Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

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1 P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen: A = ( ) 2 4, B = ( 2 ) a) Bestimmen Sie Basen für Bild(A), Bild(A ), Kern(A), Kern(A ) Lösung: Kern von A: Die Spalten der Matrix A sind Vielfache voneinander, also sind sie linear abhängig und A hat Rang Somit hat das Bild von A Dimension Aus dem Dimensionssatz für Matrizen folgt, dass der Kern von A Dimension 2 haben muss Wir bestimmen den Kern von A, in dem wir zwei linear unabhängige Vektoren x suchen, welche Ax = erfüllen Man bringt A in Zeilenstufenform Z, Dann folgt Z = ( ) 2 4 {( 2 ) ( 4 )} Kern(A) = span, Bild von A: Wie vorher bemerkt, sind die Spalten von A linear abhängig, und das Bild hat deswegen Dimension, Bild(A) = span{( 2 )} Kern von A : Wir bemerken wieder, dass die Spalten von A linear abängig sind und das Bild der Matrix deswegen Dimension hat Aus dem Dimensionssatz für Matrizen folgt, dass dim Kern(A ) = Man bringt A in Zeilenstufenform Z, 2 Z = Serie 8 Seite Aufgabe 8

2 Wir finden Kern(A ) = span{( 2 )} Bild von A : Wie vorher bemerkt, hat das Bild der Matrix Dimension, da die Spaltenvektoren linear abängig sind, )} Bild(A 2 ) = span{( 8b) Bestimmen Sie Basen für Bild(B), Bild(B ), Kern(B), Kern(B ) Lösung: Kern von B: Die Zeilenstufenform Zvon B ist: ( ) 4 Z = B hat Rang 2 Kern(B) hat Dimension, Kern(B) = span{( 4 4 )} Bild von B: Die und die Spalte von B sind linear abhängig Also lässt sich das Bild von B mit der und 2 Spalte beschreiben, Bild(B) = span{( 2 ), ( 2 5 )} Kern von B : Laut Dimensionssatz für Matrizen ist dim Bild(C) + dim Kern(C) = n, für eine Matrix C R m,n Da dim Bild(B ) = 2, muss dim Kern(B) = sein Womit klar ist, dass Kern(B ) = {( )} ) ( )} Bild von B : Bild(B 2 25 ) = span{(, 4 8 Aufgabe 82 Lineare Abhängigkeit von Mengen von Vektoren In der Vorlesung haben Sie lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit definiert In dieser Aufgabe geht es darum, die Begriffe ein wenig genauer zu untersuchen und sich zu überlegen, in welchen Fällen Sie es mit linear abhängigen bzw unabhängigen Mengen von Vektoren zu tun haben Seien k, n, p N Kreuzen Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind Serie 8 Seite 2 Aufgabe 82

3 82a) Die Menge S := {}, welche nur aus dem Nullvektor in R n besteht ist linear unabhängig (i) Richtig (ii) Falsch Die Aussage ist falsch Verwenden wir die Definition der linearen (Un)Abhängigkeit, so erhalten wir α = α R, beliebig Somit ist die Menge von Vektoren S = {} nicht linear unabhängig, also linear abhängig 82b) Eine Menge S := {v}, welche nur einen einzigen nicht-null-vektor v R n enthält, ist linear unabhängig (i) Richtig (ii) Falsch Die Aussage ist richtig Wir verwenden wieder die Definition der linearen (Un)Abhängigkeit und erhalten α v = α =, da v Somit ist die Menge von Vektoren S = {v} linear unabhängigg 82c) Die Menge S := {v, v 2 } R n ist genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren aus S ein skalares Vielfaches des anderen Vektors darstellt (i) Richtig (ii) Falsch Die Aussage ist richtig Wir verwenden wieder die Definition der linearen Abhängigkeit und erhalten ( ) α v + α 2 v 2 α = Es existiert eine Lösung R 2 \ {} (82) Also gilt entweder α oder α 2 Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass gilt α (ansonsten vertauschen wir die Rolle von v und v 2 ) Wir können nun die Vektorgleichung (82) nach v auflösen (82) v = α 2 α v 2, und erhalten die Darstellung von v als skalares Vielfaches von v 2 α 2 Serie 8 Seite Aufgabe 82

4 82d) ist Es gibt Vektoren v,, v k R n so, dass die Menge {, v,, v k} linear unabhängig (i) Richtig (ii) Falsch Die Aussage ist falsch Die Definition der linearen (Un)Abhängigkeit lautet in diesem Fall α + α 2 v + + α k+ v k = (822) Wir bemerken, dass α R beliebig gewählt werden kann Somit ist zum Beispiel R k+ \ {} eine nichttriviale Lösung von (822) Die Menge ist folglich linear abhängig α α 2 α k+ := ( ) 82e) Wenn die Menge { { v, v 2,, v k} R n linear abhängig ist, dann ist auch die Menge v, v 2,, v k, w, w 2,, w p} R n linear abhängig für beliebige Vektoren w i R n, i {,, p} (i) Richtig (ii) Falsch Die Aussage ist richtig Nach Definition der linearen (Un)Abhängigkeit erhalten wir α v + + α k v k + α k+ w + + α k+p w p = (82) Da nach Annahme { v,, v k} linear abhängig sind, gibt es einen nicht-null-vektor a := {}, für welchen gilt α v + + α k v k = α α k ( α α k ) R k \ Erweitern wir diesen Vektor a um α k+ = = α k+p =, dann erfüllt dieser Vektor Rk+p \ {} die Bedingung (82) Die Menge { v, v 2,, v k, w, w 2,, w p} R n ist somit linear abhängig Serie 8 Seite 4 Aufgabe 82

5 82f) Sofern {v, v 2 } R n linear unabhängig ist, die Menge {v, v 2, v } R n jedoch linear abhängig, dann kann v als Linearkombination von v und v 2 dargestellt werden (i) Richtig (ii) Falsch Wir starten wieder mit der Definition der linearen (Un)Abhängigkeit Die erste Aussage, dass { v, v 2} R n linear unabhängig ist, liefert uns α v + α 2 v 2 = α = α 2 = (824) somit muss für die zweite Aussage gelten, dass es ein α gibt, sodass gilt α v + α 2 v 2 + α v = (825) Ansonsten hätten wir die Gleichung auf (824) zurückgeführt und nur die triviale Lösung, was im Widerspruch zur linearen Abhängigkeit von { v, v 2, v } stehen würde Da es ein α gibt, können wir die Gleichung (825) umformen zu v = α α v α 2 α v 2 (826) Aufgabe 8 Lineare Abhängigkeit orthogonaler Vektoren Es sei M := {v,, v k } R n \ {} eine Menge von von verschiedenen Vektoren in R n für die gilt Zeigen Sie, dass M linear unabhängig ist v m, v l = für alle l, m {,, k}, m l (8) Lösung: Wir betrachten die Vektorgleichung α v + α 2 v α k v k = Aus der Vorlesung wissen wir, dass v,, v k genau dann linear unabhängig sind, wenn die einzigen α l, l =,, k, die die obige Gleichung erfüllen, α = = α k sind Wir bilden das Skalarprodukt der obigen Gleichung mit einem beliebigen v l, l =,, k v l, α v + α 2 v α k v k = Da das Skalarprodukt linear ist, ist dies equivalent zu Nun verwenden wir (8), und finden α v l, v + α 2 v l, v α k v l, v k = α l v l, v l =, weil alle anderen Summanden null sind Da v l impliziert das, dass α l = Wir erinnern uns, dass wir l beliebig gewählt haben Das selbe Argument können wir aslo für alle l =,, k wiederholen und finden so, dass α = = α k = Somit sind die Vektoren v,, v k linear unabhängig Serie 8 Seite 5 Aufgabe 8

6 Aufgabe 84 Orthonormale Basis Gegeben seien die Vektoren v () = , v (2) = 2, v () = Zeigen Sie, dass die Vektoren v (), v (2), v () eine orthonormale Basis von R bilden, d h zeigen Sie, dass v (), v (2), v () Einheitsvektoren sind (das bedeutet, dass ihre Länge ist, ie v (i), v (i) =, i =, 2, ), paarweise orthogonal sind, eine Basis von R bilden Lösung: Einheisvektoren: Zu zeigen ist, dass v (), v (2), v () die Länge haben: v () = v (), v () = = v (2) = v (2), v (2) = = v () = v (), v () = = Paarweise orthogonal: Zu zeigen ist, dass v (i), v (j) = für i j: v (), v (2) = = v (), v () = = v (2), v () = = Wegen der Symmetrie des Skalarprodukts gilt dann automatisch auch v (2), v () = usw Der R ist -dimensional Deswegen bilden die drei paarweise orthogonalen Einheitsvektoren v (), v (2), v () eine Basis des R Zusammenfassend sind sie also eine orthonormale Basis von R Aufgabe 85 Basiswechsel Gegeben sei der Vektorraum V = R mit der Standardbasis B Die Matrix A = definiert eine lineare Abbildung von V nach V Serie 8 Seite 6 Aufgabe 84

7 85a) Durch die Wahl der neuen Basis 2 B =,, 2 werden neue Koordinaten eingeführt Bestimmen Sie die Übergangsmatrix T von B nach B Durch welche Matrix B wird die lineare Abbildung in den neuen Koordinaten beschrie- 85b) ben? 85c) Interpretieren Sie die Abbildung geometrisch Lösung: a) Die Übergangsmatrix von B nach B ist durch 2 S = 2 gegeben, weil deren Spalten aus den Koordinatenvektoren der neuen Basisvektoren bezüglich der Standardbasis bestehen Die gesuchte Übergangsmatrix T von B nach B ist invers zu S Wir invertieren darum S mit dem Gaussverfahren: Somit gilt T = b) Nach der Formel aus der Vorlesung gilt B = T AT = T AS Somit bekommen wir 5 2 B = = 5 = c) Wir bezeichnen die Basisvektoren aus B mit b, b 2 und b Nach Aufgabenteil b) wird b auf b und b 2 auf b 2, sowie b auf abgebildet Somit handelt es sich um die Projektion entlang Serie 8 Seite 7 Aufgabe 85

8 b auf die Ebene, die durch b und b 2 aufgespannt wird, gefolgt von einer Punktspiegelung am Nullpunkt Bemerkung: Weil b senkrecht auf b und b 2 steht, ist die obige Projektion entlang b die Orthogonalprojektion auf die Ebene, die durch b und b 2 aufgespannt wird (bezüglich des Standardskalarprodukts) Aufgabe 86 Unterräume des R 86a) Sei V die folgende Teilmenge des R : { (x, y, 2x + y) R x, y R } Zeigen Sie, dass V ein Unterraum des reellen Vektorraumes R ist Lösung: V ist offensichtlich eine nichtleere Teilmengen von R Wir müssen also noch die restlichen zwei Bedingungen der Definition für Unterräume überprüfen x Wir zeigen: V = y R x, y R ist ein Unterraum von R : 2x + y x x 2 Seien a = y 2x + y, b = y 2 2x 2 + y 2 V Es gilt: x + x 2 x a + b = y + y 2 = y V, 2(x + x 2 ) + y + y 2 2x + y wobei x = x + x 2, y = y + y 2 Sei a wie oben, α R : αx x 4 αa = αy = y 4 V, 2αx + αy 2x 4 + y 4 wobei x 4 = αx, y 4 = αy Also ist V ein Unterraum von R 86b) Ist die Menge W = { (x, 2x +, x) R x R } auch ein Unterraum von R? Begründen Sie Ihre Antwort Lösung: W ist offensichtlich eine nichtleere Teilmengen von R Wir müssen also noch die restlichen zwei Bedingungen in der Definition für Unterräume überprüfen x Seien a = 2x +, b = x x 2 2x 2 + W Dann gilt: x 2 x + x 2 a + b = 2(x + x 2 ) + 2 W x + x 2 Serie 8 Seite 8 Aufgabe 86

9 W ist also kein Unterraum von R! Bemerkung: Wenn wir zeigen wollen, dass etwas im Allgemeinen gilt, so müssen wir es für alle Fälle nachprüfen (wie hier bei Teilaufgabe 86a), wir prüfen es für alle a, b V und für alle α R) Wenn wir hingegen zeigen wollen, dass etwas im Allgemeinen nicht gilt, so genügt es ein Gegenbeispiel zu finden Teilaufgabe 86b) lässt sich somit einfacher lösen, indem man z B feststellt, dass zwar v := (,, ) ein Element von W ist (mit x = ), aber v + v = (2, 6, 2) nicht in W ist (da kein x R existiert, so dass v + v = (x, 2x +, x) ) Aufgabe 87 Ein Unterraum des R 4 Die Vektoren a = (, 2, 5, ), b = (2,,, 4) und c = (, 8,, 5) erzeugen einen Unterraum W von R 4 87a) Bestimmen Sie dim W und eine Basis von W 87b) Vervollständigen Sie diese Basis zu einer Basis von R 4 87c) Geben Sie ein homogenes LGS an, welches W als Lösungsraum hat Lösung: a) Wir wenden das Gaussverfahren auf die Matrix mit den Zeilen a, b und c an: Beim Gaussverfahren wird der von den Zeilen erzeugte Unterraum nicht verändert Deshalb ist dim W = 2 und {(, 2, 5, ), (, 7, 9, 2) } eine Basis von W b) Eine mögliche Vervollständigung dieser Basis zu einer Basis von R 4 ist {(, 2, 5, ), (, 7, 9, 2), (,,, ), (,,, ) } Dies ist eine Basis, weil die Zeilenstufenform der Matrix A mit diesen Zeilen die Einheitsmatrix ist c) Die lineare Gleichung u x + u 2 x 2 + u x + u 4 x 4 = hat die Basisvektoren (, 2, 5, ) und (, 7, 9, 2) von W als Lösung für (x, x 2, x, x 4 ), falls (u, u 2, u, u 4 ) eine Lösung des linearen Gleichungssystems mit der Koeffizientenmatrix ( 2 5 ) ist Durch Rückwärtseinsetzen sehen wir, dass dies genau dann der Fall ist, wenn u 2 = 9 7 u 2 7 u 4, u = 2u 2 5u + u 4 = 7 7 u u 4 Serie 8 Seite 9 Aufgabe 87

10 gilt, wobei u und u 4 frei gewählt werden können Wir wählen (u, u 4 ) = (7, ) und (u, u 4 ) = (, ) und sehen, dass das LGS 7x + 9x 2 + 7x = x 2 + x + x 4 = die Basisvektoren (, 2, 5, ), (, 7, 9, 2) von W als Lösung hat Die Koeffizientenmatrix dieses LGS ist in Zeilenstufenform und hat Rang 2 Daher hat der Lösungsgraum dieses LGS die Dimension 4 2 = 2 Da die obigen Basisvektoren von W im Lösungsraum liegen, ist dieser gleich W Veröffentlichung am November 25 Abzugeben bis 8 November 25 Serie 8 Seite Aufgabe 87