Geometrie I. Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2
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- Götz Weiß
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1 Geometrie I Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2
2 Inhalt Grundlagen Abstandsberechnung Punkt-Gerade Punkt-Segment CCW Polygone Punkt in Polygon Pick s Theorem Konvexe Hülle Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 2
3 Grundlagen Abstandsberechnung CCW Polygone Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 3
4 Punkte & Vektoren Definition Punkt: Raumpunkt im N-dimensionalen Raum Vektor: Parallelverschiebung im Raum x x #» v = P = y z y z y #» v P x Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 4
5 Geraden Gerade Parameterform: g = #» p + λ #» u mit λ R Implizite Geradengleichung: Ax + By + C = 0 Auf der Gerade liegende Punkte P und Q A = P y Q y B = Q x P x C = AQ x + BQ y y #» p #» u g x Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 5
6 Segmente Segment (Strecke) Gerade Linie mit einem Startpunkt A und Endpunkt B Es wird unterschieden nach: Offen: A und B ausgeschlossen (AB) Halboffen: A oder B ausgeschlossen (AB] Geschlossen: A und B inklusive [AB] y A #» p #» u g B x Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 6
7 Dreiecke Definition Dreieck (A, B, C) Summe aller Innenwinkel immer 180 Liegen im 3-Dimensionalen Raum immer auf einer Ebene Spielen eine wesentliche Rolle in der Geometrie, v.a. in der Trigonometrie (z.b. Satz des Pythagoras) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 7
8 Skalarprodukt Definition #» a φ #» b #» b #» a Länge der Projektion von Vektor #» a auf Vektor #» b : #» #» a b = #» #» n a b cos(φ) = a x b x (= #» b #» a ) In 3D: #» a #» b = a x b x + a y b y + a z b z i= Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 8
9 Kreuzprodukt Definition #» a #» b 90 #» b #» a Das Kreuzprodukt beschreibt den zu #» a und #» b orthogonal liegenden Vektor Die Länge von #» a #» b ist die Fläche des von #» a und #» b aufgespannten Parallelogramms Rechte-Hand -Regel: #» a #» b = ( #» b #» a ) a #» #» x b x a b = a y b y = a z b z a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x Beachte: In 2D ergibt das Kreuzprodukt ein Skalar: #» a #» b = a x b y a y b x Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 9
10 Grundlagen Abstandsberechnung Punkt-Gerade Punkt-Segment CCW Polygone Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 10
11 Abstand Punkt-Gerade Problemstellung Gegeben: Eine Gerade g = #» p + λ #» u im Raum Einen Punkt P (x, y) im Raum Gesucht: Kürzeste Distanz zwischen P und g y P #» p #» u g = #» p + λ #» u x Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 11
12 Lotfußverfahren Lösung Kürzeste Strecke ist Lot von P auf g Berechnung: Aufspannen des Parallelogramms mit den Seiten #» u und pp #» = P #» p Fläche des Parallelogramms Betrag vom Kreuzprodukt #» u pp #» d(p, g) = #» u #» pp #» u y P 90 #» p #» u x Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 12
13 Abstand Punkt-Segment Berechnung Gesucht: Kürzeste Distanz zwischen Punkt P und Segment [AB] P 2 Fallunterscheidung: P 1 Fall 1: Punkt P 1 liegt innerhalb der Ebene, die von den Loten durch A und B aufgespannt wird Selbe Berechnung wie bei Punkt-Gerade #» p = A und #» u = B A A d 1 B d 2 Fall 2: Punkt P 2 liegt außerhalb d(p 2, [AB]) = min( P 2 B, P 2 A ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 13
14 Grundlagen Abstandsberechnung CCW Polygone Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 14
15 CCW CounterClockWise Definition Beschreibt die Richtung des kleinsten Winkels zwischen einer Linie AB #» und einem Punkt P Liegt P links oder rechts von AB? #» ClockWise P CounterClockWise P Collinear P α B B α B α A A A Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 15
16 CCW Berechnung Berechnung mittels Kreuzprodukt Kreuzprodukt #» AB #» AP berechnen Länge von Kreuzprodukt l = #» AB #» AP berechnen l > 0: CW P liegt links von AB #» l < 0: CCW P liegt rechts von AB #» l = 0: P ist collinear zu AB #» Anwendungen Ausrichtung eines Polygons (z.b. zur Normalen-Berechnung) Punkt in Polygon Schnittpunkt zwischen zwei Segmenten Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 16
17 Schnittpunktsberechnung Schnittpunkt von zwei Segmenten bool segmentsintersect(p1, P2, P3, P4) // ccw: 1 links, -1 rechts, 0 collinear int s1 = ccw(p1, P2, P3) int s2 = ccw(p1, P2, P4) int s3 = ccw(p3, P4, P1) int s4 = ccw(p3, P4, P2) P 1 P 4 P 3 P 2 // Schnittpunkt? return ((s1 * s2 < 0) && (s3 * s4 < 0)) (s1 == 0 && pointbetween(p3, P1, P2)) (s2 == 0 && pointbetween(p4, P1, P2)) (s3 == 0 && pointbetween(p1, P3, P4)) (s4 == 0 && pointbetween(p2, P3, P4)) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 17
18 Grundlagen Abstandsberechnung CCW Polygone Punkt in Polygon Pick s Theorem Konvexe Hülle Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 18
19 Polygone Definition A closed plane figure with straight edges Gellert et al., 1989 Liegen komplett auf einer Ebene Sind geschlossene Flächen Werden von geraden Strecken begrenzt Haben mehr als zwei Kanten Das Dreieck ist das kleinste Polygon Manche Algorithmen benötigen einfache Polygone Keine Überschneidungen Kein Polygon: Kein einfaches Polygon: Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 19
20 Konvex oder Konkav? Konvexe Polygone Konkave Polygone Für jeden Innenwinkel α gilt: Nicht größer als 180 Alle Punkte des Polygons liegen innerhalb des Winkels Alle Diagonalen liegen innerhalb des Polygons Mindestens Ein Innenwinkel α hat über 180 Eine Diagonale liegt außerhalb des Polygons Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 20
21 Konvex oder Konkav? Konvexe Polygone Konkave Polygone Für jeden Innenwinkel α gilt: Nicht größer als 180 Alle Punkte des Polygons liegen innerhalb des Winkels Alle Diagonalen liegen innerhalb des Polygons Mindestens Ein Innenwinkel α hat über 180 Eine Diagonale liegt außerhalb des Polygons Besonderheit Dreiecke sind immer konvex! Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 21
22 Flächeninhalt Berechnung der Fläche Bei einfachen Polygonen: Gaußsche Trapezformel n 2A = (y i + y i+1 )(x i x i+1 ) int area(polygon P) int a = 0 for(kante K : P) a += (K[0].y + K[1].y) * (K[0].x - K[1].x) return abs(a/2) i=1 Anmerkung Kann auch verwendet werden, um Ausrichtung (CCW, CW) des Polygons zu bestimmen Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 22
23 Punkt in Polygon Problemstellung Ist ein Punkt P in einem beliebigen Polygon enthalten? Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 23
24 Ray Casting Ansatz Wir schießen einen Ray (Strahl) von einem Punkt Q außerhalb des Polygons zu P Anzahl der Schnittpunkte von Strahl P # Q» und Polygon Gerade: P liegt außerhalb des Polygons Ungerade: P liegt innerhalb des Polygons Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 24
25 Ray Casting: Algorithmus Schritt 1: Suche von Q 1. Möglichkeit: Q von Unendlich schießen (e.g. Integer.MAX) O(1) 2. Möglichkeit: Maximum x (oder y) von Polygon suchen: Q = (maxx+1, P.y) O(K) mit K = Anzahl Kanten Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 25
26 Ray Casting: Algorithmus Schritt 1: Suche von Q 1. Möglichkeit: Q von Unendlich schießen (e.g. Integer.MAX) O(1) 2. Möglichkeit: Maximum x (oder y) von Polygon suchen: Q = (maxx+1, P.y) O(K) mit K = Anzahl Kanten Schritt 2: Schnittpunkte suchen Prüfe für jede Kante K i, ob es einen Schnittpunkt mit #» P Q gibt bool inside = false for(kante K : Polygon) if(linesintersect(k, PQ)) inside =!inside return inside O(K) mit K = Anzahl Kanten Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 26
27 Ray Casting: Sonderfälle Randfälle Besondere Achtsamkeit ist in folgenden Fälle notwendig: P liegt auf Rand des Polygons Je nach Problemstellung liegt P dann innerhalb oder außerhalb des Polygons P # Q» schneidet Eckpunkt von Polygon An beiden Kanten muss ein Schnittpunkt erkannt werden P # Q» verläuft entlang einer Kante Es darf nur als ein Schnitt gezählt werden Anliegende Kanten müssen ebenfalls geschnitten werden Fließkomma-Ungenauigkeit beachten! Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 27
28 Winding Algorithmus Warum? Ray Casting ist ungenau für Punkte, die sehr nah am Rand des Polygons liegen. Ray Casting funktioniert nur für einfache Polygone Alternativer Ansatz: Winding Algorithmus Ansatz [+] Stabil bei Punkten nahe am Rand [+] Funktioniert auch bei komplexen Polygonen [ ] Leicht aufwändiger als Ray Casting (Allerdings weiterhin O(K)) [0] Sehr häufig ist Ray Casting ausreichend w = 2 Wie oft windet sich das Polygon um den Punkt P? Wenn Anzahl w 1 P liegt in Polygon w = 1 P w = Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 28
29 Winding Algorithmus Beschreibung Es wird die Grundidee des Ray Casting verwendet: Wir schießen einen Strahl P nach außerhalb des Polygons Für jede Kante wird geprüft, ob ein Schnittpunkt existiert Falls ja, wird die Kante von rechts oder links geschnitten? (ccw(k,p)) Links: w + 1 Rechts: w 1 Wenn w 1: P liegt in Polygon P w = 2 P w = 0 P 2 +1 w = Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 29
30 Sonderfall: Konvexe Polygon Konvexe Polygone Besondere Eigenschaft von konvexen Polygonen: Alle Punkte eines Polygons liegen innerhalb der Innenwinkel Wenn man den Rand eines Polygon gegen den Uhrzeigersinn abläuft, liegen alle Punkte innerhalb des Polygons immer links der Kanten! P right left Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 30
31 Naiver Ansatz Beschreibung Mögliche Lösung: Alle Kanten des Polygons überprüfen Laufzeit: O(n) bool inpolygon = true // Kanten durchlaufen for(kante K : Polygon) // Punkt liegt rechts einer Kante // -> Ausserhalb des Polygons if(ccw(k, P) == -1) inpolygon = false return inpolygon Beachte! Kanten müssen richtig herum definiert sein! Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 31
32 Mehr Effizienz durch Binäre Suche Beschreibung Beginn an Punkt P 0 Überprüfe, ob P von P 0 aus im Polygon liegen kann (Kanten P #» 0 P 1 und P #» n P 0 ) Beginne mit a = 1 und b = n Solange Position von P noch nicht auf ein einzelnes Dreieck reduziert werden konnte (a = b 1) Berechne ccw( P #» 0 P m, P ) mit m = a + b a 2 Setze a oder b Wenn P links von P #» 0 P m : b = m Wenn P rechts von P #» 0 P m : a = m Überprüfe ccw( #» P a P b, P ) Laufzeit: O(log(n)) mit n = Anzahl Eckpunkte vom Polygon Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 32
33 Punkt in Polygon (Konvexe Polygone): Beispiel P 2 P 3 P P 1 P 4 Starte an P 0 Überprüfe #» P 0 P 1 und #» P 7 P 0 P 0 P 5 P 7 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 33
34 Punkt in Polygon (Konvexe Polygone): Beispiel P 2 P 3 P 1 P 0 P P 4 P 5 a = 1 b = 7 m = 4 Überprüfe P #» 0 P 4 Setze b = m P 7 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 34
35 Punkt in Polygon (Konvexe Polygone): Beispiel P 2 P 3 P 1 P 0 P P 4 P 5 a = 1 b = 4 m = 2 Überprüfe P #» 0 P 2 Setze a = m P 7 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 35
36 Punkt in Polygon (Konvexe Polygone): Beispiel P 2 P 3 P 1 P 0 P P 4 P 5 a = 2 b = 4 m = 3 Überprüfe P #» 0 P 3 Setze b = m P 7 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 36
37 Punkt in Polygon (Konvexe Polygone): Beispiel P 2 P 3 P 1 P P 4 a = 2 b = 3 a = b 1 Überprüfe #» P 2 P 3 P 0 P 5 P 7 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 37
38 Punkt in Polygon (Konvexe Polygone): Beispiel P 2 P 3 P 1 P P 4 a = 2 b = 3 a = b 1 Überprüfe #» P 2 P 3 P 0 P 5 P 7 P 6 P liegt im Polygon Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 38
39 Pick s Theorem Definition Für ein Polygon P auf einem uniformen Grid gilt: D C Fläche A = I + B 2 1 I = Anzahl Innenpunkte des Polygons, B = Anzahl Randpunkte (Boundary Points) des Polygons E F B A Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 39
40 Randpunkte D C E B A Randpukte B = 6 F Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 40
41 Innenpunkte D C Randpunkte B = 6 E B A Innenpunkte I = 34 F Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 41
42 Innenpunkte D C Randpunkte B = 6 E B A Innenpunkte I = 34 A = I + B 2 1 = 36 F Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 42
43 Stimmt das überhaupt? D C C A B A B A = I + B 2 1 = = 9 A = I + B 2 1 = = Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 43
44 Anwendungsfall Anwendung Berechnung der Anzahl der Innenpunkte eines Polygons: I = A B Algorithmus int innerpoints(polygon p) return area(p) - boundarypoints(p)/2 + 1 int boundarypoints(polygon p) int bp = 0 for(kante K : Polygon) bp += gcd(abs(k.dx), abs(k.dy)) // O(1) return bp Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 44
45 Polygone mit Löchern? Erweiterte Formel Polygon enthält Löcher Anzahl der Randpunkte B wächst Fläche wird kleiner Veränderte Formel: A = I + B N E I J D H G B C A mit N = Anzahl Löcher F Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 45
46 Konvexe Hülle Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 46
47 Konvexe Hülle Beschreibung Gegeben: Menge an Punkten Gesucht: Minimale konvexe Hülle, die alle Punkte der Menge umspannt P 9 P 8 P 7 P 5 P 6 P 4 Vorstellung: Ein Gummiband umspannt eine Menge an Nägeln? P 2 P 0 P 1 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 47
48 Graham Scan Beschreibung Lösung mithilfe eines Stacks, der alle Kandidatenpunkte verwaltet: Wähle Startpunkt P 0 (z.b. Punkt mit kleinstem x-wert) Sortiere restlichen Punkte entgegen dem Uhrzeigersinn aufsteigend nach dem Polarwinkel zu P 0 (Bei mehreren Punkten mit dem selben Winkel, wähle nur den mit der größten Distanz zu P 0 ) Initialisiere Stack mit P 0, P 1, P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 48
49 Graham Scan Beschreibung Fortsetzung... Iteriere über die verbleibenden (sortierten) Punkte P 3...P n Betrachte die beiden oberen Punkte auf dem Stack S 0 und S 1 Solange der Winkel (S 1, S 0, P i ) rechts-gerichtet ist Entferne S 0 vom Stack Lege P i auf den Stack Stack enthält alle Eckpunkte der konvexen Hülle Laufzeit: Suchen von P 0 + Sortierung + Iterieren über alle verbleibenden Punkte O(n) + O(n log(n)) + O(n) = O(n log(n)) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 49
50 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P 2 P 0 P 1 Stack: () Liste: () Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 50
51 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P P 2 0 P 1 Stack: (P 0 ) Liste: (P 1, P 2, P 3, P 4, P 6, P 7, P 8, P 9 ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 51
52 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P P 2 0 P 1 Stack: (P 2, P 1, P 0 ) Liste: (P 3, P 4, P 6, P 7, P 8, P 9 ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 52
53 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P P 2 0 P 1 Stack: (P 3, P 1, P 0 ) Liste: (P 4, P 6, P 7, P 8, P 9 ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 53
54 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P P 2 0 P 1 Stack: (P 4, P 1, P 0 ) Liste: (P 6, P 7, P 8, P 9 ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 54
55 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P P 2 0 P 1 Stack: (P 6, P 4, P 1, P 0 ) Liste: (P 7, P 8, P 9 ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 55
56 Graham Scan: Beispiel P 6 P 8 P 9 P 7 P 5 P 4 P 3 P P 2 0 P 1 Stack: (P 9, P 8, P 6, P 4, P 1, P 0 ) Liste: () Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 56
57 Jarvis March Beschreibung Verpacken der Punktmenge wie ein Geschenk Beginne an einem Punkt und wickele ein Papier straff um die Menge P 8 P 8 P 8 P 7 P 6 P 4 P 7 P 6 P 4 P 7 P 6 P 4 P 2 P 2 P 2 P 0 P 1 0 P 0 P 1 0 P 0 P Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 57
58 Jarvis March Algorithmus Wähle Startpunkt P 0 mit minimalen x-wert Finde Punkt P 1 mit kleinstem Polarwinkel (relativ zur x-achse) zu P 0 Wiederhole für jeden gefunden Eckpunkt, bis wieder an P 0 angelangt Wenn an Punkt P i mit maximalen x-wert angelangt, drehe Ausrichtung der x-achse Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 58
59 Jarvis March Code Pnow = P0 // Starting Point List<Point> convexhull // Convex Hull invertxaxis = false do // Add Point to Convex Hull convexhull.add(pnow) // Point with maximum X value, turn axis if(pnow.x == maxx) invertxaxis = true // Find next point with smallest polar angle Pnow = findsmallestangle(pnow, invertxaxis) // O(n) while(pnow!= P0) // O(h) return convexhull Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 59
60 Jarvis March Laufzeit Laufzeit: O(nh) mit n = Anzahl Punkte in Menge h = Anzahl Eckpunkte der konvexen Hülle Worst Case: h = n O(n 2 ) Je nach Komplexität der konvexen Hülle hat Graham Scan oder Jarvis March die bessere Laufzeit Wenn h = o(log(n)) dann läuft Jarvis March asymptotisch schneller Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 60
61 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Noch Fragen? Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 61
62 Quellenverzeichnis Bay, Christian: Geometrie I (Hallo Welt 2013) Cormen, Thomas H. and Leiserson, Charles E. and Rivest, Ronald L. and Stein, Clifford: Introduction to Algorithms, Third Edition (2009) Shirley, Peter and Marschner, Steve: Fundamentals of Computer Graphics (2009) Davis, Tom: Pick s Theorem (2003) ( Gottwald, S. and Gellert, W.: The VNR concise encyclopedia of mathematics, Second Edition (1989) (aufgerufen am ) Laura Lawniczak Hallo Welt -Seminar - LS 2 Geometrie I 62
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