Langzeitverhalten von ODE Lösungen

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1 Euler Verfhren für Systeme von ODEs Bemerkung zum Lngzeitverhlten Häufig ist von Interesse (z.b. in der Klimvorhersge), wie sich Lösungen y(t) der ODE ẏ = F (y) für sehr grosse t qulittiv verhlten, und zwr unbhängig vom Anfngswert y(t 0) = y 0. D.h. mn will wissen, ob ds dynmische System sich einschwingt, einen Gleichgewichtszutnd erreicht, zufälliges (d.h. chotisches) Verhlten o.ä. zeigt. Im folgenden mchen wir Aussgen für utonome Systeme der Zustndsrumdimension n, die entspechend uch für nichtutonome Systeme der Dimension n 1 gelten. 79 Euler Verfhren für Systeme von ODEs (I) Flls n = 1 muss und sonst (n > 1) knn einer der beiden folgenden Fälle eintreten: () y(t) strebt einem sttionären Grenzwert y = lim y(t) zu t Beispiel: ẏ = λ(y ), y R, λ < 0, y 0 beliebig y(t) = c e λt +, c > 0 y y(t) = c e λt +, c < 0 t 80 Euler Verfhren für Systeme von ODEs (b) y(t) explodiert (blow up) lim y(t) = t t für endliche Zeit t (kritische Zeit) Beispiel: ẏ = y mit y(0) = y 0 > 0 = dy 1 = dt = y y dy = dt = 1 y AW: 0 c y = 1 y = c = 1 < 0 y 0 = y(t) = 1 1 t y0 y(t) = 1 1 y t 0 = t + c = y(t) = 1 t + c t t 81 Euler Verfhren für Systeme von ODEs (II) Asymptotisch periodische Lösung Flls die Zustndsdimension n = ist muss, nsonsten knn y(t) sich symptotisch einer periodischen Lösung y (t) nähern, für die gilt für lle t > 0 und feste Periode T. y (t + T ) = y (t) Beispiel: siehe obiges Lineres Beispiel für Euler (III) Chotisches Verhlten Flls Dimension n > (einschliesslich n = im nichtutonomen Fll) knn die Lösung y(t) der ODE sich chotisch verhlten, d.h. uch nch sehr lnger Zeit lässt sich keine periodische oder sttionäre Struktur erkennen. Beispiel: Lorenz - Attrktor (Übung ) 8

2 Interpoltion mit Polynomen (Whd. 1.Semester) D - 7 Interpoltion mit Polynomen (Whd. 1.Semester) Stz D.7 (Lgrnge - Interpoltion) Sei R = R oder ein nderer Körper. Dnn gilt: (i) Es existiert zu jeder Fmilie von Wertepren (x i, y i) R R für i = 0, 1,..., n mit unterschiedlichen Abzissenwerten x i x j für i j ein Interpoltionspolynom P(x) vom Grd n, so dß P(x i) = y i für i = 0, 1,..., n. (ii) Dieses Polynom ist eindeutig und läßt sich drstellen ls n (x x 0)... (x x i 1)(x x i+1)... (x x n) P(x) = y i (x i x i=0 0)... (x i x i 1)(x i x i+1)... (x i x n) }{{} Pi (x) (iii) Insbesondere folgt us y i = 0 für i = 0,..., n, dss lle Koeffizienten c i in P(x) = c 0 + c 1x + c x +... verschwinden, d.h. es gilt c i = 0 für i = 0,..., n. 83 Interpoltion mit Polynomen (Whd. 1.Semester) Beispiel Lgrngepolynom x i y i (x 1)(x )(x 3) P(x) = 1 (0 1)(0 )(0 3) (x 0)(x )(x 3) + (1 0)(1 )(1 3) (x 0)(x 1)(x 3) + 1 ( 0)( 1)( 3) (x 0)(x 1)(x ) + 0 (3 0)(3 1)(3 ) P(x) = 3 x3 4 x x Interpoltion mit Polynomen (Whd. 1.Semester) Wrnung: Interpoltionspolynome höherer Ordnung können zwischen den vorgegebenen Dtenpunkten sehr strk oszillieren, deshlb wendet mn in der Numerik lieber us Polynomen niederer Ordnung zusmmengesetzte Funktionsmodelle n. = Cubic Splines, Finite Elemente. 6 Lgrnge - Polynom 4 Kubischer Spline PSfrg replcements Gegeben: gemessene Dtenpre (x i, y i), i = 0,..., n. Gesucht: mnipulierbre Funktion P(x) mit P(x i) = y i, i = 0,..., n. Anstz Definiere die interpolierende Funktion P : [x 0, x n] R in jedem Teilintervll [x i 1, x i] ls kubisches Polynom P i, so dss für x i 1 x x i gilt: P(x) = P i(x) = i(x x i 1) 3 + b i(x x i 1) + c i(x x i 1) + d i, wobei die 4n Koeffizienten ( i, b i, c i, d i) für i = 1,..., n zu bestimmen sind. 86

3 Eigenschften kubischer Polynome P i ht 4 freie Prmeter und die Ableitungen P i (x) = 3 i(x x i 1) + b i(x x i 1) + c i P i (x) = 6 i(x x i 1) + b i P i (x) = 6 i P i (x) = 0 Für die Bestimmung der 4n Koeffizienten ( i, b i, c i, d i),i = 1,..., n, des gesuchten kubischen Splines P(x) sind genuso viele Gleichungen nötig. Diese werden us vier verschiedenen Bedingungen, die die interpolierenden Polynome erfüllen müssen, hergeleitet. 87 Interpoltionsbedingung P i(x i) = P i+1(x i) = y i, i = 1,..., n 1 P 1(x 0) = y 0 P n(x n) = y n Mit x i = x i x i 1 folgt us der Interpoltionsbedingung für i = 1,..., n d i = y i 1 = P i(x i 1) i x 3 i + b i x i + c i x i + d i = y i = P i(x i). Ds sind n ml linere Gleichungen in jeweils 4 Unbeknnten. 88 Steigungsbedingung P i (xi) = P i+1 (xi), i = 1,..., n 1 Drus folgen die n 1 weiteren Bedingungen: 3 i x i + b i x i + c i = c i+1, i = 1,..., n 1 Es bleiben noch n + 1 Freiheitsgrde nch Erfüllung der bisher gefundenen 3n 1 lineren Gleichungen. Krümmungsbedingung P i (x) = P i+1 (x), i = 1,..., n Drus folgen n 1 weitere Bedingungen der Form 6 i x i + b i = b i+1, i = 1,..., n. 89 Insgesmt ht mn nun 4n linere Gleichungen in 4n Unbeknnten, die fehlenden Gleichungen werden durch spezielle Forderungen n P 1 und P n im Anfngspunkt x 0 bzw. Endpunkt x n erhlten. Diese beiden Bedingungen unterscheiden uch verschiedene Typen kubischer Splines: Ntürlicher kubischer Spline P (x 0) = P 1 (x 0) = 0 = P n (x n) = P (x n) Im Flle ntürlicher Splines sind die letzten fehlenden Gleichungen lso b 0 = 0 und 3 n x n + b n = 0 Periodischer kubischer Spline P 1(x 0) = P n(x n), P 1 (x0) = P n (xn), P 1 (x0) = P n (xn). 90

4 Berechnung der Koeffizienten bei ntürlichen Splines Gesmtbilnz Mn erhält ein sehr strukturiertes lineres Gleichungssystem von 4n Gleichungen in ebenso vielen Unbeknnten. Reduktion uf ein lineres System in (n 1) Vriblen z i = P i+1 (xi) = bi+1 für i = 1,..., n 1 z 0 = P 1 (x0) = 0 z n = P n (x n) = 0 Lemm D.8 Aus (y i 1, y i, z i 1, z i) ergeben sich die Koeffizienten ( i, b i, c i, d i) von P i ls d i = y i 1 b i = z i 1/ i = zi zi 1 6 xi c i = yi yi 1 xi 1 6 (zi + zi 1) xi 91 Struktur des reduzierten Systems bei ntürlichen Splines Mit sowie α i = ( x i + x i+1) und β i = x i [ yi+1 y i r i = 6 x i+1 ] yi yi 1 x i ist zur Bestimmung der z i, i = 1,..., n 1, ds folgende digonldominnte symmetrische tridigonle linere Gleichungssystem zu lösen: α 1 β β α β 3 β 3 α 3 β β n α n β n 1 β n 1 α n 1 z 1 z z 3 =. z n z n 1 r 1 r r 3. r n r n 1 9 D - 8 Gründe für numerische Integrtion Funktionen ohne geschlossen drstellbre Stmmfunktion Stmmfunktion nur durch sehr komplizierte Formel drstellbr Beispiele D.9 (Funktionen ohne geschlossenes Integrl) e x dx Guß sche Glockenkurve 1 k sin t dt Elliptisches Integrl 93 Interpoltorische Qudrturformeln Interpoltorische Qudrturformeln Um eine Näherung des bestimmten Integrls f (x)dx zu berechnen, wird ds Integrtionsintervll [, b] in n I gleichgrosse Teilintervlle [x 0, x 1],..., [x n 1, x n] der Länge h n = b n unterteilt. Dbei gilt x i = + i h n und insbesondere x 0 = und x n = b. Mit f i = f (x i) wird der Funktionswert n der i-ten Stützstelle bezeichnet. Riemnn sche Summen n n f (x) f (x i)h n = f ih n Fehlerterm Riemnn sche Summen b n f (x) f ih n b h n mx x [,b] f (x) 94

5 Interpoltorische Qudrturformeln Summierte Trpezregel [ ] n 1 1 T n = h n (f0 + fn) + f i Approximtionsfehler summierte Trpezregel b f (x)dx T n b 1 hn mx f (x) x [,b] 95 Interpoltorische Qudrturformeln Kepler sche Fssregel Anstz: Qudrtischer Spline g(x) durch die Punkte (, f ()),( +b, f ( +b )), und (b, f (b)) g(x) = cx + dx + e Durch geeignete Umformung des Anstzes erhält mn eine Berechnungsvorschrift ohne die Koeffizienten c, d und e des Splines g(x): S 0 = b [ f () + 4f ( +b 6 ) + f (b)] 96 Interpoltorische Qudrturformeln Simpson sche Regel (Summierte Kepler sche Fssregel) Anwendung der Fssregel uf die Teilintervlle der Länge h n = b n, n gerde, ergibt die Simpson sche Regel: n S n = hn 1 n/ f 0 + f n + f i + 4 f i 1 3 Approximtionsfehler summierte Simpson sche Regel b f (x)dx S n b 180 h4 n mx f (4) (x) x [,b] 97 Für hinreichend oft differenzierbre Integrnden f (x) beschreibt die Euler-Mclurinsche Summenformel den Fehler der summierten Trpezregel T n ls Polynom in gerden Potenzen der Schrittweite h n: N T n = f (x)dx + α khn k + O(hN+ n ) k=1 Die dbei uftretenden Koeffizienten α k sind von h n unbhängige Konstnten. Dmit können Fehlerterme von Qudrturformeln durch sog. Extrpoltion zur Grenze/zum Limit eliminiert werden, in der Werte einer Qudrturformel bei unterschiedlichen Schrittweiten h n, n = n 1, n,..., kombiniert werden. Bei geschickter Whl der Extrpoltion erreicht mn eine Aufhebung von Fehlertermen kleiner Ordnung, so ds der extrpolierte Wert eine deutlich genuere Approximtion des gesuchten Integrlwertes ist. 98

6 Romberg Verfhren Zuerst wird für n = 1 die Trpezregel uf dem gesmten Integrtionsintervll [, b] usgewertet. Der erhltene Wert T 1 (d.h. Schrittweite h 1 = b ) wird ls erster Eintrg R0 0 in die erste Zeile der Tbelle eingetrgen. Mit hlbierter Schrittweite h = h 1/ wird T = R1 0 berechnet und in die erste Splte der zweiten Zeile direkt unter R0 0 notiert: k n = k R 0 k 0 1 R R 0 1 R 1 1 Drus berechnet mn den extrpolierten Wert R 1 1 mittels R 1 1 = 4R0 1 R0 0 3 = S, ws ber genu Simpsons Regel für n = ergibt. 99 Romberg Verfhren (Fortsetzung) Dieses Vorgehen knn in einer neuen Zeile der Tbelle fortgeführt werden. Die k-te Zeile erhält mn dbei, indem zunächst die Trpezregel mit erneut hlbierter Schrittweite h n = h k (d.h. n = k ) usgeführt wird und T k ls Rk 0 in die erste Splte eingetrgen wird. In den druffolgenden k Extrpoltionsschritten werden jeweils die Werte R j k der k-ten Zeile für j = 1,..., k us dem links stehenden Wert R j 1 k und dem links drüber stehenden Wert R j 1 k 1 berechnet: R j k = 4j R j 1 k R j 1 k 1 4 j = R j 1 k + 1 ( 1 4 j 1 R j 1 k Insgesmt ergibt sich dmit ds folgende Tbleu: ) R j 1 k 1 j = 1,..., k 100 Romberg Verfhren (Fortsetzung) k n = k Rk 0 = Tn R1 k Rk R0 0 = T1 1 R1 0 = T R1 1 4 R 0 = T4 R1 R 3 8 R3 0 = T8 R1 3 R3 R R4 0 = T16 R1 4 R4 R4 3 R Als Abbruchbedingung eignet sich die Differenz zwischen den beiden zuletzt berechneten Digonlelementen des Schems. Flls mit einer vorgegebenen Grösse δ die Bedingung Rk k R k 1 k 1 δ erfüllt ist, dnn wird ds Verfhren beendet und Rk k ls Näherung des Integrls f (x)dx betrchtet. 101 Approximtionsfehler Romberg-Verfhren Für f C k+ ([, b]) gilt: Rk k f (x)dx (b )h 1h... h k αk+ mx f (k+) x [,b] wobei α k+ wiederum eine Konstnte ist. Bemerkung Die uftretenden Konstnten α i ergeben sich ls α i = Bi i!, wobei die B i die so gennnten Bernoulli - Zhlen sind. Diese berechnen sich rekursiv us [ ] i 1 B i = ( 1) i 1 i 1 (i + 1) + (i)! B k. (i k + 1)!(k)! k=1 10

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