Statistik Einführung // Stichprobenverteilung 6 p.2/26

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1 Statistik Einführung Kapitel 6 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // 6 p.0/26 Lernziele 1. Beschreiben Eigenschaften von Schätzern. 2. Beschreiben en. 3. Beschreiben den Zusammenhang zwischen Grundgesamtheit und. 4. Formulieren den zentralen Grenzwertsatz. Statistik Einführung // 6 p.1/26 Statistische Methoden Statistische Methoden Beschreibende Statistik Schließende Statistik Statistik Einführung // 6 p.2/26

2 Umfasst Zweck Schätzen Hypothesen testen mittels einer Stichprobe auf eine Grundgesamtheit schließen. Beispiel: 100 Telefoninterviews nach einer TV-Diskussion: Wer hat besser abgeschnitten, Kandidat A oder Kandidat B? Angenommen Kandidat A wird von 60% der Befragten bevorzugt. Gilt dies auch für die 2 Mio. Seher? Statistik Einführung // 6 p.3/26 Statistisches Schließen Schätzwerte & Tests Grundgesamtheit (µ) Stichprobenstatistik ( X) Stichprobe Statistik Einführung // 6 p.4/26 Schätzer Zufallsvariable werden benutzt um Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen. Stichprobenmittelwert, Stichprobenanteil, Stichprobenvarianz sind Zufallsvariable. Beispiel: Stichprobenmittelwert X ist Schätzer für den Erwartungswert µ der Grundgesamtheit. Ist X 3, so ist 3 ein (Punkt-)Schätzer für µ. Ist X 4, so ist 4 ein Schätzer für µ. Die theoretische Basis für die Eigenschaften unserer Schätzer bildet die zugehörige. Statistik Einführung // 6 p.5/26

3 Die ist eine theoretische Verteilung. Die Stichprobenstatistik ist eine Zufallsvariable. Ihr Wert hängt von der jeweils gezogenen Stichprobe ab. Z.B.: Stichprobenmittelwert, Stichprobenanteilswert,... Die erhält man durch Ziehen aller möglichen Stichproben fixer Größe. Für jede mögliche Stichprobe berechnet man z.b. das Stichprobenmittel. Die ist die Liste, f für z.b. das Stichprobenmittel. Statistik Einführung // 6 p.6/26 Bestimmung der Beispiel: Urne mit 4 Kugeln mit Gewinnzahlen 1 bis 4. Ziehen mit Zurücklegen. Zufallsvariable X, 1-maliges Ziehen, ist diskret gleich verteilt. Werte für X: x 1, 2, 3, 4 P X 1... P X Statistik Einführung // 6 p.7/26 Bestimmung der Parameter der Grundgesamtheit: µ x i 1 i σ i x i µ Statistik Einführung // 6 p.8/26

4 16 Stichprobenmuster 16 Stichprobenmittelwerte 2. Beobachtung 2. Beobachtung Beobachtung 1 1/1 1/2 1/3 1/4 2 2/1 2/2 2/3 2/4 3 3/1 3/2 3/3 3/4 4 4/1 4/2 4/3 4/4 1. Beobachtung Ziehen mit Zurücklegen Statistik Einführung // 6 p.9/26 Verteilung aller Stichprobenmittelwerte 16 Stichprobenmittelwerte 1. Beobachtung 2. Beobachtung Statistik Einführung // 6 p.10/26 Parameter µ i 1 i σ 2 i 1 i µ Statistik Einführung // 6 p.11/26

5 Grundgesamtheit Stichprobe µ 2.5 µ 2.5 σ 1.12 σ 0.79 Statistik Einführung // 6 p.12/26 Standardfehler des Mittelwertes Ist die Standardabweichung aller möglichen Stichprobenmittelwerte X. Misst die Streuung unter allen möglichen (verschiedenen) Stichprobenmittelwerten. Kleiner als Standardabweichung der Grundgesamtheit (außer n 1). Formel (für Ziehen mit Zurücklegen): σ σ n Statistik Einführung // 6 p.13/26 Eigenschaften der Statistik Einführung // 6 p.14/26

6 Unverzerrtheit Der Mittelwert der ist gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit (Erwartungswert). Effizienz Der Mittelwert der ist näher am Mittelwert der Grundgesamtheit als irgendein anderer unverzerrter Schätzer. Konsistenz Bei steigender Stichprobengröße wird die Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit kleiner und geht mit n gegen unendlich gegen ull. Statistik Einführung // 6 p.15/26 Unverzerrtheit unverzerrt verzerrt µ µ µ x x Vergleich zweier Schätzer für µ: und x. Statistik Einführung // 6 p.16/26 Effizienz (Vergleich bei festem n) des Mittels des Medians µ x Statistik Einführung // 6 p.17/26

7 f größere Stichprobe kleinere Stichprobe µ µ Statistik Einführung // 6 p.18/26 ormalverteilte Grundgesamtheit Mittelwert: µ µ Grundgesamtheit σ 10 Standardabweichung: σ σ n µ 50 Stichprobe x (Ziehen mit Zurücklegen, bzw. sehr große Grundgesamtheit) n 16, σ 2.5 n 4, σ 5 µ 50 Statistik Einführung // 6 p.19/26 Standardisieren der Z X µ σ X µ σ n f f z Standardisierte σ σ 1 µ µ 0 z Statistik Einführung // 6 p.20/26

8 Ferngespräche, die von einer Telefongesellschaft abgewickelt werden, seien normalverteilt mit µ 8 min und σ 2 min. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Gesprächsdauer von 25 zufällig ausgewählten Telefonaten zwischen 7.8 und 8.2 Minuten liegt? Statistik Einführung // 6 p.21/26 // Lösung z 1 1 µ σ n z 2 2 µ σ n Standardisierte σ 0.4 σ µ µ z Statistik Einführung // 6 p.22/26 icht-ormalverteilte Grundgesamtheit Mittelwert: Grundgesamtheit µ µ σ 10 Standardabweichung: σ σ n µ 50 Stichprobe x (Ziehen mit Zurücklegen, bzw. sehr große Grundgesamtheit) n 30, σ 1.8 n 4, σ 5 µ 50 Statistik Einführung // 6 p.23/26

9 Zentraler Grenzwertsatz Statistik Einführung // 6 p.24/26 Zentraler Grenzwertsatz Bei hinreichend großer Stichprobengröße (n 30) wird annäherend normalverteilt mit σ σ n. Statistik Einführung // 6 p.25/26 Zusammenfassung 1. Beschrieben Eigenschaften von Schätzern. 2. Beschrieben en. 3. Beschrieben Zusammenhang zwischen Grundgesamtheit und. 4. Formulierten zentralen Grenzwertsatz. Statistik Einführung // 6 p.26/26