Einführung in die numerische Mathematik

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1 Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 204 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis Einführung in die numerische Mathematik Aufgabenblatt 5 - LR-Zerlegung, Residuum, Nachiteration Lösungen Präsenzaufgabe : Cholesky-Zerlegung Bestimmen Sie die Cholesky-Zerlegung der Matrix 2 A = l 0 0 l l 2 l 3 A = l 2 l l 22 l 32 } l 3 l 32 {{ l 33 }} 0 0 {{ l 33 } L L a = l 2 l = =, a 2 = l 2 l l 2 = 2 = 2, a 22 = l l 22 2 l 22 = 5 4 =, a 3 = l 3 l l 3 = =, a 32 = l 3 l 2 + l 32 l 22 l 32 = 2 2 = 0, a 33 = l l l 33 2 l 33 = 0 = 3. Es gilt also: A = Präsenzaufgabe 2: Minimierungszugang für Normalgleichungen Gegeben sei eine Matrix A R m n mit vollem Spaltenrang und ein Vektor b R m. Die Norm r 2 2 des Residuums r := b Ax soll minimiert werden. Dies entspricht der Minimierung der Funktion F : R n R, F (x) := x A Ax 2x A b + b b.

2 a) Bestimmen Sie eine Verschiebung des Koordinatensystems x = y + u, d.h. einen festen Vektor u R n der nicht von x oder y abhängt, so dass in transformierten Koordinaten gilt F (x) = F (y) = y A Ay + c mit einer Zahl c R die nicht von x oder y abhängt. b) Beweisen Sie, dass y = 0 das eindeutige Minimum der Funktion F aus Teil (a) ist. c) Zeigen Sie, dass das rücktransformierte Minimum x = u eine Lösung der Normalgleichungen ist (falls dies nicht schon direkt aus Teil (a) ersichtlich ist). a) F (y) = (y + u) A A(y + u) 2(y + u) A + b b = y A Ay + 2y A Au + u A Au 2y A b 2u A b + b b Wir erhalten c := u A Au 2u A b + b b falls wir fordern 2y A Au 2y A b = 0 für alle y R n. Diese Forderung ist genau dann erfüllt, wenn A Au = A b, d.h. u = (A A) A b ist die eindeutige Lösung der Normalgleichungen. (A A ist regulär, da A vollen Spaltenrang hat). b) Wir betrachten F (y) in transformierten Koordinaten, es gilt F (0) = c und F (y) = y A Ay + c > c für jedes y 0 wegen der positiven Denitheit der Matrix A A. c) Siehe (a). Hausaufgabe : Zerlegungen bei Tridiagonalmatrizen (0 Punkte) Gegeben sei eine Tridiagonalmatrix, d.h. eine Matrix der Art A = (a ij ) R n n mit a ij = 0 für i j >. Zudem sei die Matrix symmetrisch und positiv denit. Lineare Gleichungssysteme mit dieser Matrix können gelöst werden durch a) Cholesky-Zerlegung (A = ˆLˆL, ˆL untere Dreiecksmatrix), b) LR-Zerlegung ohne Pivotsuche (A = LR, L normierte untere, R obere Dreiecksmatrix). Formulieren Sie den vereinfachten Algorithmus bei Tridiagonalmatrizen für diese beiden Fälle. Bestimmen Sie die Komplexität (Anzahl der Additionen, Multiplikationen, Divisionen, Wurzelbildungen) im jeweiligen Algorithmus und vergleichen Sie diese mit dem Aufwand für eine vollbesetzte Matrix. 2

3 a) Für Tridiagonalmatrizen reduziert sich die Cholesky-Zerlegung zu: ˆl, := a, /2 for end j = 2 : n ˆlj,j := a j,j /ˆl j,j ( ˆlj,j := a j,j ˆl ) /2 j,j 2 Die Operationen im Algorithmus bestehen aus n Additionen (Subtraktionen), n Multiplikationen (Quadrate), n Divisionen und n mal Wurzelziehen. Der korrespondierende Aufwand beträgt daher O(n) im Gegensatz zu O(n 3 ) Operationen bei einer vollbesetzten Matrix. 3

4 b) Bei Tridiagonalmatrizen vereinfacht sich die LR-Zerlegung ohne Pivotsuche zu: for j = : n l j+,j := a j+,j /a j,j end a j+,j+ := a j+,j+ l j+,j a j,j+ Die neue rechte obere Dreieckshälfte der Matrix A enthält dann die Elemente von R = (r ij ). Damit hat man im Algorithmus je n Additionen (Subtraktionen), Multiplikationen und Divisionen. Die Komplexität ist wieder O(n) im Gegensatz zu O(n 3 ) bei der Zerlegung einer vollbesetzten Matrix. Da hier kein Wurzelziehen notwendig ist, fällt der Aufwand bei der LR-Zerlegung sogar geringer aus als beim Cholesky-Verfahren aus Aufgabenteil (a). Dies gilt jedoch nur bei Tridiagonalmatrizen. Bei vollbesetzen Matrizen benötigt die Cholesky-Zerlegung nur n 3 /6 Multiplikationen im Gegensatz zu n 3 /3 Multiplikationen in der LR-Zerlegung. Hausaufgabe 2: Entfernungstabelle (0 Punkte) Die folgende Abbildung zeigt die ungefähre Lage der Städte Zürich, Chur, St. Gallen und Genf zueinander. Zwischen diesen Orten verlaufen drei Autobahnstrecken mit den Längen x, x 2, x 3. Bei Autofahrten wurden auf dem Kilometerzähler die folgenden Distanzen grob abgelesen (d.h. sie sind mit Fehlern behaftet): x Zurich x 2 St. Gallen x 3 Chur Zürich Genf 280 km St. Gallen Genf 360 km Genf Chur 390 km Chur St. Gallen 90 km Zürich Chur 20 km Genf Stellen Sie ein lineares Ausgleichsproblem für x, x 2, x 3 auf, das alle fünf Daten der Entfernungstabelle einbezieht. Lösen Sie die Aufgabe über die Normalgleichungen. Verwenden Sie hierbei Gauÿ-Elimination um die Wurzelbildung in der Cholesky-Zerlegung beim Kopfrechnen zu vermeiden. Bemerkung: Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der tatsächlichen Entfernung Zürich St. Gallen, welche ca. 85 km beträgt und in obiger Tabelle nicht auftritt. Als Matrix und rechte Seite des Ausgleichsproblems ergibt sich A = 0 0, b =

5 In den Normalgleichungen erhalten wir A A = 2, A b = Die LR-Zerlegung von A A lautet L = 3 0, R = Als Lösung folgt x = , x 2 = , x 3 = Die Abweichung von x 2 78 zum tatsächlichen Entfernungswert von etwa 85 beträgt ca 8%. 5