Diskrete dynamische Systeme in der Populationsgenetik Hofbauer J., und Sigmund K.: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge

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1 Diskrete dynamische Systeme in der Populationsgenetik Hofbauer J., und Sigmund K.: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge Dominik Urig Saarbrücken, den

2 Inhaltsangabe 1 Biologische Grundbegriffe 2 Ziel des Vortrags 3 Hardy-Weinberg-Gesetz 4 Selektionsmodell 5 Beispiel: Fall mit zwei Allelen 6 Mutations-Selektions-Gleichung 7 Selektions-Rekombinations-Gleichung 8 Fazit

3 Biologische Grundbegriffe Alle Zellen enthalten einen Zellkern (besteht aus DNA und Proteinen), im Zellkern sind Erbinformationen in Form von Chromosomen gespeichert, Chromosome kommen in homologen Paaren vor, homolog bedeutet sie sind gleich aufgebaut, Chromosomenanzahl von Spezies abhängig, beim Menschen 46 (davon zwei Geschlechtschromosome), Zellen sind entweder haploid oder diploid, d.h. der Chromosomensatz einer Zelle ist einfach bzw. doppelt vorhanden, haploide Zellen sind Geschlechtszellen, entstehen aus diploiden Zellen durch Meiose.

4 Biologische Grundbegriffe Quelle: Zunächst werden Chromosome zu haploiden Zellen mit doppeltem Chromosomensatz getrennt, dann werden diese sog. Schwesterchromatiden getrennt und es entstehen haploide Tochterzellen. Bei der Befruchtung vereinigen sich zwei haploide Geschlechtszellen zur sog. Zygote.

5 Biologische Grundbegriffe Genotyp = Erbgut, Genlocus = Stelle auf den Chromosomen, wo sich das Gen befinden, Allele (A 1,..., A n ) = mögliche Ausprägung eines Gens, befinden sich auf dem Genlocus: Mensch hat doppelten Chromosomensatz in diploiden Zellen sind zwei Allele, 1. A i A i Genotyp ist homozygot, 2. A i A j Genotyp ist heterozygot (i j), evtl. ist A i dominant und A j rezessiv A i A j manifestiert sich als A i A i, dies kann sich jedoch vom homozygoten Ausdruck unterscheiden, A i A j = A j A i, Konvention: erst Gen des Vaters, dann das der Mutter (A i, A j ) und (A j, A i ) unterschiedlich, obwohl beide Genotyp A i A j bezeichnen.

6 Biologische Grundbegriffe Fitness: Maß für Anpassung eines Genotyps an die Umwelt bzw. an die Lebensumstände ( Überlebenstüchtigkeit ), steigende Nachkommenzahl bessere Anpassung, (Gen-)Frequenz: relative Häufigkeit der Kopien eines Allels in einer Population, wenn niedrig genetische Vielfalt.

7 Ziel des Vortrags Die Frequenz und den Zuwachs einer Population im Laufe der Zeit, unter Berücksichtigung verschiedener Evolutionsfaktoren, zu beschreiben bzw. zu berechnen.

8 Hardy-Weinberg-Gesetz Annahme: keine Evolutionsfaktoren, nur theoretisches Konstrukt, kommt in der Natur nicht vor. x i = Frequenz von A i (i = 1,..., n), n i=1 x i = 1, x ij = Frequenz des Genpaares (A i, A j ), wobei (1 i, j n), zufällig gewähltes Gen mit Wahrscheinlichkeit 1 2 an erster oder zweiter Stelle, z.b ist A i die erste Stelle des Genpaares (A i, A j ) = x i = 1 x ij + 1 x ji. 2 2 j j

9 Hardy-Weinberg-Gesetz x i, x ij bezeichnen die Frequenzen in der nächsten Generation, x ij = x i x j wenn sich die Gene zufällig verbinden, wobei dann das väterliche Gen mit Wahrscheinlichkeit x i vom Typ A i und das Mütterliche mit x j vom Typ A j ist = x i = 1 x ij j j x ji = 1 2 ( j x i x j + j x j x i ) = j x i x j = x i.

10 Hardy-Weinberg-Gesetz Gesetz lässt sich wie folgt formulieren: (Allel-)Frequenzen bleiben von Generation zu Generation gleich, Frequenz des homozygoten Genotyps A j A j ist durch x 2 j gegeben, die des heterozygoten Genotyps A i A j, wobei (i j), ist durch 2x i x j gegeben. Dies beschreibt kein dynamisches System, da keine Evolutionsfaktoren vorhanden sind und sich daher keine Zustände ändern.

11 Selektionsmodell Selektion = Reduzierung des Fortpflanzungserfolgs bestimmter Individuen, verursacht durch äußere Einflüsse, den sog. Seletionsfaktoren = ab sofort altern Genotypen unterschiedlich gut und Erbanlagen werden mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit an Folgegenerationen weitergegeben.

12 Selektionsmodell w ij = selektiver Wert, bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der (A i, A j ) bis ins Erwachsenenalter überlebt, w ij 0, w ij = w ji, da (A i, A j ) und (A j, A i ) den gleichen Genotyp haben N = Anzahl der Zygoten in der neuen Generation, x i x j N tragen das Genpaar (A i, A j ), w ij x i x j N überleben bis ins Erwachsenenalter, n r,s=1 w rsx r x s N 0 Individuen erreichen Paarungsphase.

13 Selektionsmodell x i = Frequenz der Allele A i in der Erwachsenphase der neuen Generation, x ij = Frequenz des Genpaares (A i, A j ) in der Erwachsenenphase der neuen Generation = x ij = w ij x i x j N n r,s=1 w rsx r x s N, für x ji ist der Ausdruck gleich, da w ij = w ji.

14 Selektionsmodell Dann ist x i = j x ij = w ij x i x j N n j r,s=1 w rsx r x s N j = x w ijx j N i n r,s=1 w rsx r x s N. Dies beschreibt ein dynamisches System x x, nämlich x i = x i (Wx) i xwx, wobei sich die durschschnittliche Fitness, w = xwx, in jeder Folgegeneration erhöht, d.h. w( x) w(x).

15 Beispiel: Fall mit zwei Allelen A 1 : x 1 = p A 2 : x 2 = p 1, F(p) = a 1 a 1 +a 2 beschreibt x i = x i (Wx) i xwx mit a 1 = p(w 11 p + w 12 (1 p)), a 2 = (1 p)(w 12 p + w 22 (1 p)), die durschnittliche Fitness von F(p) ist w(p) = a 1 + a 2 = p 2 ((w 11 w 12 ) + (w 22 w 12 )) 2p(w 22 w 12 ) + w 22, stationäre Punkte von F(p) sind Endpunkte von [0, 1], kritische Punkte (0, 1), dafür gibt es zwei Möglichkeiten.

16 Beispiel: Fall mit zwei Allelen 1. generativer Fall: 1. Fall: w 12 = 1 2 (w 11 + w 22 ) w(p) = w 22 (1 p) + w 11 linear, Steigung 0 p konvergiert gegen 0 oder 1 Homozygote mit größter Fitness wird bekannt 2. Fall: w 11 = w 12 = w 22 (Selektion bewirkt nichts) w(p) = w 22 konstant, alle Punkte sind stationäre Punkte.

17 Beispiel: Fall mit zwei Allelen 2. allgemeiner Fall: w (w 11 + w 22 ) w(p) ist eine Parabel, Extrempunkt p = w 22 w 12 (w 11 w 12 ) + (w 22 w 12 ), wenn (w 11 w 12 )(w 22 w 12 ) 0 p / (0, 1) wenn (w 11 w 12 )(w 22 w 12 ) > 0 p stationärer Punkt und es sind zwei Fälle möglich 1. heterozygote Überlegenheit (w 12 > w 11 w 12 > w 22 ) Maximum von w(p) bei p, 2. sonst Minimum.

18 Beispiel: Fall mit zwei Allelen Frequenzänderung innerhalb einer Generation ist bei diesem Modell gegeben durch F(p) (p) = p(1 p) 2 w(p) d dp w(p).

19 Mutations-Selektions-Gleichung Allele können mutieren genetische Variationen, Anpassung an neue Bedingungen. Neues Modell: ein-locus-zwei-allelen A 1 und A 2 neutral gewählt, Frequenzen p bzw. 1 p, µ = Mutationsrate von A 1 zu A 2, ν = Mutationsrate von A 2 zu A 1, Frequenz von A 1 in der nächsten Generation: G (p) = p µp + ν (1 p) = (1 µ ν) p + ν, dies beschreibt ein dynamisches System auf [0, 1].

20 neue Annahme: alle Selektionen zwischen Zygote und Erwachsenenstadium, mögliche Mutationen während Meiose. Mutations-Selektions-Gleichung Beim Modell mit zwei Allelen wurde Frequenz p von A 1 nach einer Generation mittels F(p) berechnet, hier mittels G(p), wenn die Mutation der einzige Evolutionsfaktor ist. Verknüpft man beide Funktionen erhält man die Frequenz p von A 1 nach einer Generation in diesem Modell: p = (G F)(p) = (1 µ ν) F (p) + ν, in der Regel sind µ und ν klein 1 µ ν > 0, F monoton, da w( x) w(x) G F monoton.

21 Mutations-Selektions-Gleichung Wir setzen Φ (p) = p 2ν (1 p) 2µ w (p) 1 µ ν, wobei w die durschnittliche Fitness ist, dann ist G(p) p = p(1 p) 2Φ(p) d dp Φ(p) Frequenzänderung wird ähnlich berechnet wie im Beispiel mit zwei Allelen, wo nur die Selektion wirkt, die Funktion Φ erhöht sich auch in jeder Folgegeneration keine Mutation (µ = ν = 0) Anstieg der durschnittlichen Fitness, keine Selektion (z.b. wenn Fitness konstant) Φ (p) = p 2ν (1 p) 2µ.

22 Selektions-Rekombinations-Gleichung Während Meiose kann es zu einer Rekombination (dem sog. Cross-Over) von genetischem Material kommen, Quelle für genetische Vielfalt, dabei entstehen neue Genkombinationen: Quelle: Hofbauer J., Sigmund K., Evolutionary Games and Population Dynamics

23 Selektions-Rekombinations-Gleichung neue Annahme: Allele A 1 und A 2 gehören zum ersten genetischen Locus, B 1 und B 2 zum zweiten die mögliche Keimzellen sind A 1 B 1, A 2 B 1, A 1 B 2, A 2 B 2, diese werden mit G 1 bis G 4 bezeichnet, Frequenzen im Zygotenstadium mit x 1 bis x 4, Stadium des Keimzellenpools wird durch den Punkt (x 1, x 2, x 3, x 4 ) beschrieben, jedes Individuum entsteht durch Verbindung eines G i - Spermiums mit einer G j - Eizelle und wird mit ( Gi, G j ) bezeichnet, w ij = Fitness von ( G i, G j ), w ij = w ji.

24 Selektions-Rekombinations-Gleichung A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 2 B 1 B 1 w 11 w 12 = w 21 w 22 B 1 B 2 w 13 = w 31 w 14 = w 41 = w 23 = w 32 w 24 = w 42 B 2 B 2 w 33 w 34 = w 43 w 44 Cross-Over hat keine Wirkung, wenn Individuum auf mindenstens einem Locus homozygot, Rekombination ändert nur etwas, wenn Individuum doppelt-heterozygot.

25 Selektions-Rekombinations-Gleichung x j = Wahrscheinlichkeit mit der sich G i mit G j verbindet, neues Individuum hat Fitness w ij, w i = j w ijx j = (Wx) i ist die Fitness der Keimzelle G i, durchschinttliche Fitness ist w = i w ix i = i,j w ijx i x j, r = Wahrscheinlichkeit eines Cross-Overs.

26 Selektions-Rekombinations-Gleichung Die Frequenzen der Keimzellen in der nächsten Generation sind wobei x 1 = 1 w (x 1w 1 rbd), x 2 = 1 w (x 2w 2 + rbd), x 3 = 1 w (x 3w 3 + rbd), x 4 = 1 w (x 4w 4 rbd), b = w 23 = w 32 = w 14 = w 41, D = x 1 x 4 x 2 x 3. Für r = 0 erhält man wieder das dynamische System x i = x i (Wx) i xwx.

27 Sowohl die Frequenz als auch der Zuwachs sind abhängig von den wirkenden Evolutionsfaktoren, wobei die Formeln zur Berechnung des Zuwachses ähnlich sind und die Berechnung der Frequenzen von der Fitness bzw. der durchschnittlichen Fitness abhängt. Fazit

28 Genkopplung Genkopplung bedeutet, dass manche Gene im Laufe mehrerer Generationen gemeinsam vererbt werden, D = x 1 x 4 x 2 x 3 ist der sog. Genkopplungs-Unausgeglichenheits-Koeffizient, Frequenzen der Allele A 1, A 2, B 1 und B 2 sind x 1 + x 3, x 2 + x 4, x 1 + x 2 und x 3 + x 4, x 1 x 4 x 2 x 3 = x 1 (x 1 + x 3 )(x 1 + x 2 ) D = Pr(A 1 B 1 ) (PrA 1 )(PrB 1 ), D = 0 gdw Pr(A 1 B 1 ) = (PrA 1 )(PrB 1 ), in diesem Fall spricht man davon, dass sich die Population im Genkopplungs - Gleichgewicht befindet.

29 Genkopplung D verschwindet für die Stadien, die zur Wright Manigfaltigkeit gehören: W = {x S 4 : x 1 x 4 = x 2 x 3 } Quelle: Hofbauer J., Sigmund K., Evolutionary Games and Population Dynamics

30 Genkopplung Wenn alle w ij gleich sind, dass ist der Fall wenn keine Selektion stattfindet, dann sind die Frequenzen in der nächsten Generation: x 1 = x 1 rd, x 2 = x 2 + rd, x 3 = x 3 + rd, x 4 = x 4 rd, und D ist in der nächsten Generation gegeben durch D = x 1 x 4 x 2 x 3 = (1 r)d.

31 Genkopplung D = 0 D = 0, W ist invariant, eine Population im Genkopplungs - Gleichgewicht bleibt für immer darin, für r > 0 konvergiert D gegen 0, Stadien von W sind eindeutig durch die allelischen Häufigkeiten von A 1 und B 1 bestimmt, wennn die Population der Selektion ausgesetzt ist, ist W im Allgemeinen nicht invariant und die Stadien müssen nicht zum Genkopplungs - Gleichgewicht konvergieren.