nch oben durch O(f, Z 1 ) beschränkt, wobei Z 1 eine beliebige Zerlegung von [; b] ist. Die Menge U(f) := {U(f, Z) Z Zerlegung von [; b]} ht ls nicht-leere, nch oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum; der Wert dieses Supremums wird ls Unterintegrl von f bezeichnet. Entsprechend definiert mn ds Oberintegrl von f ls inf{o(f, Z) Z Zerlegung von [; b]}. Bezeichnung: Wir bezeichnen ds Unterintegrl von f mit I(f), ds Oberintegrl von f mit I(f). I(f) := sup{u(f, Z) Z Zerlegung von [; b]}; I(f) := inf{o(f, Z) Z Zerlegung von [; b]}. Wegen (1) gilt immer I(f) I(f) Beispiele 1. Für die uf dem Intervll [1; 3] konstnte Funktion f mit der Gleichung f(x) = k ergeben sich mit den oben ls Beispiel ngegebenen Zerlegungen folgende Unter- bzw. Obersummen: U(f, Z 1 ) =.5 k +.5.k +.1 k +.7 k +.1 k +.1 k = k O(f, Z ) =.4 k +.4 k +.4 k +.4 k +.4 k = k Wegen I(f) U(f, Z 1 ) = k = O(f, Z ) I(f) I(f) ergibt sich: I(f) = k = I(f).. Für die uf dem Intervll [1; 3] durch {, wenn x irrtionl ist x = 1, wenn x rtionl ist x [1;3] definierte Funktion f ergibt sich für jede Zerlegung Z des Intervlls [1; 3]: U(f, Z) =, O(f, Z) = 1, lso I(f) = ; I(f) =. Bei der Berechnung wurde verwendet, dss der Grph von f (ein Ausschnitt us dem rechten Ast der Normlprbel) über dem betrchteten Intervll monoton steigt, sein Supremum und sein Infimum lso jeweils m rechten bzw. linken Teilintervllende nnimmt, Die Beispiele zeigen, dss die Fälle I(f) = I(f) und I(f) < I(f) beide vorkommen. Im Flle der Gleichheit heißt die Funktion integrierbr und der gemeinsme Wert von I(f) und I(f) wird ls Integrl von f bezeichnet, in Zeichen I(f). 5

6 1.4 Kriterium für Integrierbrkeit 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls Hben zwei Mengen A, B reeller Zhlen die Eigenschft, dss kein Element von A größer ist ls ein Element von B (in Zeichen A B), dnn folgt, wie schon bei der Drstellung zu Unter- und Oberintegrl verwendet: supa inf B, und es gilt sup = inf B b < ε. ε R + A b B Angewendet uf die Existenz des Integrls einer uf einem Intervll ; b definierten Funktion f ergibt dies ds Riemnnsche Integrbilitätskriterium: Genu dnn ist f integrierbr, wenn es zu jeder positiven Zhl ε eine Zerlegung Z des Intervlls [; b] gibt, für die sich die zugehörigen Ober- und Untersummen um weniger ls ε unterscheiden. Äquivlent zu dieser Bedingung für Integrierbrkeit ist offenbr die Existenz einer Folge (Z n ) von Zerlegungen des Argumentintervlls, für welche (O(f, Z n ) U(f, Z n )) n eine Nullfolge ist. Mit (1) us dem Abschnitt zu Ober- und Untersummen lässt sich der folgende Hilfsstz zeigen: Hilfsstz Ist f eine uf [; b] definierte und integrierbre Funktion, so gibt es zu jeder positiven Zhl ε eine positive Zhl δ mit folgender Eigenschft: Für jede Zerlegung Z von [; b], deren Feinheit kleiner ls δ ist, gilt: O(f; Z) I(f) < ε. Beweis D f integrierbr ist, gibt es eine Zerlegung Z 1 (= (x, x 1, x,..., x n ) des Intervlls [; b] mit O(f, Z 1 ) I(f) < ε. Dnn leistet δ := ε 4n s ds Verlngte. Ist nämlich s := sup{ f(x) x [; b]}, Z eine beliebige Zerlegung von [; b] mit σ(z) < δ, und ist Z die Verfeinerung von Z 1, die durch Hinzunhme ller Teilungsstellen us Z entsteht, so ht mn nch (1) (3) O(f, Z) O(f, Z ) n s σ(z) n s δ = n s D Z eine Verfeinerung von Z 1 ist, gilt ε 4n s = ε. (4) O(f, Z ) I(f) < ε. Mit () und (3) folgt (5) O(f, Z) I(f) = (O(f, Z) O(f, Z )) + (O(f, Z ) I(f)) < ε + ε = ε. Anlog zu beweisen ist: Ist f eine uf [; b] definierte und integrierbre Funktion, so gibt es zu jeder positiven Zhl ε eine positive Zhl δ mit folgender Eigenschft: Für jede Zerlegung Z von [; b], deren Feinheit kleiner ls δ ist, gilt: O(f; Z) I(f) < ε. Aus dem ngegebenen Hilfsstz folgt: Ist f eine uf [; b] definierte und integrierbre Funktion, und ist (Z n ) n eine Folge von Zerlegungen des Intervlls [; b], für die (σ(z n )) eine Nullfolge ist, so konvergieren die Folgen U(f, Z n ) und O(f; Z n ) gegen ds Integrl von f. Wählt mn bei einer Zerlegung Z = (x, x 1, x,..., x n ) für jedes Intervll [x i 1 ; x i ] einen Zwischenpunkt ξ i (i = 1,, 3,..., n), so erhält mn mit Z = (x, ξ 1, x 1, ξ, x,..., ξ n, x n ) eine Zerlegung mit Zwischenpunkten. Unter der zugehörigen Zwischensumme zu einer solchen Zerlegung mit Zwischenpunkten versteht mn S(f, Z ) = f(ξ i ) (x i x i 1 ). Ist f eine uf [; b] definierte und integrierbre Funktion, und ist (Z n) n eine Folge von Zerlegungen des Intervlls [; b] mit Zwischenpunkten, für die (σ(z n )) eine Nullfolge ist, so konvergieren die Folgen S(f, Z n) gegen ds Integrl von f. 6

7 Integrierbre Funktionen..1 Klssen integrierbrer Funktionen Integrierbre Funktionen In diesem Abschnitt wird die Menge der uf [; b] definierten und integrierbren Funktionen mit F bezeichnet. Weiterhin sei k eine von verschiedene reelle Zhl, f und g seien Funktionen mit der Argumengmenge [; b]. Dnn gelten folgende Aussgen über Integrierbrkeit: () x [;b] f(x) = (f F I(f) = ) (1) f F (k f F I(k f) = k I(f)) () f, g F (f + g F I(f + g) = I(f) + I(g)) (3) f F ( f F I (f) I( f )) Dbei ist mit f nicht etw eine irgendwie definierte Norm von f im Vektorrum F gemeint, sondern die Funktion, die n der Stelle x [; b] den Wert f(x) nnimmt. (4) Liegt die reelle Zhl c im Intervll [; b], so ist f genu dnn integrierbr, wenn f [;c] und f [c;b] integrierbr sind. Im Flle der Integrierbrkeit gilt I(f) = I(f [;c] ) + I(f [c;b] ). (5) f, g F mx(f, g) F Dbei ist mit mx(f, g) die Funktion uf [; b] gemeint, die n jeder Stelle x des Argumentintervlls den Funktionswert mx{f(x), g(x)} nnimmt. (6) f monoton f F (7) f stetig f F Bemerkung: Innerhlb des Vektorrums ller uf [; b] definierten Funktionen bilden lso die integrierbren nch ()..() einen Untervektorrum, zu dem ds Bilden des Integrls eine linere Abbildung in die reellen Zhlen ist. Beweise Zu () Für jede Zerlegung Z gilt U(f, Z) = O(f, Z) =. Zu (1) Zunächst wird zusätzlich vorusgesetzt, dss k positiv ist. Zu vorgegebenem positiven ε gibt es dnn eine Zerlegung Z mit O(f, Z) U(f, Z) < ε k. Dnn folgt O(k f, Z) U(k f, Z) = k (O(f, Z) U(f, Z)) < k ε k = ε. k f ist lso integrierbr. Ist nun (Z n) eine Folge von Zerlegungen des Intervlls [; b] mit Zwischenpunkten, so konvergiert S(f, Z n) gegen I(f); wegen lim S(k f, n Z n) = lim k S(f, n Z n) = k lim S(f, n Z n) = k I(f) ist I(k f) = k I(f). Zusmmen mit f ist uch f integrierbr, und es ist I( f) = I(f). Denn für jede Zerlegung Z gilt und dher U( f, Z) = O(f, Z) O( f, Z) = U(f, Z) O( f, Z) U( f, Z) = U(f, Z) ( O(f, Z)) = O(f, Z) U(f, Z). Wegen k f = 1 ( k) f und () gilt die Aussge (1) für lle reellen Zhlen k. 7

8 Integrierbre Funktionen Zu () Für jede Zerlegung Z des Intervlls [; b] gilt denn O(f + g, Z) U(f + g, Z) O(f, Z) + O(g, z) (U(f, Z) + U(g, Z)) i {1,,3,...,n} x [x i 1 ;x i ] ( = O(f, Z) U(f, Z) + O(g, Z) U(g, Z), f(x) + g(x) sup f [ x i 1 ; x i ] + sup g [ x i 1 ; x i ] sup(f + g) [ x i 1 ; x i ] sup f [ x i 1 ; x i ] + sup g [ x i 1 ; x i ]). Die Abschätzung U(f + g, Z) U(f, Z) + U(g, Z) ist nlog zu zeigen. Ist lso Z n eine Folge von Zerlegungen des Intervlls, für die (σ(z n )) eine Nullfolge ist, so konvergiert mit (O(f, Z n ) U(f, Z n ) und (O(g, Z n ) U(g, Z n ) uch (O(f + g, Z n ) U(f + g, Z n ) gegen null. Also ist f + g integrierbr. Und d für jede Zerlegung Z mit Zwischenpunkten gilt S(f + g, Z ) = S(f, Z ) + S(g, Z ) folgt: I(f + g) = I(f) + I(g). Zu (3) Für jede Teilmenge T von [; b] gilt sup{ f(x) x T } inf{ f(x) x T } sup{f(x) x T } inf{f(x) x T }. Dher gilt für jede Zerlegung Z des Intervlls [; b] ε R + (O(f, Z) U(f, Z) < ε = O( f, Z) U( f, Z) < ε). Die Integrierbrkeit von f zieht lso die Integrierbrkeit von f nch sich. Ist Z eine Zerlegung des Intervlls [; b] mit Zwischenpunkten, so gilt: f(ξ i ) (x i x i 1 ) f(ξ i ) (x i x i 1 ), lso i {1,,3,...,n} S(f, Z ) S( f, Z ) und mithin I(f) I( f ). Zu (4) f integrierbr (f [;c] integrierbr f [c;b] integrierbr), denn zu vorgegebenem positivem ε gibt es zunächst eine Zerlegung Z von [; b] mit O(f, Z) U(f, Z) < ε. D die Differenz von Ober- und Untersumme bei Hinzunhme eines weiteren Zerlegungspunktes nicht zunimmt, drf o.b.d.a. ngenommen werden, dss c ein Zerlegungspunkt ist, die Zerlegung sich lso drstellen lässt in der Form (x, x 1, x,..., x m 1, x m, x m+1,..., x n ) mit x =, x m = c, x n = b. Mit Z 1 = (x, x 1, x,..., x m ) und Z = (x m, x m+1, x m+,..., x n ) gilt für die Zerlegungen Z 1, Z O(f [;c], Z 1 ) U(f [;c], Z 1 ) O(f, Z) U(f, Z) < ε, O(f [c;b], Z ) U(f [c;b], Z ) O(f, Z) U(f, Z) < ε. (f [;c] integrierbr f [c;b] integrierbr) f integrierbr Zu vorgegebenem positivem ε gibt Zerlegungen Z 1 und Z von [; c] bzw. [c; b] mit O(f [;c], Z 1 ) U(f [;c], Z 1 ) < ε O(f [c;b], Z ) U(f [c;b], Z ) < ε. Für die durch Vereinigen der Zerlegungspunkte us Z 1 mit denen von Z entstehende Zerlegung Z gilt dnn: O(f, Z) U(f, Z) = O(f [;c], Z 1 ) + O(f [c;b], Z ) (U(f [;c], Z 1 ) + U(f [c;b], Z )) = O(f [;c], Z 1 U(f [;c], Z 1 ) + O(f [c;b], Z ) U(f [c;b], Z ) < ε + ε = ε. 8

9 Integrierbre Funktionen Durch Betrchtung von Zerlegungen mit Zwischenpunkten von [; c] und von [c; b] ergibt sich nlog zum Nchweis von (): I(f [;c] ) + I(f [c;b] = I(f). Zu (5) Der Nchweis ergibt sich wegen f(x) + g(x) mx(f(x), g(x)) = + x [;b] us (1), () und (3). f(x) g(x) Zu (6) Der Nchweis wird zunächst für eine isotone Funktion ngegeben. Für die Zerlegung (x, x 1, x,..., x n ) von [; b] in n Teilintervlle gleicher Länge d n = b n ist U(f, Z) = f(x i 1 ) d n O(f, Z) = f(x i ) d n, lso O(f, Z) U(f, Z) = n 1 f(x i ) d n f(x i ) d = (f(b) f()) d n i= = (f(b) f()) b (n ). n Der Beweis für eine ntitone Funktion f ergibt sich durch Betrchtung der dnn isotonen Funktion -f ls us Folgerung us (1) für k = 1. Zu (7) Für die Zerlegung (x, x 1, x,..., x n ) in n Teilintervlle gleicher Länge d n = b n ist O(f, Z) U(f, Z) = sup f [xi 1 ;x i ] d n inf f [xi 1 ;x i ] d n = d n (sup f [xi 1 ;x i ] inf f [xi 1 ;x i ]) = d n (mx f [xi 1 ;x i ] min f [xi 1 ;x i ]). D eine uf einem bgeschlossenen Intervll stetige Funktion dort sogr gleichmäßig stetig ist, gibt es zu jedem positiven ε eine positive Zhl δ mit der Eigenschft ( x y < δ f(x) f(y) < ε). x,y [;b] ε b, Ist lso bei vorgegebenem positiven ε 1 die Zhl δ in obigem Sinne geeignet für ε 1 = wähle mn die ntürliche Zhl n größer ls b δ. Für die Zerlegung Z n = (x, x 1, x 3,..., x n ) des Intervlls [; b] in n Teilintervlle gleicher Länge gilt dnn mit d n := b O(f, Z n ) U(f, Z n ) = < d n (mx f [xi 1 ;x i ] min f [xi 1 ;x i ]) d n Dmit ist die Integrierbrkeit von f gezeigt... Beispiele integrierbrer Funktionen ε 1 = d n n ε 1 = b n n ε b = ε. (i) Die uf dem Intervll [; b] mit dem konstnten Wert k definierte Funktion f ist integrierbr und ht ds Integrl I(f) = k (b ). Denn für jede Zerlegung Z von [; b] ist U(f, Z) = O(f, Z) = k (b ). n 9

10 Integrierbre Funktionen (ii) Die uf einem Intervll [; b] durch x [;b] p k(x) := x k definierte Potenzfunktion k-ten Grdes ist integrierbr, und es gilt I(p k ) = bk+1 k+1 k+1. Die Richtigkeit dieser Aussge ergibt sich n späterer Stelle wesentlich einfcher ls Folgerung us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung; sie wird hier nur für den speziellen Fll < < b gezeigt. Mit q n := n b betrchte mn zur Zerlegung Z n = (, q, q,..., q n 1, b) die Zerlegung Zn mit Zwischenpunkten, die us Z n entsteht, wenn jeweils ds linke Ende des Teilintervlls ls Zwischenpunkt gewählt wird. D die Folge ( n b ) gegen 1 konvergiert, ist (σ(z n)) wegen qn i 1 qn i = qn i 1 (1 q n ) eine Nullfolge. Mithin konvergiert die Folge S(p n, Zn) gegen ds (ufgrund der Stetigkeit von p k existierende) Integrl von p k. S(p k, Z n) = p k (x i 1 ) (x i x i 1 ) = (q i 1 n = k+1 (qn) k i 1 qn i 1 (q n 1) = k+1 (q n 1) = k+1 (q n 1) = k+1 (q n 1) (qk+1 n ) n 1 q k+1 n 1 = k+1 ( b )k+1 1 k κ= qκ n (q k+1 = bk+1 k+1 k κ= qκ n ) k (q i n q i 1 n ) (q k n) i 1 q i 1 n n 1 n ) i 1 = k+1 (q n 1) i= (q k+1 n = k+1 (q n (q n 1) n) k+1 1 (q n 1) k κ= qκ n bk+1 k+1 k = bk+1 k+1 (n ) κ= 1κ k + 1 (iii) Die uf dem Intervll [; b] betrchtete gnzrtionle Funktion f mit einer Gleichung der Form f(x) = n i= ix i ist ls stetige Funktion integrierbr und ht nch (i) sowie (1) und () ds Integrl I(f) = n i= 1 i+1 ix i+1. (iv) Definiert mn die Funktion f uf dem Intervll [; 1] durch {, wenn x irrtionl ist, x = 1 q, wenn x rtionl ist mit reduzierter Drstellung p q, x [;1] dnn ist f integrierbr mit I(f) =. Für jede Zerlegung Z von [; 1] ht U(f, Z) den Wert. Zu zeigen ist lso nur, dss es zu jedem positiven ε eine Zerlegung Z gibt mit O(f, Z) < ε. Zum Nchweis wähle mn eine ntürliche Zhl k, die größer ls ε ist. An llen rtionlen Stellen, die nicht in der Menge M = { 1, 1 1, 1, 1 3, 3, 1 4, 4, k 1 k } wird ein Funktionswert ngenommen, der kleiner ls 1 k, lso kleiner ls ε ist. Ist nun m die Mächtigkeit der Menge M, so lege mn um jedes der Elemente von M ein Intervll der Breite ε m ; die hierbei uftretenden Intervllenden werden in einer Zerlegung Z mit Zerlegungspunkten (x, x 1, x 3,..., x n ) zusmmengefsst. Für diese Zerlegung gilt dnn O(f, Z) = {sup f [xi 1 ;x i ] M [x i 1 ; x i ] } + {sup f [xi 1 ;x i ] M [x i 1 ; x i ] } < m ) i ε m + 1 ε = ε 1

11 Integrierbre Funktionen (v) Ist für die uf [; b] definierte Funktion f die Menge {x [; b] f(x) } endlich, so ist f integrierbr und ht ds Integrl. Nur für den Fll, dss f nicht die Nullfunktion ist, muss etws gezeigt werden. Ist n die Anzhl der Stellen, n denen die Funktion f verschwindet, und s eine obere Schrnke von f, dnn betrchte mn zu vorgegebenem positivem ε die Zerlegung Z, bei der um jede der n Stellen mit f(x) ein Intervll gelegt wird, dessen Länge kleiner ls ist. Dnn ist O(f, Z) U(f, Z) < n s ε s n = ε..1 Eigenschften integrierbrer Funktionen Nchfolgend sei f eine uf einem Intervll [; b] definierte, integrierbre Funktion. E(1): Nimmt f n keiner Stelle einen negtiven Wert n, ist uch I(f) nicht negtiv. Denn zu keiner Zerlegung Z ist die zugehörige Untersumme negtiv; es gilt lso : U(f, Z) I(f). E(): Ist g eine uf [; b] integrierbre Funktion mit f g (lso x [;b] f(x) g(x)), dnn folgt I(f) I(g). Die linere Abbildung I : F R ist lso (bezüglich der Hlbordnung in F isoton. D uch g f integrierbr ist, ergibt sich der Beweis ls Folgerung us E(1); denn wegen g f folgt I(g) = I(g f) + I(f) I(f). ε s n E(3): I(f) (b ) sup f Denn wendet mn E() uf die Funktion g mit dem konstnten Funktionswert sup f n, so folgt wegen f g I(f) I(g) = (b ) sup f und dher (wegen (b ) sup f ) I(f) (b ) sup f. E(4): Ist f stetig und nimmt n keiner Stelle einen negtiven Wert n, so gilt: mx f > I(f) >. D die Nullfunktion, wie schon gezeigt, ds Integrl ht, ist nur zu beweisen, dss die Existenz einer Stelle c [; b] mit f(c) > nch sich zieht, dss I(f) positiv ist. Ist f(c) positiv, so gibt es ufgrund der Stetigkeit von f in [; b] ein Teilintervll [ 1 ; b 1 ] positiver Länge, über dem keine kleineren Funktionswerte ls f(c) ngenommen werden. Für die Zerlegung Z = (, 1, b 1, b) gilt dnn I(f) U(f, Z) = ( 1 ) mx f [;1 ] + (b 1 1 ) mx f [1 ;b 1 ] + (b b 1 ) mx f [b1 ;b] + (b 1 1 ) mx f [1 ;b 1 ] + (b 1 1 ) f(c) >. 11

12 . Klssische Integrlnottion f(x)dx 3 Integrlfunktionen und Huptstz Für eine uf dem Intervll [; b] definierte, integrierbre Funktion f lässt sich - wie oben gezeigt - ds Integrl ls Grenzwert einer Folge von Zwischensummen erhlten. Ist nämtlich (Z m) m eine Folge von Zerlegungen des Argumentintervlls mit Zwischenpunkten, deren Feinheit mit wchsendem n gegen strebt, so erhält mn mit Z n = (x m,, ξ m,1, x m,1, ξ m,, x m,,..., ξ m,nm, x m,nm ) und d m,i = x m,i x m,i 1 (i = 1,, 3,..., n m ) : n m I(f) = lim m f(ξ m,i ) d m,i. An diese Drstellung erinnert die folgende Integrlnottion, die nicht nur deshlb zweckmäßig ist, weil mn zur Nottion nur den Funktionsterm brucht und nicht jeder Funktion zum Integrieren einen Nmen geben muss, sondern uch us vielen nderen Gründen prktisch ist: I(f) = f(x) dx. Bei der Einschränkung des Definitionsintervlls [; b] uf ein Teilintervll [ 1 ; b 1 ] knn mn entsprechend kürzer notieren: nicht 1 1 f [1 ;b 1 ](x) dx, sondern 1 1 f(x) dx. 3 Integrlfunktionen und Huptstz Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, dss die Integrierbrkeit einer uf einem Intervll [; b] integrierbren Funktion f für jede Stelle x dieses Intervlls die Integrierbrkeit von f [;x] nch sich zieht. Mn knn dher eine zugehörige Integrlfunktion F : [; b] R definieren durch ( x ) F (x) := I(f [;x] ) = f(t) dt. x [;b] 3.1 Eigenschften von Integrlfunktionen - Teil 1 Nchfolgend sei stets vorusgesetzt, dss f eine integrierbre Funktion uf [; b] ist; F sei die im Sinne der obigen Definition zugehörige Integrlfunktion. 1. F () = ; jede Integrlfunktion ht mindestens eine Nullstelle.. Wenn f keine negtiven Werte nnimmt, ist F isoton, denn für x, y us der Argumentmenge mit x y gilt F (y) F (x) = I(f [;y] ) I(f [;x] ) = I(f [x;y] ). 3. F ist n jeder Stelle c des Intervlls [; b] stetig. Zum Nchweis genügt es zu zeigen, dss für jede monotone Folge (c n ) in [; b], die gegen c konvergiert, die Folge (F (c n )) den Grenzwert F (c) ht. Der kurze Nchweis wird für eine ntitone Folge (c n ) ergibt sich mit F (c n ) F (c) = I(f [c;cn]) I( f [c;cn]) (c n c) mx f (n ), und nlog für isotone Folgen F (c n ) F (c) = I(f [cn;c]) I( f [cn;c]) (c c n ) mx f (n ). 1

13 3. Erweiterung der Integrlnottion 3 Integrlfunktionen und Huptstz Die Zusmmenfssung der Differenz F (c) F (d) zweier Werte einer Integrlfunktion F ergibt c d f(x) dx bzw. d c f(x) dx, je nchdem, ob d kleiner ls c ist oder nicht. Die sonst erforderliche Fllunterscheidung entfällt, wenn mn den bisher für c < d nicht definierten Ausdruck c d f(x)dx erklärt durch c d f(x) dx := d c f(x) dx. Wrnung: Nch der Erweiterung der Bedeutung von d c f(x)dx ist eine Gleichsetzung mit I(f [c;d]) nur im Flle c d möglich, d zweite Ausdruck sonst undefiniert ist. 3.3 Eigenschften von Integrlfunktionen - Teil 4. Ist f n der Stelle c stetig, dnn ist die zugehörige Integrlfunktion n der Stelle differenzierbr und es gilt F (c) = f(c). Beweis: Wegen f(c) (x c) = f(c) x c 1dt = x c f(c)dt gilt F (x) F (c) f(c) x c = 1 x x c (f(t) f(c))dt sup{ f(t) f(c) t [c; x] [x; c]}. c Aus der Stetigkeit von f bei c folgt lim x c sup{ f(t) f(c) t [c; x] [x; c]} =, lso F (x) F (c) f(c) = lim = F (c). x c x c 5. Ist G eine Stmmfunktion zu f (lso G : [; b] R mit G = f), dnn unterscheidet sich G von der zu f gehörenden Stmmfunktion F um eine Konstnte. Denn nch einer Folgerung us dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gilt dnn; (6) (F G) = k R x [;b] (F G)(x) = k An jeder Stelle x des Definitionsintervlls ist lso F (x) = G(x) + k. 3.4 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Eine Folgerung us der letzten gennnten Eigenschft der Integrlfunktionen zu stetigen Integrnden ist der folgende Huptstz: Ist f eine stetige Funktion uf dem Intervll [; b] und G eine Stmmfunktion zu f, dnn errechnet sich ds Integrl von f wie folgt: f(t)dt = G(b) G(). 13

14 4 Integrtionsregeln Denn der Wert k in (6) errechnet sich wegen = F () = G() + k ls G(). Dher ist F (x) = G(x) G() und mithin f(t)dt = F (b) F () = (G(b) G()) (G() G()) = G(b) G(). Die nchfolgende Nottionskonvention für die Differenz zweier Funktionswerte ist vor llem bei umfngreicheren Funktionstermen zweckmäßig: Liegen die Stellen und b in der Argumentmenge einer Funktion f, so definiert mn [f(x)] b := f(b) f(). Anwendungsbeispiele: 1. Eine Stmmfunktion der uf dem Intervll [; 4] durch f(x) = 1 x+1 definierten Funktion f ht den Funktionsterm x + 1, lso errechnet mn ihr Integrl ls 4 1 f(x)dx = x + 1 dx = [ x + 1] 4 1 = =.. Eine Stmmfunktion der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion; bezogen uf ds Intervll [ π ; π ] ht mn dher π 4 Integrtionsregeln cos(x)dx = sin( π ) sin( π ) = 1 ( 1) =. In einem früheren Abschnitt wurden bereits die Homogenität und die Additivität des Integrls gezeigt: Unter den entsprechenden Vorussetzungen (s...1) gilt (k f)(x)dx = k f(x)dx (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx. Ds Integrl bildet lso den Vektorrum der integrierbren Funktionen mit Argumentmenge [; b] liner in den Vektorrum der reellen Zhlen b. Sind die Integrnden stetig, ergeben sich die oben erwähnte Homogenität und Additivität des Integrls uch us Fktorregel und Summenregel der Differentilrechnung bei Anwendung des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung. Eine Folgerungen us der Kettenregel der Differentilrechnung ist(bei entsprechenden Vorussetzungen zu den Integrnden): ((g f) f )(x)dx = [g(f(x))] b mit z.b. folgenden speziellen Anwendungen (7) (8) (9) (1) f f (x)dx = [ln( f(x) )]b (f f n )(x)dx = 1 n + 1 [f n+1 (x))] b f (x) f(x) dx = [ f(x)] b f (x) 1 + f (x) dx = [rctn(f(x))]b 14

15 4 Integrtionsregeln 4.1 Integrtion gerder bzw. ungerder Funktionen uf zu symmetrischen Intervllen Sind f und g integrierbre Funktionen mit der Argumentmenge [ b; b] g ungerde, so gilt (b > ), und ist f gerde und b f(x)dx = f(x)dx b g(x)dx =. Für eine Zerlegung Z mit Zwischenpunkten, bei der die Zerlegungs- und Zwischenpunkte symmetrisch zu gewählt sind, die lso in der Form ( x n, ξ n, x n 1, ξ n 1,..., x 1,, x 1,..., ξ n 1, x n 1, ξ n, x n ) drstellbr ist, hben die zugehörigen Zwischensumme die Form S(f, Z ) = S(g, Z ) = f( ξ i ) ( x i 1 ( x i )) + f() (x 1 ( x 1 )) + i= = f(ξ i ) (x i x i 1 ) + f() (x 1 ( x 1 )) + i= = f(ξ i ) (x i x i 1 ) i= f(ξ i ) (x i x i 1 ) i= f(ξ i ) (x i x i 1 ) + f() (x 1 ( x 1 )); i= g( ξ i ) ( x i 1 ( x i )) + g() (x 1 ( x 1 )) + i= = g(ξ i ) (x i x i 1 ) + i= g(ξ i ) (x i x i 1 ) i= g(ξ i ) (x i x i 1 ) =. Durchäuft nun Z eine Folge der beschriebenen Art, bei der die Feinheit gegen geht, strebt die erste Folge von Zwischensummen gegen b f(x)dx +, während die zweite den konstnten Wert, lso uch den Grenzwert ht. Anwendungsbeispiele: 1. Die rtionle Funktion f mit der Gleichung f(x) = x3 3x x +1 [ 4711; 4711] liefert dher x 3 3x x + 1 dx = i= ist ungerde; Integrtion über. Eingeschränkt uf ds Intervll [ π ; π ] ist die Kosinusfunktion gerde und die Sinusfunktion ungerde. Dher gilt: π 4. Prtielle Integrtion cos(x)dx = π cos(x)dx π sin(x)dx = Sind die uf dem Intervll [; b] definierten Funktionen f und g stetig differenzierbr, dnn sind die Produkte f g und f g ls stetige Funktionen integrierbr, und es gilt (f g )(x)dx = [(f g)(x)] b (f g)(x)dx. Denn nch dem Huptstz und der Produktregel der Differentilrechnung ist [(f g)(x)] b = (f g) (x)dx = (f g + f g )(x)dx = (f g)(x)dx + (f g )(x)dx. 15

16 Anwendungsbeispiele: 4 Integrtionsregeln 1. Findet mn zur Funktion mit dem Term x cos(x) mit der Argumentmenge [; π] uf Anhieb keine Stmmfunktion zur Berechnung von x cos(x)dx, knn mn wie folgt vorgehen: Mit f(x) := x; g(x) := sin(x) ist f (x) = 1; g (x) = cos(x). Mit prtieller Integrtion erhält mn x cos(x)dx = f(x) g (x)d = [(f g)(x)] π = [x sin(x)] π (f g)(x)dx sin(x)dx = [cos(x)] π =.. Zur Integrtion der Logrithmusfunktion uf dem Intervll [1; ] knn mn ln(x) ls Produkt f(x) g (x) uffssen mit f(x) = ln(x), g(x) = x. 4.3 Substitutionsregel Unter den Vorussetzungen gilt 1 ln(x) 1dx = [x ln(x)] 1 1 x 1 dx = ln() x α, β R; α < β; ϕ : [α; β] R, stetig differenzierbr, isoton β α ((f ϕ) ϕ )(t)dt = f : [ϕ(α); ϕ(β)] R, stetig differenzierbr ϕ(β) ϕ(α) f (x)dx. 1 1 dx = ln() 1. Denn mit der Kettenregel der Differentilrechnung und zweimliger Anwendung des Huptstzes erhält mn β β ((f ϕ) ϕ )(t)dt = (f ϕ) (t)dt = [(f ϕ)(t)] α β = f(ϕ(β)) f(ϕ(α)) α Anwendungsbeispiele: α ϕ() 1 ϕ(β) = [f(x)] ϕ(β) ϕ(α) = f (x)dx. 1. Um über [; e 1 e ] ds Integrl der Funktion mit dem Funktionsterm 1 x zu berechnen, betrchtet mn mit ϕ(t) := sinh(t); ϕ (t) = cosh(t) e 1 e ϕ(1) x dx = 1 + x dx = 1 + sinh (t) cosh(t)dt = 1 cosh (t)dt = = 1 4 [ e t + t e t sin() ϕ(α) ( e t + e t ) 1 ( e t + + e t dt = ] 1 4 ) dt = 1 8 (e + 4 e ) = e4 + 4e 1 8e. Ds folgende Resultt 1 1 x dx = π 4 überrscht nicht, d es den Flächeninhlt des Viertels vom Einheitskreis ngibt. 1 sin( π 1 x ) dx = 1 x dx = = cos (t)dt = 1 (1 + cos(t))dt = 1 1 sin (t) sin (t)dt [ t + sin(t) ] π = π 4. 16

17 5 (Erster) Mittelwertstz der Integrlrechnung Dbei wurde zur Berechnung von cos (t)dt die sich us dem Additionstheorem der Kosinusfunktion ergebende Formel cos (x) = 1 (1 + cos(x)) verwendet. Ein lterntiver Weg wäre die Anwendung prtieller Integrtion gewesen. 5 (Erster) Mittelwertstz der Integrlrechnung 1 Der Wert b f(x)dx wir ls Mittelwert der Funktion f bezeichnet. Ist speziell f eine stetige Funktion, deren Grph nirgends unterhlb der x-achse verläuft, gibt der Mittelwert lso die Höhe von jenem Rechteck der Grundseite b n, ds zu der Fläche zwischen x-achse, Grph von f und den Gerden mit den Gleichungen x =, x = b inhltsgleich ist. Ist f stetig, gibt es - wie unten gezeigt wird - stets eine Stelle ξ [; b], n welcher der Mittelwert ls Funktionswert ngenommen wird. Diese Aussge ergibt sich uch us dem Mittelwertstz der Differentilrechnung bei Anwendung uf die zu f gehörende Integrlfunktion. Allgemeiner gilt: Ist f eine uf [; b] stetige Funktion und g eine stetige Funktion mit gleicher Argumentmenge, deren Werte nie negtiv (oder nie positiv) sind, dnn gibt es im Intervll [; b] eine Stelle ξ mit der Eigenschft (f g)(x) dx = f(ξ) g(x)dx. Der Nchweis brucht nur für den Fll geführt zu werden, dss g nicht die Nullfunktion ist, lso (ls stetige, nirgends negtive Funktion) ein positives Integrl ht. Jede uf einem Intervll [; b] definierte stetige Funktion f ist beschränkt und ht dort sogr Minimum und Mximum. Aufgrund der Isontonie und Homogenität des Integrls knn mn schließen: (min f) g(x) (f g)(x) (mx f) g(x) (min f) x [;b] g(x)dx (f g)(x)dx (mx f) min f g(x)dx (f g)(x)dx g(x)dx mx f D nch dem Zwischenwertstz jedes Element der Menge [min f; mx f] ls Funktionswert von f ngenommen wird, gibt es eine Stelle ξ [; b] mit der behupteten Eigenschft. 17

18 6 Anwendungsbeispiele der Integrlrechnung 6 Anwendungsbeispiele der Integrlrechnung 6.1 Flächeninhlte Die oben ngedeutete Fläche wird von den Grphen der Funktionen f und g sowie den Prllelen zur y-achse mit den Gleichungen x = bzw. x = b berndet. Um ihren Inhlt erst näherungsweise und dnn - im Flle, dss f und g integrierbr sind - exkt zu bestimmen, wird zunächst eine Zerlegung mit Zwischenpunkten Z der Argumentmenge [; b] betrchtet. Nchfolgend ist ein Beispiel einer Zerlegung in vier Teilintervlle drgestellt. Bei Zugrundelegung der Zerlegung Z = (x, ξ 1, x 1, ξ, x,..., ξ n, x n ) erhält mn ls Näherungswert A(f, Z ) für den Flächeninhlt A(f, g, Z ) = (f(x i ) g(x i )) (x i x i 1 ). Wenn die Funktionen f und g integrierbr sind, strebt eine entsprechende Folge A(f, g, Zn) gegen (f g)(x) dx, wenn (σ(z n)) n eine Nullfolge ist. Der Inhlt A der eingeschlossenen Fläche (mit g f) ist lso nzugeben ls A = 6. Bogenlängen (f g)(x) dx. Um näherungsweise eine Vorstellung von der Länge des Grphen einer Funktion zu erhlten, knn mn den Grphen durch einen einbeschriebenen Polygonzug ersetzen und ehrhält mit dessen (nch Pythgors zu berechnender) Länge einen Näherungswert. Geht mn einer Zerlegung Z = (x, x 1, x,..., x n ) 18

19 6 Anwendungsbeispiele der Integrlrechnung der Argumentmenge [; b] der Funktion us, so führt dies zur Näherung L(f, Z) = (f(xi ) f(x i 1 ) + (x i x i 1 ). Setzt mn zusätzlich vorus, dss die Funktion f bei und b stetig und im Inneren des Argumentintervlls differenzierbr ist, so sichert der Mittelwertstz der Differentilrechnung für jeden Index i us {1,, 3,..., n} die Existenz eines ξ i [x i 1 ; x i ] mit f(x i ) f(x i 1 = f (ξ i ) (x i x i 1 ). Dmit ht mn L(f, Z) = (f (ξ i ) (x i x i 1 )) + (x i x i 1 ) = (f (ξ i )) + 1 (x i x i 1 ). Ds ist eine Riemnnsche Summe für die uf [; b] durch g(x) := f (x) + 1 definierte Funktion g. Wenn die Funktion f z.b. stetig differenzierbr ist, dnn strebt diese Riemnnsche Summe mit wchsender Verfeinerung gegen ds entsprechende Integrl. Deutet mn dies ls Bogenänge L(f) des Grphen, so ergibt sich L(f) = f (x) + 1 dx. Anwendungsbeispiele: 1. Um die Bogenlänge des Einheitskreises zu bestimmen, betrchtet mn uf dem Intervll [ 1; 1] die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1 x. Der Grph dieser Funktion ist der im ersten und vierten Qudrnten des Koordintensystems liegende Teil des Einheitskreises; seine Länge L errechnet sich wegen f (x) = 1 x 1 L = 1 x + 1 dx = 1 1 x 1 x 1 1 x dx. Mit der Substitution t [ π ; π ] ϕ(t) = sin(t) ht mn ϕ( π ) = 1; ϕ( π ) = 1 und erhält wegen ϕ = cos mit der Substitutionsregel π 1 1 L = π 1 sin cos(t) dt = cos(t) dt = 1 dt = π. (t) π cos(t) π Der Umfng des Einheitskreises beträgt lso π.. Der Grph der hyperbolischen Kosinusfunktion wird uch ls Kettenlinie bezeichnet, weil sein Verluf dem einer durchängenden Kette entspricht. ls Für die zu bestimmende Länge L ergibt die Betrchtung über einem Intervll [ ; ] wegen cosh = sin und cosh (x) sinh (x) = 1 L = sinh (x) + 1 dx = cosh(x) dx = [sinh(x)] = sinh(). 19

20 6 Anwendungsbeispiele der Integrlrechnung 6.3 Rottionsvolumin Viele der Formen, die beim Drechseln entstehen, hben eine Oberfläche, die sich durch Rottion eines Funktionsgrphen um die x-achse erzeugen lässt. Um zunächst näherungsweise und dnn exkt ds Volumen eines solchen Drehkörpers zu bestimmen, wird der Körper zunächst mit zur x-achse orthogonlen Schnitten in Scheiben zerlegt, die nschließend durch Zylinder ngenähert werden. Mn betrchtet lso für die uf [; b] definierten Funktion f eine Zerlegung Z des Argumentintervlls mit Zwischenpunkten x i, wobei mn ls Zwischenstelle z.b. jeweils ds rechte Teilintervllende - oder wie in der Skizze oben die Stelle mit dem mximlen Wert - wählt. Dnn ht die i-te Scheibe den Rdius f(x i ) und die Zylindernöhe (x i x i 1. Als Näherungswert V (f, Z ) zu einer solchen Zerlegung erhält mn dher V (f, Z ) = (f(ξ i )) π (x i x i 1 ) = π f (ξ i ) (x i x i 1 ). Dies ist ds π-fche einer Zwischensumme zur Funktion f ; unter der entsprechenden Integrierbrkeitsvorussetzung strebt eine Folge solcher Zwischensummen gegen ds entsprechende Integrl, wenn die Feinheit der Zerlegungen gegen geht. Also ht mn V (f) = f (x) dx. Anwendungsbeispiele: 1. Um ds Volumen der Einheitskugel zu bestimmen, lässt mn die den oberen Einheitshlbkreis beschreibende Funktion f us dem ersten Anwendungsbeispiel zur Bogenlängenberechnung um die x-achse rotieren: V = π 1 1 ( 1 x ) dx = π 1 Ds Volumen der Einheitskugel beträgt lso 4 3 π. 1 (1 x ) dx = π [x x3 3 ]1 1 = 4 3 π.. Der Kreiskegel dem Grundflächenrdius r und der Höhe h knn erzeugt werden, indem mn die Strecke durch O(; ) und A(h; r) um die x-achse rotieren lässt. Als Volumen des Kegels erhält mn dher V = π h ( r h x) dx = r h π h x dx = r h π [ x 3 3 ] h = 1 3 r h π.