Sabrina Kallus, Eva Lotte Reinartz, André Salé
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- Hartmut Kirchner
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1 Sabrina Kallus, Eva Lotte Reinartz, André Salé
2 } Wiederholung (Zufallsvariable) } Erwartungswert Was ist das? } Erwartungswert: diskrete endliche Räume } Erwartungswert: Räume mit Dichten } Eigenschaften des Erwartungswertes } Arbeitsphase } Wiederholung (Erwartungswert) } Streuung } Varianz und ihre Eigenschaften } Arbeitsphase } Die Binomial- und Exponentialverteilung } Arbeitsphase
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4 Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung, die den Elementen der Ergebnismenge Ω eindeutig einen Wert aus einem reellen Wertebereich W zuordnet: X: Ω R R ω! i X(ω i ) X ist eine diskrete Zufallsvariable, wenn X nur endlich viele oder abzählbare unendlich viele Werte annimmt. X ist eine stetige Zufallsvariable, wenn X in einem Bereich der reellen Zahlen jeden beliebigen Wert annehmen kann.
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6 Was ist das?
7 Zwei Spieler werfen eine Münze zweimal. Sie schließen eine Wette ab: Spieler A bekommt von Spieler B: 3 à 2x Wappen 1 à 1x Wappen Spieler B bekommt von Spieler A: 4 à 0x Wappen Würdet ihr diese Wette eingehen? Was hat das für euch mit dem Erwartungswert zu tun?
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9 Ist (Ω, E, P) endlich und X : Ω R, so versteht man unter dem Erwartungswert von X die Zahl X(ω 1 )P({ω 1 }) + + X(ω n )P({ω n }) (= ω Ω X(ω)P({ω})) Man schreibt dafür E(X) ( E von X ).
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11 } Stetige Dichtefunktion b a } Stetige Zufallsvariable } Kompaktes Intervall [a,b] f ( x) dx
12 } Bilden von kleinen Teilintervallen I 1,,I n mit Zwischenpunkten a=t 0 <t 1 < <t n =b } Ein Teilintervall wird beschrieben durch I k =[t k-1,t k ], für k=1,.n } Betrachten nur noch die Intervallanfänge t k-1 der Intervalle I k und ihre dazugehörige Zufallsvariable X(t k-1 ) } Wahrscheinlichkeit der Teilintervalle P(I k )= kann ersetzt werden durch f(t k-1 )(t k -t k-1 ) } Dadurch kommen wir zu n k = 1 X(t k-1 )f(t k-1 )(t k -t k-1 ) hier vergleich zu E(x) t t k k-1 f ( x) dx
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14 f sei eine stetige Dichtefunktion auf [ a, b ], und auch die Zufallsvariable X : [ a, b ] R sei stetig. Dann definieren wir den Erwartungswert von X durch E(X) := b a X ( x) f ( x) dx
15 Es seien X und Y reellwertige Zufallsvariablen, für die sich der Erwartungswert definieren lässt, und es sei c R. (i) Auch für cx existiert der Erwartungswert, und es ist E(cX) = ce(x). (ii) Auch für X + Y existiert der Erwartungswert, und es ist E(X + Y) = E(X) + E(Y ). (iii) Gilt X(ω) Y(ω) für alle ω, so ist E(X) E(Y ).
16 Seien X,Y Zufallsvariablen und α,β ε R, dann gilt: E(αX + βy) = ω Ω (αx(ω) + βy(ω))p(ω) ω Ω =α X(ω)P(ω)+ β Y(ω)P(ω) =αe(x) + βe(y) ω Ω
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19 Aufgabe 1: In einer Urne befinden sich Kugeln mit der Aufschrift + 2 Euro, +5 Euro und -7 Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass man Kugeln mit +2 Euro bzw. +5 Euro zieht, beträgt jeweils 0,3. Ein Spieler zieht zweimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen und notiert jeweils ihre Zahl. Die Summe dieser beiden Zahlen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) geben an, wie viel Euro der Spieler ausbezahlt bekommt (bei positivem Vorzeichen) bzw. was der Spieler bezahlen muss (bei negativem Vorzeichen). a) Berechne den Erwartungswert für das Spiel. b) Wie viele Spiele müssen gespielt werden, damit der Spielanbieter mit Einnahmen von ca Euro rechnen kann. Aufgabe 2: So kurz vor Weihnachten laufen die Vorbereitungen bei den Weihnachtswichtel auf Hochtouren. Viele Millionen Geschenke müssen verpackt werden, damit sie Heiligabend auch verteilt werden können. Aber selbst die vielen Wichtel gönnen sich das ein oder andere Jahr mal einen kleinen Urlaub. Die stetige Zufallsvariable X = Beginn der Vorbereitungen nach Weihnachten in Wochen gibt an, wie viele Wochen nach dem die Wichteln mit der neuen Arbeit für das nächste Jahr beginnen: Wann werden die Wichtel wahrscheinlich mit den Vorbereitungen für 2016 beginnen?
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22 Sabrina Kallus, Eva Lotte Reinartz, André Salé
23 } Wiederholung (Zufallsvariable) } Erwartungswert Was ist das? } Erwartungswert: diskrete endliche Räume } Erwartungswert: Räume mit Dichten } Eigenschaften des Erwartungswertes } Arbeitsphase } Wiederholung (Erwartungswert) } Streuung } Varianz } Standardabweichung } Eigenschaften der Varianz und Standardabweichung } Arbeitsphase } Der Erwartungswert der Binomial- und Exponentialverteilung } Arbeitsphase
24 Ist (Ω, E, P) endlich und X : Ω R, so versteht man unter dem Erwartungswert von X die Zahl X(ω 1 )P({ω 1 }) + + X(ω n )P({ω n }) (= ω Ω X(ω)P({ω})) Man schreibt dafür E(X) ( E von X ).
25 f sei eine stetige Dichtefunktion auf [ a, b ], und auch die Zufallsvariable X : [ a, b ] R sei stetig. Dann definieren wir den Erwartungswert von X durch E(X) := b a X ( x) f ( x) dx
26 Die Streuung ist der Überbegriff für unterschiedliche Werte, welche eine bestimmte Abweichung von einem Wert zu einem anderen Wert angeben. Beispiele: Spannweite, Interquartilsabstand, Varianz, Standardabweichung, etc.
27 Was ist das eigentlich?
28 Die Varianz ist die quadratische Abweichung eines Wertes vom Erwartungswert (Mittelwert).
29 Es sei (Ω, E, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine Zufallsvariable, für die der Erwartungswert E(X) existiert. Wir definieren dann die Varianz von X als V (X) := E((X E(X))²), falls der Erwartungswert von (X E(X))² existiert.
30 } Die Standardabweichung σ(x) ist die Wurzel aus der Varianz: σ(x):= Sie beschreibt die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Werte vom Durchschnitt.
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32 Wir setzen voraus, dass X und Y reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E, P) sind und dass V (X) und V (Y ) existieren. (i) V (cx) = c²v (X), und σ(cx) = c σ(x) für alle c ϵ R. (ii) V (X + c) = V (X), und σ(x + c) = σ(x) für alle c ϵ R. (vi) V (X) = E (X²) (E (X))².
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34 Aufgabe 1) Wir würfeln mit einen 8 seitigen Laplace-Würfel (die Wahrscheinlichkeit für jede Seite ist gleich groß) beschriftet mit den Zahlen 1 bis 8. Es wird zweimal gewürfelt und die Augenzahlen werden addiert. Wird eine Quadratzahl gewürfelt, so gewinnt der Spieler 5, ist die Zahl durch 5 teilbar gewinnt er 3 und bei allen anderen Augensummen muss er 4 bezahlen. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der beiden Augenzahlen an. Wie lautet unser Erwartungswert? Ist es ein faires Spiel? Wie lautet die Varianz? Aufgabe 2) Täglich werden viele Tausend Briefe an den Weihnachtsmann geschrieben. Auf Grund des vielen Schnees schafft es der Postbote jedoch nur einmal am Tag diese auch am Nordpol zuzustellen. Seit jeher kommt er immer zwischen 14 Uhr und ca. 17:30 Uhr bei den Wichtelfabriken an. Sei X die stetige Zufallsvariable der Ankunftszeit des Postboten und f(x) die dazugehörige Dichtefunktion: 1 für 2 x 2e f ( x) = x 0 sonst Wann können die Wichtel den Postboten durchschnittlich erwarten? Wie lautet die Varianz? (Tipp: Mit Hilfe des Verschiebungssatzes erhalten wir V(X) = E((X-E(X))²) = E(X²)-E(X)²
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37 Binomialverteilung Exponentialverteilung Erwartungswert E(X) = np E(X) = 1/λ Varianz Var(X) = npq, q=(1-p) Var(X) = (1/λ)²
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42 } Formel der Varianz } E(X) ersetzen (1/ λ) } Partielle Integration } Ab hier wird erst einmal nur der erste Teil der Fkt. betrachtet } λ wird rausgezogen } Mit Hilfe von Partieller Integration kommen wir zu diesem Ergebnis
43 } Grenzen einsetzen } Abschätzen (x gegen unendlich weil e gegen minus unendlich geht) } Klammern auflösen und geeignetes gruppieren } Hier nun wieder die ganze Fkt. Betrachten (-E(X))zum Quadrat
44 } beweise/beweis_varianz.html } Members/mattheis/materialien/mm-abvarianz-binomialverteilung.pdf-1
45 } Behrends, E.: Elementare Stochastik: Ein Lehrbuch- von Studierenden mitentwickelt, Sperktrum Verlag, Wiesbaden 2013 } Hesse, 10. Zufallsvariablen, Vorlesung angewandte Statistik, Universität Paderborn 2014/15
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