Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 2

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 2 Hausaufgaben Aufgabe 2.1 Sei [a, b] R ein Intervall und ( ) n N [a, b] eine Folge mit n = c. Zeigen Sie: Es gilt c [a, b]. Gilt eine solche Behauptung auch, wenn wir das offene Intervall (a; b) statt [a; b] betrachten? Lösung zu Aufgabe 2.1 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung vom Aufgabe 2.2 Berechnen Sie die folgenden Funktionengrenzwerte oder zeigen Sie, dass die Grenzwerte nicht existieren. x a) 2x 2 +1 x 4 +2x 3 2x 1 [ 1] 8 ( ) b) tan 2 x 1 cos x π/2 x [ 1] c) x 2x 4x 2 + 2x 1 [ 1 2 ] 1 d) x+1 [ 1] x 0 x 2 Lösung zu Aufgabe 2.2 a) x 3 2x x 4 + 2x 3 2x 1 = = (x 2 x 1) (x 3 + 3x 2 + 3x + 1) = 1 8 (x 1)(x 2 x 1) (x 1)(x 3 + 3x 2 + 3x + 1) b) ( tan 2 x 1 ) x π/2 cos 2 x = x π/2 sin 2 x (sin 2 x + cos 2 x) cos 2 x sin 2 x 1 = x π/2 cos 2 x = x π/2 cos 2 x) cos 2 x = 1 1

2 c) 2x 4x 2 (4x 2 + 2x 1) 4x 2 + 2x 1 = x x 2x + 4x 2 + 2x 1 = x x = x = = 1 2 x x 2 2x + 1 2x + 4x 2 + 2x 1 d) 1 x + 1 x 0 x 1 (x + 1) = x 0 x (1 + x + 1) = 1 x x + 1 = 1 2 Aufgabe 2.3 Zeigen Sie, dass jedes Polynom über ganz R stetig ist. Lösung zu Aufgabe 2.3 Aus der Vorlesung wissen wir, dass konstante Funktionen und die Funktion x x stetig sind. Da Produkte stetiger Funktionen wieder stetig sind, folgern wir, dass auch Funktionen der Form x a k x k für a k R stetig auf ganz R sind. Ein Polynom der Form a n + +a 1 x+a 0 ist die Summe von solchen Funktionen, und damit ebenfalls nach Vorlesung wieder auf ganz R stetig. Aufgabe 2.4 Untersuchen Sie, wo die folgenden Funktionen definiert sind, wo sie stetig sind und ob sie sich in die Definitionslücken stetig fortsetzen lassen. a) x 2 x 2 +3x b) 2+x 3x 3 3x x Lösung zu Aufgabe 2.4 a) f(x) := x 2 x 2 +3x Wir bestimmen zunächst die Nullstellen sämtlicher Nenner: x 2 + 3x 10 = 0 x { 5, 2} x + 3 = 0 x = = 0 4 = 0 x = 1 2

3 Der Definitionsbereich von f ist alo D f := R \ { 5, 3, 1, 2}. Nun vereinfachen wir den Term f(x) soweit wie möglich, um die Grenzwerte schneller ablesen zu können: f(x) = x 2 x 2 +3x (x 2)(x + 3) 0 (x 2)(x + 5)(x 1) = x + 3 (x + 5)(x 1) Damit gilt an den Definitionslücken: f(x) existiert nicht x 5 x 3 f(x) = 0 f(x) existiert nicht x 2 f(x) = 5 7 Damit sind die Definitionslücken bei 3 und bei 2 hebbar, die Funktion lässt sich dort stetig fortsetzen. An den beiden anderen Definitionslücken gibt es dagegen keine stetige Fortsetzung. b) g(x) := 2+x 3x 3 3x x Zunächst müssen die Terme unter den Wurzeln immer nichtnegativ sein. Damit folgt: 2 + x 0 x 2 3x 3 0 x 1 3x 2 0 x x 0 x 11 5 Außerdem muss der Nenner des Bruchs ungleich 0 sein: 3x x = 0 8x = 13 x = 13 8 Zusammen folgt: Der Definitionsbereich von g ist D g = [1; 11] \ { } Für eine stetige Fortsetzung kommt nur x = 13 in Frage, also berechnen wir hier noch den Grenzwert. 8 Wir stellen fest, dass der Zähler des Bruchs für x = 13 einen positiven, endlichen Wert 8 annimmt, der Nenner geht dagegen gegen 0. Damit ist klar, dass der Grenzwert nicht existiert, g ist also in keine der Definitionslücken stetig fortsetzbar. Aufgabe 2.5 Für jedes n N sei die Funktion g n : R R definiert durch g n (x) := a) Skizzieren Sie die Funktion für n {1, 2, 3}. nx 1 + nx. b) Zeigen Sie, dass g n für jedes n N auf ganz R stetig ist. c) Zeigen Sie, dass der Grenzwert n g n (x) für jedes x R existiert. 3

4 d) Die Funktion g : R R sei definiert durch g(x) := n g n (x). Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Funktion g stetig ist. Lösung zu Aufgabe 2.5 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung vom Aufgabe 2.6 Zeigen Sie, dass für alle x ( π; π ) \ {0} gilt, dass 2 2 Leiten Sie daraus ab, dass cos x sin x x 1 cos x. sin(x) x 0 x = 1. Lösung zu Aufgabe 2.6 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung vom Aufgaben für die Tutorübung Aufgabe 2.7 Berechnen Sie die folgenden Funktionengrenzwerte oder zeigen Sie, dass die Grenzwerte nicht existieren. a) x 5 x 2 x 4 +3x 2 4 b) x 0 sin x cos x x 2 +3x x cos x c) x 4x 16x(x 1) Lösung zu Aufgabe 2.7 a) x 5 x 2 x 4 + 3x 2 4 = (x 1)(x 4 + x 3 + x 2 ) (x 1)(x 3 + x 2 + 4x + 4) (x 4 + x 3 + x 2 ) = (x 3 + x 2 + 4x + 4) = = 3 10 b) x 0 sin x cos x x 2 + 3x x cos x = sin x x 0 x x 0 cos x x + 3 cos x = = 1 2 4

5 c) Achtung: Das Zerlegen in ein Produkt von zwei Grenzwerten klappt nur, wenn beide Einzelgrenzwerte existieren. ( Existieren bedeutet auch, dass keiner der beiden Grenzwerte ± sein darf!) ( 4x 4 x2 4x x ) ( 4x + 4 x 2 x ) 16x(x 1) = x x 4x + 4 x 2 x = x 16x 2 16(x 2 x) 4x + 4 x 2 x = x x = 4 2 = 2 = x 4x x + x 2 x Aufgabe 2.8 Die Funktion f : Q R sei definiert durch Zeigen Sie, dass f auf ganz Q stetig ist. 0, für x < π f(x) := 1, für x > π. Lösung zu Aufgabe 2.8 Wir benutzen zur Illustration die ε-δ-definition für Stetigkeit. Sei also x 0 Q und ε > 0 gegeben. Dann müssen wir ein δ > 0 finden, so dass f(x) f(x 0 ) < ε für alle x, die x x 0 < δ erfüllen. Dazu stellen wir erst einmal fest, dass die Funktion f fast überall konstant ist nur an der Stelle x = π macht sie einen Sprung von 0 auf 1. Da wir nur zeigen sollen, dass f auf Q stetig ist, und da π / Q ist, muss x 0 π gelten, also ist f in einer ausreichend kleinen Umgebung von x 0 sicher konstant. Wir müssen also δ nur so klein machen, dass π nicht mehr in der für uns relevanten Umgebung von x 0 enthalten ist (wir bleiben also komplett auf einer Seite der Sprungstelle). Dafür setzen wir beispielsweise δ := x 0 π. Dann ist x 2 0 π > δ, also ist f konstant für alle x {x Q : x x o < δ}, und damit ist f(x) f(x 0 ) = 0 < ε für all diese x. Aufgabe 2.9 Sei f : (0; ) R definiert durch x, für f(x) := 1 /x N, 0, für 1 /x / N. Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit. Lösung zu Aufgabe 2.9 Zunächst mal stellen wir fest, dass f für jedes x 0 > 1 stetig ist: Für jedes solche x 0 gibt es eine Umgebung von x 0, in der nur Zahlen > 1 enthalten sind, auf dieser ganzen Umgebung ist 5

6 die Funktion also konstant 0 (weil 1 keine natürliche Zahl sein kann) und damit auch stetig x (das kann man ausführlich wie in der vorigen Aufgabe begründen). Wir vermuten, dass f für alle x M := { 1 n : n N} nicht stetig ist, für alle x (0; 1) \ M aber stetig. Für den Beweis verwenden wir zur Abwechslung das Folgenkriterium für Stetigkeit: Eine Funktion f ist genau dann stetig an x 0, falls für jede gegen x 0 konvergente Folge ( ) n N gilt: n f( ) = f(x 0 ). Wir betrachten zunächst ein x 0 (0; 1] mit 1 x 0 N. Sei ( ) n N eine gegen x 0 konvergente Folge mit < x 0 für alle n N (wir untersuchen zunächst den linksseitigen Grenzwert). Dann 1 gilt natürlich n = 1 x 0 und 1 > 1 x 0. Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein N N, so dass 1 x 0 < 1 < 1 x für alle n N gilt. Damit liegt aber 1 für all diese n im Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen 1 x 0 und 1 x 0 + 1, also ist 1 / N für alle n N. Damit ist f( ) = 0 für all diese n und somit n f ( ) = 0 x 0 = f(x 0 ). Damit ist klar: Selbst wenn der Grenzwert der Folge f( ) existiert, kann die Folge nicht mehr gegen f(x 0 ) konvergieren (man könnte den Fall natürlich auch analog zu diesem noch untersuchen). Also ist f in x 0 unstetig. Sei jetzt x 0 (0; 1] so, dass 1 x 0 / N. Wir betrachten wieder eine beliebige Folge ( ) n N, die gegen x 0 konvergiert. Damit konvergiert auch ( 1 1 ) n N und es gilt n = 1 1 x 0. Weil x 0 nicht in N ist, gibt es ein ε > 0, so dass im Intervall I := ( 1 x 0 ε; 1 x 0 + ε) keine natürliche Zahl liegt. Wegen der Konvergenz von ( 1 ) n N gibt es andererseits ein N N, so dass 1 I für alle n N gilt. Für alle diese n gilt damit f( ) = 0, also muss n f( ) = 0 sein. Das bedeutet aber, dass f( ) = f(x 0 ) ist, und da die Folge ( ) n N zu Beginn beliebig gewählt war, zeigt das die Stetigkeit von f in x 0. 6

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