r 11 r 12 r 13 0 r 22 r r 33 l ik r kj die Gleichungen: k= (II) 2 (I) = 3 2 1

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1 Tecnisce Universität Berlin Wintersemester 004/005 Fakultät II; Institut für Matematik Prof. Dr. G. Bärwolff/C. Mense Probeklausur zur LV Numerik für Informatiker en Aufgabe a Berecnen Sie die LU-Zerlegung (one Pivotsuce der folgenden Matrix: A b Lösen Sie mit Hilfe der LU-Zerlegung aus a das lineare Gleicungssystem Ax b für b (8,, 35 T. c Warum ist Pivotisierung bei der LU-Zerlegung für mance nictsinguläre Matrizen notwendig? Geben Sie ein einfaces Beispiel an, wo Pivotisierung notwendig ist. a Da } 9 0 {{ 6 } A 0 0 l 0 l 3 l 3 } {{ } L r r r 3 0 r r r 33 } {{ } R gelten soll, ergibt sic somit durc a ij 3 k 3 r r 3 r + 0 r r r r r 33 r 3 6 l l 6 + r r 3 + r r 33 r 3 9 l l l l l r 33 r 3 Somit lautet die LU-Zerlegung: L bzw. R l ik r kj die Gleicungen: Alternativ: Mit dem Gaußverfaren erält man (II (I (III 3 (I (III (II Mit den Koeffizienten, 3 bzw. und dem Ergebnis des Gauß-Eliminationsverfarens erält man L bzw. R

2 b Als des linearen Gleicungssystems erält man aus Ax b LUx b Ly b und Rx y scließlic mittels Vorwärts- bzw. Rückwärtseinsetzen die : y y y 3 x x x y y y 3 x x x c Scon bei dem ser einfacen Gleicungssystem, wie z.b.: ( ( ( 0 x 9 4 y funktioniert die LR-Zerlung one Pivotisierung nict.

3 Aufgabe Es seien A 0.9. (.9, b., b ( a Geben Sie die en x bzw. x der Gleicungssysteme Ax b bzw. A x b an. b Bestimmen Sie die relativen Feler in x und b in einer beliebigen Vektornorm.. c Erklären Sie den verältnismäßig großen relativen Feler in x in Bezug zum verältnismäßig kleinen relativen Feler in b. a der LGS s ( x ( x b Relativer Feler in b ( 0. b b ( b.9.. Relativer Feler in x ( x x ( x c Inverse von A det(a A Kondition von A A κ(a A A. 0 A Abscätzung x x b κ(a b x b Wie man der obigen Abscätzung ansiet, verstärkt die Kondition der Matrix den relativen Feler in b. So kann es zu dem verältnismäßig großen relativen Feler in x kommen.

4 Aufgabe 3 Die Funktion f(x cos x soll im Intervall π/, π/ interpoliert werden. a Ist eine lineare Interpolation mit den Intervallenden als Stützstellen sinnvoll? Bergründen Sie ire Aussage. b Man bestimme das interpolierende Polynom p zu den Stützstellen π/, 0 und π/. c Mit Hilfe von p bestimme man eine Näerung für π/ f(xdx und vergleice mit dem exakten Wert. π/ a Die lineare Interpolation mit den Intervallenden als Stützstellen ist nict sinnvoll, da die Funktion in den Intervallenden jeweils den Wert Null at, allerdings im offenen Intervall ect größer als Null ist. b Eine Möglickeit das Interpolationspolynom zu bestimmen ist, das folgende Vorgeen: Gesuct ist p(x k a + bx k + cx k y k, k,, 3. Dies fürt auf das lineare Gleicungsystem π/ ( π/ 0 0 a b 0 π/ (π/ c 0 Mit dem Gaussalgoritmus erält man ( a, b, c T ( p(x x (π/ 4 π x., 0, (π/ T und somit das Polynom Natürlic kann dieses Polynom auc mittels Lagrange-Interpolation bestimmt werden. c Es ergibt sic π π ( 4 π x dx x 4 3π x3 π π 3 π.0944 und π π cos x dx sin x π π so dass sic ein Feler von e ergibt.

5 Aufgabe 4 Gegeben sei das Anfangswertproblem y (t y (t + t y(t, y(t 0 ν 0, y (t 0 ν. a Reduzieren Sie das Anfangswertproblem durc Hinzuname zusätzlicer Variablen auf ein Anfangswertproblem für ein System erster Ordnung. b Füren Sie einen Scritt des expliziten Eulerverfarens durc. Dabei sei t 0 0, und ν 0 ν. c Füren Sie einen Scritt des impliziten Eulerverfarens durc. Dabei sei t 0 0, und ν 0 ν. a Mit den Variablen y (t y(t und y (t y (t erält man für y ( y y das System. Ordnung ( ( y F (t, y, F ν0 (t, y b Das explizite Newton-Verfaren y k+ y k + F (t k, y k, k 0,,,... ergibt für t 0 0 und ν 0 ν ( ( ( y +. 0 ( y 0 y + t y t c Wir verscieben aus Übersictsgründen den Iterationsindex nac oben: y (k+ y (k + F (t (k+, y (k+, k 0,,,... ( y y, y(t 0 ν. ergibt für t (0 0 und ν 0 ν ( y ( y ( ( ( 0 y ( + mit der y ( y ( y ( ( 3. ( y ( y ( ( ( y ( y ( (,

6 Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Ordnung der Approximation y(x + y(x y (x, d.. bestimmen Sie das minimale p N mit y(x+ y(x y (x O( p, wobei die. Ableitung von y(x als bescränkt vorausgesetzt wird. Nac dem Satz von Taylor gibt es eine Zal ξ zwiscen x und x +, so dass y(x + y(x + y (x + y (ξ gilt. Damit erält man y(x + y(x also die Ordnung p. Alternativ Es gilt: y (x y (ξ : O(, Also y(x + y(x + y (x + y (x + O( 3 y(x + y(x y (x y (x + O( 3 O( Also ist die Ordnung p. y(x + y(x y (x O(

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