Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Grüne Greise Bäume aus Sicht der Mathematik. Michael Piechatzek, Dortmund VORANSICHT.

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1 Reihe 36 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Grüne Greise Bäume aus Sicht der Mathematik Michael Piechatzek, Dortmund Der Sommer kommt nach Kampen. Klasse: 9 Dauer: Inhalt: 6 8 Stunden Volumen und Mantelläche eines Kegelstumpfes, logistisches Wachstum, Prozentrechnung, quadratische Funktionen, Strahlensätze, Trigonometrie Ihr Plus: Vielfältige Anwendungen wie Stockpeilung, Försterdreieck und Jakobsstab Foto: Pixelio, Thorben Wengert Zahnstocher, Streichhölzer, Möbel, Musikinstrumente und Holzleitern viele Gebrauchsgegenstände aus unserem Alltag sind aus dem Rohstoff Holz gefertigt. Im Wohnzimmer schafft ein Holzfeuer im Kamin wohlige Wärme. Bäume als Holzlieferanten sind daher nützlich. Bäume wandeln aber auch CO 2 in Sauerstoff um. Deshalb sind grüne Wälder in Zeiten des Klimawandels und als Erholungszonen lebensnotwendig und besonders schützenswert. Wiederholen Sie zentrale Themen der Mittelstufe und vermitteln Sie Ihren Schülern nebenbei allerhand Wissenswertes rund um unsere Schattenspender!

2 Reihe 36 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise Die Materialien M 1 bis M 9 vermitteln den Schülern wesentliche Begriflichkeiten rund um den Baum. Dabei wiederholen sie folgende mathematische Inhalte: Volumen und Mantelläche eines Kegelstumpfes, Pythagoras, die Wachstumsfunktion für logistisches Wachstum (Beispiel: Eichenwachstum), die Prozentrechnung (Beispiel: Heizwert und Holzfeuchte) und den Dreisatz, die Strahlensätze (Beispiel: Stockpeilung und Försterdreieck), trigonometrische Begriflichkeiten, die Geschichte und Anwendung des Jakobsstabs und quadratische Funktionen (Beispiel: Modellierung eines Mammutbaumes). Begriffe wie Rindenverwertung, Heizwert und Holzfeuchte (= Feuchtigkeit des Holzes) werden eingeführt. Das Wachstum eines Baumes beschreiben die Schüler mithilfe einer mathematischen Funktion. Außerdem lernen sie verschiedene Raummaße für Holz kennen. Methode Partnerarbeit oder Arbeit in Kleingruppen Beachten Sie jedoch, dass die Materialien M 3 und M 4 auf M 1 aufbauen. Ablauf fördern Sie jeden Schüler individuell! Die Unterrichtseinheit beginnt mit der Beschreibung der ältesten Eiche Deutschlands. Die Aufgaben verlangen von den Schülern, grundlegende mathematische Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 anzuwenden: Neben der Berechnung des Volumens und der Mantelläche eines Kegelstumpfes geht es um den Satz des Pythagoras, Prozentrechnen und den Dreisatz, nämlich bei der Verarbeitung von Rinde zu Kork. Anschließend bekommen die Schüler einen Einblick in die Raummaße für Holz und stellen Bezüge zwischen den einzelnen Maßen her (M 1). Die folgenden Materialien eignen sich für Partnerarbeit oder die Arbeit in Kleingruppen. Die Gruppen teilen Sie vorab ein. Angedacht ist, dass jede Gruppe einen Kurzvortrag zu ihrem Thema ausarbeitet und diesen der Klasse vorstellt. So werden alle Themen wiederholt und gefestigt. Die Übungsaufgaben dienen der Selbstkontrolle. Selbstverständlich können Sie die Materialien aber auch gemeinsam mit der Klasse bearbeiten. M 2 beschäftigt sich mit dem logistischen Wachstum einer Eiche und lässt die Schüler mit der vorgegebenen Funktion arbeiten. Durch Berechnung des Symmetriezentrums und des y-achsenabschnittes der Funktion bekommen die Schüler ein Gespür für den Umgang mit Funktionen, welches eventuell auch bei der Bearbeitung von M 9 hilfreich ist. M 2 ist für fortgeschrittene Schüler gedacht. M 3 und M 4 behandeln die Prozentrechnung. Die Schüler entnehmen die relevanten Werte aus Texten. Sie verknüpfen verschiedene angegebene Werte und entwickeln eine Beispielrechnung (M 3) bzw. vollziehen eine solche nach (M 4). Diese beiden Materialien sind für leistungsschwächere Schüler geeignet, die besonders im Bereich des Fundaments Kenntnisse wiederholen müssen. M 5 und M 6 stellen Anwendungen aus dem Alltag vor. Die Schüler sollen das Prinzip der Stockpeilung (M 5) mithilfe der Strahlensätze erklären und diese auch auf das Försterdreieck (M 6) anwenden. Sie leiten eine Formel zur Berechnung der Größe eines Baumes

3 Reihe 36 S 4 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick Einstieg: Text über die älteste Eiche Deutschlands Material M 1 Thema Sagenumwoben Deutschlands älteste Eichen Volumen und Mantelläche eines Kegelstumpfes; Prozentrechnung; Pythagoras; Dreisatz Kurzvorträge rund um das Thema Baum vorbereiten Material M 2 M 3 M 4 Thema Wenn die Eiche wächst Baumwachstum beschreiben Das Wachstum einer Eiche durch logistisches Wachstum beschreiben; Berechnungen mit dieser Funktion durchführen Energie durch Brennholz der Heizwert von Holz Den Heizwert von Brennholz kennenlernen; sich ein Schema zur Berechnung des Heizwertes erarbeiten; Brennholz und Heizöl vergleichen und mithilfe von Argumenten entscheiden, welcher Brennstoff geeigneter ist Nasses Holz, aber wie nass? Die Holzfeuchte berechnen Die Holzfeuchte von Holz bestimmen Stockpeilung, Försterdreieck und Jakobsstab Anwendungen aus dem Alltag Material Thema M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 Die Stockpeilung erster oder zweiter Strahlensatz? Die Methode der Stockpeilung kennenlernen; einen Bezug zu den Strahlensätzen herstellen und begründet entscheiden, um welchen der beiden Strahlensätze es sich handelt Das Försterdreieck die Strahlensätze anwenden Sich die Messung mithilfe des Försterdreiecks aneignen; einen Bezug zu den Strahlensätzen herstellen; eine Formel zur Höhenberechnung eines Objektes (z. B. eines Baumes) herleiten Die Geschichte und das Prinzip des Jakobsstabes Die Geschichte und das Prinzip des Jakobsstabs kennenlernen; den Fingern an der zur Peilung verwendeten Hand Winkel zuordnen Trigonometrische Berechnungen mit dem Jakobsstab Den Jakobsstabs erkunden; herausinden, über welche trigonometrischen Beziehungen man die Größe eines Baumes berechnen kann Eine grüne Parabel quadratische Funktionen Die Form eines Mammutbaumes durch eine Parabel beschreiben; den Umgang mit einer quadratischen Funktion einüben und selbstständig eine quadratische Funktion zur Modellierung der Form eines Baumes aufstellen

4 Reihe 36 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Sagenumwoben Deutschlands älteste Eichen Groß, knorrig, sagenumwoben und ein Stammdurchmesser jenseits der Dreimetermarke der für seine knapp 1000-jährigen Eichen bekannte Park von Ivenack/Stavenhagen in Mecklenburg- Vorpommern ist der Heimatort der ältesten Eiche Deutschlands. Mit geschätzten 1000 Jahren, einer Höhe von 35,5 m und einem Stammdurchmesser von circa 3,5 m bildet sie mit vier Altersgenossen die Reste eines mittelalterlichen sogenannten Hudewaldes 1. Ein gesunder alter Baum kann etwa 10 bis 20 Menschen pro Tag mit Sauerstoff versorgen 2. Die Eiche hat aber auch für die Herstellung von Tischplatten, Fußböden und Furnieren eine große Bedeutung. Durch den hohen erreichbaren Heizwert 3 ist Eichenholz als Brennstoff gut geeignet. Selbst die Baumrinde indet Verwendung in der Korkproduktion. Ein alter Eichenstamm Aufgaben Holzmasse, Rindenverwertung und Raummaße für Holz Angenommen ein Sägewerk bekäme den Stamm der ältesten Eiche Deutschlands zur Verarbeitung und sollte die ersten 15 m des Stammes zu Brettern verarbeiten. Der Stamm hat am Boden einen Durchmesser von 3,49 m und in 15 m Höhe von noch circa 1 m. 1. Mit welchem Gewicht ist zu rechnen, wenn man von einer durchschnittlichen Rohdichte von 0,65 g/cm³ ausgeht und mit 15 % 4 Verschnitt durch Rinde, Astlöcher etc. rechnet? Angenommen, es würde sich um eine Korkeiche handeln, dann wäre die Korkindustrie an der Rinde zur Verarbeitung zu Korkfußböden oder Flaschenkorken interessiert. 2. Wie viel m² Korkfußboden kann man aus der Rinde dieses Stammabschnitts herstellen, wenn 15 % der Rohrinde aufgrund von Unbrauchbarkeit wegfallen und für 1 m 2 Korkfußboden 1,5 m² Baumrinde gebraucht werden? Foto: Pixelio, D. Schütz Raummaße für Holz Festmeter (fm) Raummeter (rm) oder Ster Schüttraummeter (srm) Der Festmeter Holz entspricht genau einem Kubikmeter (m 3 ) Holzmasse ohne Zwischenräume in der Schichtung. Beim Raummeter Holz handelt es sich um aufgestapeltes Holz (mit Zwischenräumen). Der Stapel hat die Maße 1 m 1 m 1 m. Ein Raummeter entspricht etwa 0,7 Festmetern (m 3 ) 5. Der Schüttraummeter hat ebenfalls die Maße 1 m 1 m 1 m. Hierbei handelt es sich um lose geschüttetes Holz. Ein srm entspricht in etwa 0,65 Raummetern, also 0,455 Festmetern (m 3 ). Ein Schüttraummeter Rotbuchenholz kostet im Schnitt 147 und ein Schüttraummeter Eichenholz Wie teuer ist ein Raummeter Rotbuchen- bzw. Eichenholz? 4. Wie teuer ist dann ein Festmeter dieser beiden Holzarten?

5 Reihe 36 Verlauf Material S 3 LEK Glossar Lösungen M 3 Energie durch Brennholz der Heizwert von Holz Als Brenn- oder Energieholz bezeichnet man Holz, das zum Heizen oder zur Erzeugung von Strom genutzt wird. Holz ist der älteste Brennstoff. Bereits die Neandertaler nutzten ihn vor circa Jahren. Durch andere Rohstoffe verdrängt, wird es im 21. Jahrhundert wieder zunehmend als Brennstoff eingesetzt. Feuer im Kamin schafft eine gemütliche Atmosphäre. Neben der Brenndauer ist insbesondere der Heizwert des Holzes von Interesse. In der Regel wird er in der Maßeinheit kwh/kg, also Kilowattstunden pro Kilogramm, angegeben. Zur Ermittlung des Heizwertes spielt die Dichte des Holzes kaum eine Rolle im Gegensatz zum Wasseranteil. Um den Heizwert von feuchtem Holz zu berechnen, errechnet man zuerst den Heizwert der Trockenmasse und subtrahiert anschließend die Energie, die zum Verdampfen des Wassers benötigt wird. Diese liegt bei 0,63 kwh/kg Wasser. Absolut trockenes Laubholz hat einen Heizwert von etwa 5 kwh/kg. Der Heizwert von Nadelholz liegt aufgrund einer anderen chemischen Zusammensetzung mit 5,2 kwh/kg etwas höher. Aufgaben 1. Erkläre, wie man den Heizwert von feuchtem Holz berechnet. Fülle dazu die folgende Tabelle aus. Beispielsrechnung für den Heizwert von 1 kg Nadelholz mit 20 % Wassergehalt: Heizwert der absoluten Trockenmasse minus Brennholz gebündelt Verdampfungswärme des Wasseranteils gleich absoluter Heizwert des Brennholzes Foto: Pixelio = Der absolute Heizwert des Nadelholzes liegt bei circa 4,03 kwh. Überprüfe dein Ergebnis anhand dieses Wertes und rechne gegebenenfalls noch einmal nach. 2. Berechne den Heizwert eines Raummeters Laubholzes von der Eiche mit einer Rohdichte von 670 kg/m³ bei einer Holzfeuchte von 12 %. Die Holzfeuchte entspricht gerundet einem Wassergehalt von 10,5 %. 3. Michael berichtet: Wir haben im kalten Winter 2008/2009 insgesamt 4,5 srm Buchenholz verbraucht. Die Heizperiode erstreckte sich von Anfang September bis Ende März. Beheizt wurde unser 40 m² großer Wohnraum. Das Holz kostete uns 300. a) Berechne den Heizwert des Buchen-Laubholzes, wenn man von einem Wassergehalt von circa 17 % ausgeht. Die Dichte von Buchenholz liegt bei etwa 740 kg/m³. b) Ein Raummeter trockenes Laubholz ersetzt 200 l Heizöl. Der Preis für einen Liter Heizöl liegt bei circa 0,65. Ist es günstiger, mit Heizöl zu heizen? Was spricht für, was spricht gegen den Einsatz von Brennholz?

6 Reihe 36 Verlauf Material S 7 LEK Glossar Lösungen M 7 Die Geschichte und das Prinzip des Jakobsstabes Im Späten Mittelalter verwendete man zur Höhen- und Breitenbestimmung sowie zur Winkelmessung in der Astronomie den sogenannten Jakobsstab. Dieser Name leitet sich vom Wanderstab der Jakobspilger ab, dem er sehr ähnlich war. Erstmals taucht der Jakobsstab im Jahre 1342 in einer Beschreibung des jüdischen Gelehrten Levi ben Gershon auf. Das Instrument wurde bei der Bestimmung der geograischen Breite des Polarsterns, zur Ortsbestimmung von Kometen und in der Seefahrt eingesetzt. Erst im 18. Jahrhundert wurde es durch den Spiegeloktanten von J. Hadley abgelöst. Der Jakobsstab besteht aus einem langen Stab, welcher unterhalb des Auges am Jochbein angesetzt wird. Der Querstab ist verschiebbar. Auf dem Längsstab sind die den einzelnen Positionen des Querstabes entsprechenden Winkel eingetragen. Beispiel: Das Prinzip des Jakobsstabs Die Außenkanten des zu vermessenden Objekts, also in unserem Fall des Baumes, werden unter einem bekannten Winkel anvisiert. Anschließend kann die Breite bzw. die Höhe des Baumes bestimmt werden, wenn die Entfernung zwischen dem Baum und dem Betrachter bekannt ist. Winkelmessung mit dem Jakobsstab, aus Introductio geographica des Peter Apian, 1532 Foto: Wikipedia Winkelmessen funktioniert auch mit dem ausgestreckten Arm. Dabei hilft dir folgende Übersicht: Aufgabe Vervollständige die fehlenden Angaben (durch Probieren). 2 a) b) 10 c)

7 Reihe 36 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 1 Sagenumwoben Deutschlands älteste Eichen 1. Man betrachtet den Stamm als Kegelstumpf mit einer Höhe h = 15 m. Der untere Radius R beträgt 3,49 m : 2 = 1,745 m und der obere Radius r beträgt 1 m : 2 = 0,5 m. V = h π 15 (R² + R r + r²) π = (1, 745² + 1, 745 0,5 + 0,5²) m³ = 65,46 m³ 3 3 0,65 g/cm³ entsprechen 0,65 t/m³. Daraus ergibt sich: 65,46 m³ 0,65 t/m³ = 42,55 t. Es müssen noch 15 % Verschnitt abgezogen werden: 42,55 t Es ist mit einem Gewicht von 36,17 t zu rechnen. (100 15) 100 = 36,17 t. 2. Man muss die Mantelläche M des Kegelstumpfes berechnen. Dafür benötigt man die Länge der Mantellinie s. Diese lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen: s² = h² + (R r)² s² = 152 m 2 + (1,745 0,5)² m 2 s² = ( ,245²) m 2 = 226,55 m 2 s = 15,0516 m 15,05 m Die Mantelläche M wird folgendermaßen berechnet: M = (R + r) π s = (1, ,5) π 15,0516 m 2 = 106,157 m 2 106,16 m 2 Nun gilt es noch, 15 % abzuziehen: 106,157 m 2 0,85 = 90,23 m². Als Nächstes wird die Mantelläche mithilfe des Dreisatzes auf den Bedarf für den Korkfußboden umgerechnet, also: 90,23 m² : 1,5 = 60,16 m². Also würden circa 60 m² Korkfußboden entstehen. 3. Rotbuche: 147 : 0, pro Raummeter; Eiche: 130 : 0,65 = 200 pro Raummeter. 4. Rotbuche: (147 : 0,65) : 0,7 323 pro Festmeter; M 2 Eiche: (130 : 0,65) : 0,7 286 pro Festmeter. Wenn die Eiche wächst Baumwachstum beschreiben 1. Richtige Reihenfolge: exponentiell, begrenztes, logarithmische Annäherung. Zunächst wächst die Eiche annähernd exponentiell. Anschließend geht das Wachstum in ein begrenztes Wachstum über. Zum Ende hin erfolgt eine annähernd logarithmische Annäherung an die Wachstumsgrenze. 2. Zu berechnen ist hier der Funktionswert an der Stelle t = 0. ( 0 40 ) 1,04 f(0) = 35 = 6,03 m 6 m 1 1,04 ( 0 40 ) + Zu Beginn der Aufzeichnungen betrug die Höhe der Eiche in etwa 6 m. 3. M (m c ) (gemäß dem kurzen Informationstext auf dem Arbeitsblatt). 2 c = 35 liest man aus der Funktionsvorschrift ab; 35 : 2 = 17,5 M (m 17,5)