Theoretische Physik II: Analytische Mechanik und Spezielle Relativitätstheorie

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1 Theoretsche Physk II: Analytsche Mechank und Spezelle Relatvtätstheore Drk H. Rschke Sommersemester 2010

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3 Inhaltsverzechns 1 Lagrange-Mechank Zwangskräfte, Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten Zwangskräfte Zwangsbedngungen Klassfzerung von Zwangsbedngungen Generalserte Koordnaten Das d Alembertsche Prnzp Das Prnzp der vrtuellen Arbet De Lagrange-Glechungen zweter Art

4 Inhaltsverzechns

5 1 Lagrange-Mechank Zwangskräfte, Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten Im ersten Tel der Vorlesung (Mechank I: Klasssche Mechank) hatten wr gesehen, dass en N-Telchensystem.a. durch 3N Dfferentalglechungen zweter Ordnung beschreben wrd, m r = F (ex) + F j, = 1,...,N. j Oft st es aber ncht nötg, alle 3N Bewegungsglechungen zu lösen, da de free Bewegung der N Telchen Enschränkungen unterlegt. Man unterschedet zwschen Zwangskräften und Zwangsbedngungen. Dese wollen wr m folgenden näher erläutern Zwangskräfte En Bespel für ene Zwangskraft st bespelswese de Fadenspannung bem Fadenpendel. Nehmen wr z.b. an, das Pendel schwnge n der (x, y) Ebene, vgl. Abb Im Prnzp gäbe es damt de beden Frehetsgrade x, y, um de Bewegung des Pendels zu beschreben. Da aber de Fadenlänge l be der Pendelbewegung stets konstant blebt, wrkt ene Zwangskraft auf de Masse m, de Fadenspannung F F, de dafür sorgt, dass de Masse sch ncht fre n der (x, y) Ebene bewegen kann, sondern ausschleßlch auf ener Kresbahn mt Radus l. Zur Beschrebung der Bewegung genügt dann en Frehetsgrad, z.b. der Wnkel ϕ der Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage. 1 ϕ l 2 F F m e ϕ F ϕ e ϕ r F r Abbldung 1.1: Das Fadenpendel. F s 1

6 1 Lagrange-Mechank En weteres Bespel für ene Zwangskraft st de Auflagekraft, de en sch auf ener Tschplatte bewegendes Telchen erfährt. Dese kompensert de Schwerkraft, so dass de Bewegung ncht m dredmensonalen Raum, sondern ledglch n ener zwedmensonalen Ebene stattfndet. Anstelle der dre Koordnaten x, y, z für de free Bewegung des Telchens n dre Raumdmensonen genügen zwe, z.b. x, y (de Tschebene), falls de z Achse senkrecht zur Tschoberfläche zegt. Zwangskräfte snd oft ncht n explzter Form bekannt (s. z.b. de Fadenspannung bem Fadenpendel), sondern machen sch ledglch durch hre Auswrkungen bemerkbar. Ene drekte Lösung der Newtonschen Bewegungsglechungen (unter Enbezehung der Zwangskräfte) st daher m Prnzp gar ncht möglch. Das erste Zel der Analytschen Mechank st daher, de Bewegungsglechung so umzuformuleren, dass de Zwangskräfte ncht mehr auftreten Zwangsbedngungen Zwangsbedngungen snd geometrsche Bndungen, de n der Regel durch Zwangskräfte bewrkt werden und damt de free Bewegung von Massenpunkten enschränken. Das Fadenpendel kann weder als Bespel herangezogen werden: anstelle de Fadenspannung als Zwangskraft enzuführen, kann man auch de konstante Fadenlänge, de de Masse m auf ene Kresbahn zwngt, als geometrsche Bndung betrachten. En weteres Bespel für en System mt geometrschen Bndungen st der starre Körper. Dort gbt es de Abstandsbezehungen r r j r j = r j = const., j {1,...,N}, (1.1) zwschen den N Massenpunkten m des starren Körpers. We wr m ersten Tel der Vorlesung gesehen hatten, sorgen dese dafür, dass der starre Körper ncht 3N Frehetsgrade we be der freen Bewegung von N Massenpunkten m dredmensonalen Raum, sondern ledglch sechs Frehetsgrade hat (dre der Translaton und dre der Rotaton). Offenbar sorgen Zwangsbedngungen dafür, dass ncht alle Telchenkoordnaten unabhäng vonenander snd. Das zwete Zel der Analytschen Mechank st es, de abhänggen Frehetsgrade zu elmneren, d.h. das Problem so umzuformuleren, dass ledglch de unabhänggen Frehetsgrade auftreten. We wr sehen werden, gescheht des durch de Enführung sog. generalserter Koordnaten. Das drtte (und letzte) Zel der Analytschen Mechank st es sodann, Bewegungsglechungen für de generalserten Koordnaten aufzustellen und zu lösen Klassfzerung von Zwangsbedngungen Holonome Zwangsbedngungen De sog. holonomen Zwangsbedngungen (grech. ÐÓ=ganz, Ò ÑÓ=Gesetz) verknüpfen de Telchenkoordnaten n Gestalt von p Glechungen der Form Wr unterscheden ferner G ν ( r 1,..., r N, t) = 0, ν = 1,...,p. (1.2) 2

7 1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten () holonom-skleronome Zwangsbedngungen (grech. Ú Ð Ö = hart, fest). Dese hängen ncht explzt von der Zet ab, G ν t = 0 ν = 1,...,p. Bespel: de Zwangsbedngungen (1.1) für den starren Körper, de sch auch n der Form G j = r r j r j = 0, r j = const.,, j {1,..., N}, schreben lassen. () holonom-rheonome Zwangsbedngungen (grech. Û = ch fleße). Be deser hängt wengstens ene der p Bedngungen explzt von der Zet ab, ν {1,..., p} mt G ν t 0. Bespel: Masse auf ener schefen Ebene mt zetlch veränderlcher Negung, s. Abb De Zwangsbedngung lautet G(x, z, t) = z x tanϕ(t) = 0. z m ϕ(t) x Abbldung 1.2: Schefe Ebene mt zetlch veränderlcher Negung. Holonome Zwangsbedngungen (1.2) snd dazu geegnet, abhängge Frehetsgrade zu elmneren, z.b. ndem man se nach desen Frehetsgraden auflöst und de Lösung n den Bewegungsglechungen für de verblebenden, unabhänggen Frehetsgraden benutzt. Im Bespel mt der zetlch veränderlchen schefen Ebene kann man z.b. z durch x ausdrücken, z = x tanϕ(t). Ncht-holonome Zwangsbedngungen Ncht-holonome Zwangsbedngungen snd all de, de sch ncht n der Form (1.2) schreben lassen. In desem Fall st das Elmneren von abhänggen Koordnaten ncht möglch. Wr unterscheden n deser Klasse von Zwangbedngungen 3

8 1 Lagrange-Mechank () Unglechungen. Bespel: Telchen, das auf ener Kugel vom Radus R abrollt und sch dann von der Oberfläche löst, vgl. Abb De Zwangsbedngung lautet x2 + y 2 + z 2 R 0, wobe das Glechhetszechen für de Bewegung an der Kugeloberfläche glt und das Unglechhetszechen, sobald es sch von der Oberfläche löst. z y x Abbldung 1.3: Telchen auf ener Kugeloberfläche. () Zwangsbedngungen n dfferenteller, ncht-ntegrerbarer Form. Wr numereren de Telchenkoordnaten fortlaufend durch, ( r 1,..., r N ) = (x 1, x 2, x 3,...,x 3N 2, x 3N 1, x 3N ). Dann snd dese Zwangsbedngungen vom Typ 0 = 3 m=1 g νm dx m + g νt dt, ν = 1,...,p, (1.3) wobe de rechte Sete ken totales Dfferental darstellt, d.h. G ν (x 1,..., x 3N, t) mt g νm G ν, g νt = G ν x m t Ansonsten könnten wr de Zwangsbedngung ntegreren, 0 = 3 m=1 G ν (x 1,...,x 3N, t) = γ ν = const., G ν x m dx m + G ν t dt dg ν, G ν (x 1,...,x 3N, t) G ν (x 1,...,x 3N, t) γ ν = 0. Des st aber gerade ene holonome Zwangsbedngung der Form (1.2) für de Funkton G ν(x 1,...,x 3N, t).. 4

9 1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten z ϕ x R R y R ϑ y x v Abbldung 1.4: Rollendes Rad. Bespel: Rollen enes Rades auf ener rauhen Fläche, vgl. Abb De Radnabe stehe stets parallel zur (x, y) Ebene. De rauhe Fläche verhndert en Gleten des Rades. De Bewegung st vollständg beschreben durch de Kenntns des momentanen Auflagepunktes (x R, y R ) des Rades und der Wnkel ϕ, ϑ. Aus der Zwangsbedngung Rollen ergbt sch für den Betrag der Geschwndgket v v = R ϕ. De Geschwndgket zegt senkrecht zur Radachse, d.h. ẋ v x = v cosϑ, ẏ v y = v sn ϑ. Kombnert man bede Bedngungen, so erhält man bzw. nach Multplkaton mt dt, ẋ R ϕ cos ϑ = 0, ẏ R ϕ sn ϑ = 0, dx R cosϑdϕ = 0, dy R sn ϑ dϕ = 0. Dese Bedngungen snd ncht ntegrabel, da man ϑ(t) kennen müsste. Dese Funkton st aber erst nach vollständger Lösung des Problems bekannt. Ncht-holonome Zwangsbedngungen erlauben ncht, de abhänggen Koordnaten zu elmneren. Es exsteren also m egentlchen Snne kene generalserten Koordnaten. 5

10 1 Lagrange-Mechank Generalserte Koordnaten Wr betrachten en System von N Telchen mt 3N Frehetsgraden (z.b. den kartesschen Komponenten der N Ortsvektoren r ). Das System unterlege ferner p holonomen Zwangsbedngungen. Prnzpell lassen sch mt den p Zwangsbedngungen p Koordnaten elmneren. Es exsteren also S = 3N p unabhängge Frehetsgrade. Man führt nun S generalserte Koordnaten en. Dese erfüllen folgende Bedngungen: q 1, q 2,..., q S (a) Se legen den Zustand des Systems endeutg fest, d.h. (b) Se snd alle vonenander unabhängg, d.h. r = r (q 1,..., q S, t) = 1,...,N. (1.4) G(q 1,...,q S, t) = 0. Mt anderen Worten, es gbt kene wetere holonome Zwangsbedngung, de de generalserten Koordnaten mtenander verknüpft, alle p exsterenden Zwangsbedngungen snd berets ausgenutzt worden, um de generalserten Koordnaten zu defneren. Bemerkungen: () Der Konfguratonsraum st en S dmensonaler Raum, der durch de generalserten Koordnaten aufgespannt wrd. () Der Konfguratonsvektor q = (q 1,...,q S ) st en Punkt m Konfguratonsraum und entsprcht enem möglchen Zustand des Systems. () De zur generalserten Koordnate q gehörende generalserte Geschwndgket st q, = 1,...,S. Alle generalserten Geschwndgketen lassen sch zum S dmensonalen Vektor q ( q 1,..., q S ), der zum Konfguratonsvektor gehörenden Geschwndgket m Konfguratonsraum, zusammenfassen. (v) Be bekannten Anfangsbedngungen q(t 0 ) = (q 1 (t 0 ),...,q S (t 0 )) q 0, q(t 0 ) = ( q 1 (t 0 ),..., q S (t 0 )) q 0, st der Konfguratonsvektor q(t), d.h. der Zustand des Systems m Konfguratonsraum, für belebge Zeten t > t 0 aus noch zu bestmmenden Bewegungsglechungen berechenbar. (v) De generalserten Koordnaten snd.a. ncht endeutg festgelegt, d.h. man bestzt ene gewsse Wahlfrehet be hrer Defnton. Ihre Anzahl S st aber endeutg festgelegt. (v) De generalserten Koordnaten snd ncht unbedngt Größen mt der Dmenson Länge. 6

11 1.1 Zwangskräfte, Zwangsbedngungen und generalserte Koordnaten Bespele: (a) Telchen, das sch auf der Oberfläche ener Kugel mt Radus R bewegt. Im allgemenen hat deses Telchen dre Frehetsgrade, z.b. de kartesschen Komponenten senes Ortsvektors r = (x, y, z). Es gbt ene holonom-skleronome Zwangsbedngung, r R = x 2 + y 2 + z 2 R = 0, (1.5) de scherstellt, dass der Ortsvektor zu allen Zeten auf der Kugeloberfläche legt. Damt gbt es S = 3 1 = 2 unabhängge Frehetsgrade. Als generalserte Koordnaten beten sch Polar- und Azmutwnkel der Kugelkoordnaten an, q 1 = ϑ, q 2 = ϕ. Daraus erhalten wr unter Berückschtgung der Defnton der Kugelkoordnaten (s. Tel 1 der Vorlesung) und der Zwangsbedngung (1.5) folgende Transformatonsformeln zwschen kartesschen Koordnaten und generalserten Koordnaten: x = r cosϕ sn ϑ = R sn q 1 cosq 2 x(q 1, q 2 ), y = r sn ϕ sn ϑ = R sn q 1 sn q 2 y(q 1, q 2 ), z = r cosϑ = R cos q 1 z(q 1 ). (b) Ebenes Doppelpendel, vgl. Abb ϑ 1 y 2 l 1 y 1 y x 1 m 1 l 2 ϑ 2 x 2 m 2 x Abbldung 1.5: Doppelpendel. Deses System hat sechs Frehetsgrade, de sechs kartesschen Komponenten der Ortsvektoren r 1, r 2 der beden Massen m 1, m 2. Es exsteren ver holonom-skleronome Zwangsbedngungen, z 1 = 0, z 2 = 0, x y 2 1 l 2 1 = 0, (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 l 2 2 = 0. 7

12 1 Lagrange-Mechank Es exsteren somt S = 6 4 = 2 unabhängge Frehetsgrade, z.b. de beden Wnkel ϑ 1 und ϑ 2, vgl. Abb De generalserte Koordnaten snd also De Transformatonsformeln lauten q 1 ϑ 1, q 2 ϑ 2. x 1 = l 1 cosq 1 x 1 (q 1 ), x 2 = l 1 cosq 1 + l 2 cosq 2 x 2 (q 1, q 2 ), y 1 = l 1 sn q 1 y 1 (q 1 ), y 2 = l 1 sn q 1 l 2 sn q 2 y 2 (q 1, q 2 ), z 1 = 0, z 2 = Das d Alembertsche Prnzp Wr verfolgen n desem Kaptel das Zel, Bewegungsglechungen aufzustellen, n denen de Zwangskräfte ncht mehr explzt auftreten Das Prnzp der vrtuellen Arbet Defnton: Ene vrtuelle Verrückung δ r st ene gedachte (vrtuelle), nfntesmale Änderung der Koordnaten r des ten Telchens, welche mt den Zwangsbedngungen verträglch st und nstantan durchgeführt wrd, also während des Zetntervalls δt = 0. Bemerkung 1: Mt den Zwangsbedngungen verträglch bedeutet, dass de vrtuelle Verrückung so gescheht, dass se de Zwangsbedngungen ncht verletzt. Bespele: () Fadenpendel. Der Faden blebt be ener vrtuellen Verrückung stets gespannt, reßt aber ncht. De vrtelle Verrückung gescheht also entlang des Kresbogens, auf der sch de Masse bewegt. () Telchen auf Tschplatte n der (x, y) Ebene. De vrtuelle Verrückung darf ebenfalls ncht aus deser Ebene herausführen, d.h. δz = 0. Bemerkung 2: δ r hat nchts mt dem Bewegungsablauf des ten Telchens zu tun, also der tatsächlchen Änderung d r der Koordnaten r m Zetntervall dt. Daher benutzen wr de Notaton δ anstelle von d. Dennoch werden vrtuelle Verrückungen δ r mathematsch we Dfferentale d r behandelt, d.h. es gelten de glechen Regeln der Dfferentalrechnung. Bespel: Telchen m Aufzug, s. Abb Das Telchen hat zwe Frehetsgrade, x und z. Es gbt ene holonom-rheonome Zwangsbedngung, z = z 0 + v 0 (t t 0 ) z z 0 v 0 (t t 0 ) = 0. (1.6) 8

13 1.2 Das d Alembertsche Prnzp Also gbt es S = 2 1 = 1 generalserte Koordnate, z.b. x = q 1 q. De Zwangsbedngung (1.6) lefert dz = v 0 dt, und ene tatsächlche Verrückung st damt d r = (dx, dz) = (dq, v 0 dt). Für ene vrtuelle Verrückung glt jedoch δt = 0, also auch δz = v 0 δt = 0 und damt δ r = (δx, δz) = (δq, 0). z dz m dr dx v 0 x Abbldung 1.6: Telchen m Aufzug. Defnton: Se F de auf das te Telchen wrkende Kraft und δ r ene vrtuelle Verrückung der Koordnaten r des ten Telchens. Dann st de vrtuelle Arbet defnert als δw = F δ r. (1.7) De Kraft F kann gemäß F = K + Z (1.8) zerlegt werden, wobe K de trebende Kraft st und Z de Zwangskraft st. Es glt de Newtonsche Bewegungsglechung p = F. Brngen wr de Kraft F auf de lnke Sete, multplzeren skalar mt der vrtuellen Verrückung δ r und summeren über alle Telchen, so erhalten wr mt Gl. (1.8) F p = 0 ( F p ) δ r = 0 ( F p ) δ r = ( K p ) δ r + Z δ r = 0. (1.9) Das Prnzp der vrtuellen Arbet besagt nun, dass de Zwangskräfte be vrtuellen Verrückungen kene Arbet lesten, Z δ r = 0. (1.10) Man beachte, dass ncht notwendgerwese jeder Term n der Summe verschwnden muss, sondern nur de Summe als ganzes. 9

14 1 Lagrange-Mechank Bespele: () Telchen der Masse m auf Tschplatte n der (x, y) Ebene. De Zwangskraft st de Auflagekraft des Telchens und kompensert gerade de Schwerkraft, Z = (0, 0, Z) = (0, 0, mg). De vrtuelle Verrückung muss mt den Zwangsbedngungen verträglch sen (s.o.), also δ r = (δx, δy, 0). Daraus ergbt sch zwangsläufg, dass Z δ r = 0, da de beden Vektoren senkrecht aufenander stehen. () Atwoodsche Fallmaschne, vgl. Abb x Z 1 m 1 Z 2 m 2 Abbldung 1.7: Atwoodsche Fallmaschne. De Fadenspannungen Z 1 und Z 2 snd dentsch, Z1 = Z 2 Z = (Z, 0, 0), ansonsten würde der Faden reßen. De vrtuellen Verrückungen der Massen m 1 und m 2 müssen entlang der x Achse geschehen, δ r 1 = (δx 1, 0, 0) und δ r 2 = (δx 2, 0, 0). Da de gesamte Fadenlänge stets konstant blebt, glt δx 1 = δx 2. Damt st das Prnzp der vrtuellen Arbet erfüllt, Z 1 δ r 1 + Z 2 δ r 2 = Z(δx 1 + δx 2 ) = 0. Aus Gl. (1.9) und dem Prnzp der vrtuellen Arbet (1.10) folgt das sog. d Alembertsche Prnzp, ( K p ) δ r = 0. (1.11) En erstes Zel st errecht: de Zwangskräfte tauchen aufgrund des Prnzps der vrtuellen Arbet ncht mehr auf, snd also aus der weteren Betrachtung elmnert worden. Allerdngs snd aufgrund der Zwangsbedngungen ncht alle n Gl. (1.11) auftretenden vrtuellen Verrückungen δ r unabhängg, verschedene Terme n der Summe beenflussen sch gegensetg. Des läßt sch beheben, ndem man de Telchenkoordnaten r durch generalserte Koordnaten ersetzt. Des wrd m nächsten Abschntt erläutert und führt dann letztlch auf de gesuchten Bewegungsglechungen für de generalserten Koordnaten. 10

15 1.2 Das d Alembertsche Prnzp De Lagrange-Glechungen zweter Art Gemäß Gl. (1.4) snd de Telchenkoordnaten r Funktonen der generalserten Koordnaten {q 1,...,q S } und der Zet t. Das totale Dfferental lautet also d r = r dq j + r dt. (1.12) t Für de Telchengeschwndgket erhalten wr (nach Dvson durch dt) r = r q j + r t. (1.13) Da de generalserten Koordnaten und de Zet unabhängge Varablen snd, folgt daraus r q j r. (1.14) Vrtuelle Verrückungen werden we gewöhnlche Dfferentale behandelt, geschehen jedoch nstantan, δt = 0. Deshalb glt analog Gl. (1.12) δ r = r δq j. (1.15) De gesamte von den trebenden Kräften K gelestete vrtuelle Arbet st dann δw K = K δ r = K r δq j = wobe wr de sog. generalserten Kräfte ( N K r ) δq j Q j δq j, (1.16) Q j K r (1.17) defnert haben. Bemerkungen: () Da de generalserte Koordnate q j ncht unbedngt de Dmenson ener Länge hat, muss de generalserte Kraft auch ncht unbedngt de Dmenson ener Kraft haben. Das Produkt Q j δq j hat aber stets de Dmenson Energe. () Wr betrachten den Spezallfall enes konservatven Systems. Es glt K = V ( r 1,..., r N ). 11

16 1 Lagrange-Mechank Dann lautet Gl. (1.17) Q j = V r V, j = 1,...,S, (1.18) wobe wr de Kettenregel angewendet haben. Man beachte, dass aufgrund des Zusammenhangs (1.4) be Ersetzen der Telchenkoordnaten durch de generalserten Koordnaten de Funkton V (q 1,...,q N, t) auch explzt von der Zet abhängen kann. Wr betrachten jetzt den zweten Term m d Alembertschen Prnzp, p δ r. Wr berechnen zunächst ( d r ) 2 r = q l + 2 r = r q l + r = r, (1.19) dt q l t q l t l=1 l=1 wobe wr m ersten Schrtt de Kettenregel für de Funkton r (q 1,...,q S, t), m zweten de Unabhänggket der generalserten Koordnaten und der generalserten Geschwndgketen, q l / 0, und m drtten Gl. (1.13) ausgenutzt haben. Es folgt mt den Glgen. (1.14), (1.15), und (1.19) p δ r = m r δ r = = = = = m r r δq j [ ( d m r r ) dt q r d ] r δq j j dt [ ( d m r r ) dt q r r ] δq j j ( 1 d 2 m r 2 dt q 1 ) 2 r j 2 q δq j j ( d T T ) δq j, (1.20) dt q j wobe wr de Defnton der knetschen Energe, T = 1 2 m r 2, (1.21) benutzt haben. Setzen wr de Glgen. (1.16) und (1.20) n Gl. (1.11) en, so erhalten wr das d Alembertsche Prnzp ausgedrückt durch generalserte Koordnaten: ( d T T ) Q j δq j = 0. (1.22) dt q j 12

17 1.2 Das d Alembertsche Prnzp Spezalfälle: () Systeme mt holonomen Zwangsbedngungen. In desem Fall snd de generalserten Koordnaten q j unabhängg vonenander, d.h. auch hre vrtuellen Verrückungen δq j snd unabhängg. Dann muss aber jeder enzelne Term n der Summe n Gl. (1.22) verschwnden, d T T = Q j, j = 1,...,S. (1.23) dt q j () Konservatve Systeme. Mt Gl. (1.18) und der Tatsache, dass das Potental V ncht von den Geschwndgketen r, also auch ncht von den generalserten Geschwndgketen q j, abhängen kann, wrd aus Gl. (1.22) V q j 0, [ d (T V ) ] (T V ) δq j = 0. (1.24) dt q j Wr defneren de sog. Lagrange-Funkton L(q 1,..., q S, q 1,..., q S, t) T(q 1,...,q S, q 1,..., q S, t) V (q 1,...,q S, t), (1.25) als Dfferenz von knetscher und potenteller Energe. Se hängt von den generalserten Koordnaten, den generalserten Geschwndgketen und der Zet ab. Man beachte, dass de knetsche Energe (1.21) zwar ledglch ene Funkton der Telchengeschwndgketen r st, aber aufgrund von Gl. (1.13) ncht nur von den generalserten Geschwndgketen, sondern auch von den generalserten Koordnaten und der Zet abhängen kann, wenn man de Ersetzung (1.4) der Telchenkoordnaten durch de generalserten Koordnaten vornmmt. We oben schon erwähnt, hängt de potentelle Energe ledglch von den generalserten Koordnaten und der Zet ab. Mt der Lagrange-Funkton (1.25) wrd aus Gl. (1.24) ( d L L dt q j ) δq j = 0. (1.26) () Konservatve Systeme mt holonomen Zwangsbedngungen. In desem Fall snd alle q j unabhängg vonenander und Gl. (1.26) kann nur erfüllt werden, wenn jeder enzelne Term n der Summe verschwndet, d L L = 0, j = 1,..., S. (1.27) dt q j Des snd de sog. Lagrange-Glechungen zweter Art. 13

18 1 Lagrange-Mechank De Lagrange-Glechungen snd de gesuchten Bewegungsglechungen für de generalserten Koordnaten q j. Wr zegen nun, dass es sch um Dfferentalglechungen zweter Ordnung n den generalserten Koordnaten q j handelt. Für de Lösung von S Lagrange- Glechungen für de Koordnaten {q 1,...,q S } st also de Kenntns von 2S Anfangsbedngungen erforderlch. Wr schreben zunächst de knetsche Energe (1.21) mt Hlfe von Gl. (1.13) um, T = 1 2 = 1 2 = 1 2 m r 2 j,l=1 µ jl q j q l + j,l=1 wobe wr de Größen m r r q l q j q l + α j q j + α, µ jl (q 1,...,q S, t) α j (q 1,...,q S, t) α(q 1,...,q S, t) 1 2 m r r t q j m r r t, m r r t, m ( r t ) 2, defnert haben. Damt schrebt sch de Lagrange-Funkton (1.25) als mt ( ) 2 r m t L = T V L 2 + L 1 + L 0, (1.28) L L 1 µ jl q j q l, j,l=1 α j q j, L 0 α V. (1.29) Defnton: Ene Funkton f(x 1,..., x m ) heßt homogen vom Grad n, falls f(a x 1,..., a x m ) = a n f(x 1,..., x m ) a R. Damt snd de n Gl. (1.29) defnerten Funtonen L n homogene Funktonen der generalserten Geschwndgketen q j vom Grad n. Folglch st der n den Lagrange-Glechungen zweter Art (1.27) auftretende Term L/ q j höchstens vom Grad 1 n den generalserten Geschwndgketen. De Zetabletung deses Terms sorgt dann dafür, dass de generalserten Beschleungungen q j n den Lagrange-Glechungen auftreten, dese also Dfferentalglechungen zweter Ordnung n den generalserten Koordnaten snd, q.e.d.. 14

19 1.2 Das d Alembertsche Prnzp Formnvaranz der Lagrange-Glechungen gegenüber Punkttransformatonen Wr hatten oben erwähnt, dass de generalserten Koordnaten ncht endeutg festlegbar snd und dass ledglch hre Anzahl S endeutg st. Wr zegen nun, dass ene sog. Punkttransformaton (q 1,..., q S ) ( q 1,..., q S ) (1.30) de Form der Lagrange-Glechungen (1.27) ncht ändert. Mt anderen Worten, de Bewegungsglechungen für de generalserten Koordnaten q j haben de gleche Form we de für de generalserten Koordnaten q j. Es st damt glechgültg, welche Wahl wr für de generalserten Koordnaten treffen, d.h. ob wr den Satz ( q 1,..., q S ) oder den Satz (q 1,..., q S ) wählen, de zu lösenden Bewegungsglechungen snd mmer de Lagrange- Glechungen (1.27) für de entsprechenden generalserten Koordnaten. De Punkttransformaton (1.30) legt den funktonalen Zusammenhang zwschen den neuen und alten generalserten Koordnaten fest, q j = q j (q 1,..., q S, t), j = 1,...,S, q l = q l ( q 1,..., q S, t), l = 1,..., S. (1.31) Se L( q, q, t) = L( q( q, t), q( q, q, t), t) (1.32) de Lagrange-Funkton für de Varablen q, de aus der ursprünglchen Lagrange-Funkton L folgt, wenn man de alten generalserten Koordnaten q l gemäß Gl. (1.31) durch de neuen Koordnaten q j ersetzt. Wr zegen nun, dass aus den Lagrange-Glechungen für de Varablen q l, d L L = 0, l = 1,...,S, dt q l q l de Lagrange-Glechungen für de Varablen q j folgen, Zunächst folgt aus Gl. (1.31) d L L = 0, j = 1,...,S. dt q j q j q l = q l q j + q l q j t = q l q j = q l q j. (1.33) Her wurde ausgenutzt, dass, wel q l ncht von q j abhängt, auch q l / t ncht von q j abhängen kann. Desweteren glt mt der Kettenregel: ( d q l ) 2 q l = q m + 2 q l = q l q m + q l = q l, (1.34) dt q j q m q j t q j q j q m t q j m=1 wobe wr de Unabhänggket von generalserten Koordnaten und generalserten Geschwndgketen, q m / q l = 0 und de Kettenregel angewendet auf de Funkton (1.31) benutzt haben. m=1 15

20 1 Lagrange-Mechank Wr berechnen nun mt Hlfe der Kettenregel für de Funkton L aus Gl. (1.32) L q j = L q j = l=1 l=1 ( L q l + L ) q l q l q j q l q j L q l q l q j., (1.35) Für de Zetabletung des zweten Terms glt dann unter Zuhlfenahme der Glgen. (1.33) und (1.34): d dt L q j = = = [( ) d L ql + L ( )] d q l dt q l q j q l dt q j [( ) d L ql + L ( )] d q l dt q l q j q l dt q j [( ) d L ql + L ] q l dt q l q j q l q j l=1 l=1 l=1 (1.36) Zehen wr Gl. (1.36) von Gl. (1.35) ab, so heben sch de zweten Terme unter der Summe jewels gegenenander weg und wr erhalten d dt L L = q j q j ( d L L ) ql = 0 dt q l q l q j l=1 also mt Hlfe der Lagrange-Glechungen für de generalserten Koordnaten q l gerade de Lagrange-Glechungen für de generalserten Koordnaten q j, q.e.d.. 16

21 Lteraturverzechns [1] W. Noltng, Grundkurs Theoretsche Physk 2: Analytsche Mechank (Sprnger, Berln) [2] W. Noltng, Grundkurs Theoretsche Physk 4: Spezelle Relatvtätstheore, Thermodynamk (Sprnger, Berln) [3] W. Grener, Theoretsche Physk Band 1: Mechank I (Harr Deutsch, Thun & Frankfurt am Man) [4] W. Grener, Theoretsche Physk Band 2: Mechank II (Harr Deutsch, Thun & Frankfurt am Man) [5] R. Jeltto, Theoretsche Physk 2: Mechank II (AULA-Verlag, Wesbaden) [6] R. Jeltto, Theoretsche Physk 3: Elektrodynamk (AULA-Verlag, Wesbaden) [7] R. Drezler, C. Lüdde, Theoretsche Physk 1: Theoretsche Mechank (Sprnger, Berln) [8] R. Drezler, C. Lüdde, Theoretsche Physk 2: Elektrodynamk und spezelle Relatvtätstheore (Sprnger, Berln) [9] L.D. Landau, E.M. Lfshtz, Lehrbuch der Theoretschen Physk I: Mechank (Harr Deutsch, Thun & Frankfurt am Man) [10] L.D. Landau, E.M. Lfshtz, Lehrbuch der Theoretschen Physk II: Klasssche Feldtheore (Harr Deutsch, Thun & Frankfurt am Man) [11] H. Goldsten, Klasssche Mechank (Akademsche Verlagsgesellschaft Webaden) 17