Mathematik. Zentrale schriftliche Abiturprüfung Grundkurs Aufgabenvorschlag. Aufgabenstellung 1. Aufgabenstellung 2. Aufgabenstellung 3

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabenvorschlag Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewer zur Rechtschreibung der deutschen Sprache Formelsammlung, die an der Schule eingeführt ist bzw. für Berlin von der zuständigen Senatsverwaltung für die Verwendung im Abitur zugelassen ist. Taschenrechner, die nicht programmierbar und nicht grafifähig sind und nicht über Möglicheiten der numerischen Differenziation oder Integration oder des automatisierten Lösens von Gleichungen verfügen Minuten inl. Lese- und Auswahlzeit Aufgabenstellung Thema/Inhalt: Hinweis: Analysis Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung Thema/Inhalt: Hinweis: Analytische Geometrie Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung Thema/Inhalt: Hinweis: Stochasti Wählen Sie eine der beiden Aufgaben. oder. zur Bearbeitung aus. Seite von _Ma_GK_Aufgaben

2 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Bienen,t Die Funtion b mit b( t) = e beschreibt für t näherungsweise die Anzahl der Bienen in einem Bienenvol im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist t die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und b (t) die Anzahl der Bienen in Tausend. a) Ermitteln Sie die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach Wochen und nach Wochen. Begründen Sie, dass die Funtion b für t einen Grenzwert hat. Geben Sie diesen Grenzwert an. Sizzieren Sie den Graphen von b für t mit Hilfe der ermittelten Werte im Koordinatensystem in der Anlage. b) Vom Imerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand f (t) besonders schnell wächst ( t in Wochen und f (t) in Tausend). Die Wachstumsgeschwindigeit (gemessen in Bienen pro Woche) wird durch die,t Funtion v mit v( t) = f ( t) = e angegeben. Ermitteln Sie für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigeiten zu Beobachtungsbeginn und nach Wochen. Vergleichen Sie das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten. c) Ein Bienenvol der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn Bienen. Ermitteln Sie die Gleichung der Funtion f, die die Entwiclung des Bienenbestands,t beschreibt. [Zur Kontrolle: f ( t) = e ] Zeichnen Sie den Graphen von f für t mit Hilfe von drei geeigneten Wertepaaren in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein. d) Die Funtion d mit d( t) = b( t) f ( t) beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Ermitteln Sie den Zeitpunt t, bei dem der Unterschied in den ersten Wochen am größten ist. Für die Berechnung von t genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung. e) Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunt t, bei dem der Unterschied bei der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigeiten bei beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigeiten nicht onret berechnet werden. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Anlage Seite von _Ma_GK_Aufgaben

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4 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Fischmobile Gegeben ist die Funtion f mit der Gleichung Der Graph dieser Funtion ist G f. f ( x) = x x + x; x IR. a) Geben Sie das Verhalten der Funtionswerte von f für x + und x an. Berechnen Sie die Nullstellen von f. Begründen Sie, dass der Graph der Funtion f nicht achsensymmetrisch zur y-achse verlaufen ann. b) Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten loaler Extrempunte von G f. Der Graph von f besitzt an der Stelle x W = einen Wendepunt. Ermitteln Sie die Größe des Steigungswinels der Tangente an den Graphen der Funtion f in diesem Wendepunt. Zeichnen Sie G im Intervall [ ;] in das in der Anlage gegebene Koordinatensystem. f Für ein Mobile soll eine Figur in der Form eines Fisches aus Pappe hergestellt werden. Das Profil des Fisches wird durch den Graphen Gf und den durch Spiegelung von G f an der x-achse entstandenen Graphen Gg begrenzt. Im Aufhängepunt P ( ) berühren sich die beiden Graphen, siehe nebenstehende Darstellung. c) Der gespiegelte Graph G g ist der Graph einer Funtion g. Geben Sie eine Funtionsgleichung von g an. Zeichnen Sie G g in das Koordinatensystem in der Anlage ein. d) Im Folgenden gilt: LE = cm. Der Fisch soll so hergestellt werden, dass die Schwanzflosse (rechts von P ) denselben Flächeninhalt wie der vordere Teil des Fischörpers (lins von P ) hat. Zeigen Sie, dass für die Breite b =, cm der Schwanzflosse die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich sind. Bestimmen Sie die Höhe h dieser Schwanzflosse. e) Ein Mobile besteht aus mehreren solcher Fische. Der Verauf erfolgt in einer Schachtel, die die Form eines dreiseitigen Prismas hat. Die Grundfläche der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen Gf und G g in den Punten T ( ) und T ( ) sowie die Gerade, auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Grundfläche für eine solche Schachtel. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE Anlage Seite von _Ma_GK_Aufgaben

5 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Fischmobile Seite von _Ma_GK_Aufgaben

6 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Methanmoleül Ein Tetraeder ist gegeben durch seine Ecpunte H ( ), H ( ), ( ) H ( ). H und a) Der Tetraeder wird als Modell eines Methanmoleüls verwendet. Dabei stellen die vier Ecpunte die vier Wasserstoffatome und der Punt C ( ) das Kohlenstoffatom dar. Zeichnen Sie das Methanmodell als Tetraeder in das beigefügte Koordinatensystem ein. b) Zeigen Sie, dass der Punt C der Mittelpunt des Tetraeders ist. c) Weisen Sie nach, dass der Vetor H H ein Normalenvetor der Ebene E ist, in der die Punte H, H und C liegen. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf. [Zur Kontrolle: E : x + y = ] d) Zeigen Sie, dass der Mittelpunt der Strece H H in der Ebene E (aus Teil c) liegt. Begründen Sie, dass die Ebene E Symmetrieebene des Tetraeders ist. e) Der Winel α zwischen den Strecen CH und CH wird Bindungswinel genannt. Berechnen Sie den Bindungswinel im Methanmoleül. f) Methan hat die nebenstehende Struturformel. Erlären Sie, dass diese auch aus geometrischer Sicht gerechtfertigt ist, wenn man das Methanmoleül in eine geeignete Ebene projiziert. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) e) f) Summe BE Anlage Seite von _Ma_GK_Aufgaben

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8 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Gebirgsflüge Ein Flugzeug fliegt geradlinig und mit onstanter Geschwindigeit auf einer Geraden, die durch die Punte A (,) und B (,) verläuft. Um : Uhr durchfliegt das Flugzeug A und eine Minute später B. Die Erdoberfläche liegt in der x-y-ebene. Die Einheit für die Zeit t ist min, LE = m. a) Geben Sie eine Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs an. Voraus befindet sich ein Berg mit der Bergspitze T ( ). Weisen Sie nach, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt. m Berechnen Sie die Geschwindigeit des Flugzeugs, geben Sie das Ergebnis in an. h b) Bestimmen Sie den Punt P, in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von, m erreicht und ermitteln Sie die Flugzeit bis zum Erreichen von P. [Kontrollergebnis: P (, ) ] Im Punt P ändert der Flugapitän seinen Kurs und fliegt in Richtung Q (, ) weiter. Das Flugzeug erreicht Q nach einer Minute. Bestimmen Sie eine Geradengleichung für den neuen Kurs. c) Ein Rettungshubschrauber startet von einem Berghang vom Punt R (,) und fliegt entlang der Geraden h : x = + t.,, Der Berghang liegt in einer Ebene E mit der Gleichung x y + z =. Bestimmen Sie die Größe des Winels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt. d) Die Gerade h schneidet die Gerade durch P und Q im Punt S (, ). Der Hubschrauber startet um : Uhr. Er legt in einer Minute genau die Strece zurüc, die dem Betrag des Richtungsvetors von h entspricht. Das Flugzeug fliegt nach der Kursänderung um : Uhr (vergleiche Teil b) auf onstanter Reiseflughöhe. Entscheiden Sie begründet, ob eine Kursorretur erforderlich wird, damit es zwischen dem Hubschrauber und dem Flugzeug nicht zu einer Kollision ommt. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE Seite von _Ma_GK_Aufgaben

9 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Onlineshopping Die Tabelle gibt repräsentativ die Kaufgewohnheiten der Verbraucher in Deutschland beim Onlineshopping wieder. So wurde beispielsweise ermittelt, dass % der befragten Verbraucher gelegentlich Computer im Internet aufen. Jeder Verbraucher ann dabei unabhängig von den anderen für die Artiel verschiedene Kaufgewohnheiten besitzen. regelmäßig gelegentlich nie Bücher % % % Sportartiel % % % Computer % % % (Quelle: Statista-Datenban ) In einem Statistiprojet befragt Tom zufällig ausgewählte Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Die Gültigeit der Tabellenangaben wird dabei vorausgesetzt. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheiten der folgenden Ereignisse: A: Zwei Ausgewählte aufen beide nie Computer im Internet. B: Die erste Person auft regelmäßig Bücher und die zweite regelmäßig Computer im Internet. C: Genau einer von zwei Ausgewählten auft regelmäßig Sportartiel im Internet. b) Tom wählt nun Personen für die nächste Fragerunde aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit der folgenden Ereignisse: D: Von den aufen genau sechs Personen gelegentlich Bücher im Internet. E: Höchstens fünf der Ausgewählten aufen gelegentlich Bücher im Internet. F: Unter den ausgewählten Personen sind mindestens drei, die nie Bücher im Internet aufen. c) Berechnen Sie, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlicheit von mindestens % wenigstens eine Person zu finden, die regelmäßig Computer im Internet auft. d) In einem Internetcafé sitzen Personen. von ihnen aufen Waren im Internet. Tom befragt vier von den Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass alle vier Befragten Waren im Internet aufen. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass unter den vier Befragten mindestens eine Person war, die Waren im Internet auft. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE Anlage Seite von _Ma_GK_Aufgaben

10 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Onlineshopping Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachommastellen, weggelassen ist,, alle freien Plätze enthalten,. Wird die Tabelle von unten gelesen (p >,), ist der richtige Wert (abgelesener Wert) n p n,,,,,,,, n,,,,,,,, N p Seite von _Ma_GK_Aufgaben

11 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Otaeder Neben dem lassischen Würfel hat ein Spielzeughersteller auch ein Otaeder als Spielgerät in seinem Angebot (siehe Abbildung). Bei diesem sind die acht gleich großen Seiten mit den Ziffern bis beschriftet. Die Wahrscheinlicheit beträgt beim Würfeln für jede der Ziffern p =. a) Mit dem Otaeder werden zunächst Würfe durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit der folgenden Ereignisse: A : In jedem der Würfe fällt eine gerade Zahl. A : In einem der Würfe fällt eine. A : Im ersten Wurf fällt eine, danach nicht mehr. b) Nun werden Würfe durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit der folgenden Ereignisse: B : Die fällt genau zweimal. B : Mindestens -mal fällt eine ungerade Zahl. c) Nina und Tim haben beide ein solches Otaeder als Werbegeschen erhalten und führen damit Würfelversuche durch. Beide würfeln einmal. Betrachtet wird das Ereignis C : Nina würfelt höchstens eine, Tim eine Zahl größer. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für das Ereignis C. In einer neuen Runde wirft jeder genau -mal. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für das Ereignis C : Jeder von beiden hat genau einmal eine Zahl größer. d) Tims Freund besitzt ein Otaeder, das nicht mit Ziffern beschriftet ist, sondern jede seiner Seiten ist entweder rot, grün oder gelb eingefärbt. Der Freund hat ermittelt, wie häufig bei Würfen die Farbe gelb mehr als -mal fällt. Die Wahrscheinlicheit dafür beträgt nur zwei Prozent. Untersuchen Sie, wie viele Seiten des Otaeders gelb gefärbt sein önnten. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE Anlage Seite von _Ma_GK_Aufgaben

12 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Otaeder Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachommastellen, weggelassen ist,, alle freien Plätze enthalten,. Wird die Tabelle von unten gelesen (p >,), ist der richtige Wert (abgelesener Wert) n p n,,,,,,,, n,,,,,,,, N p Seite von _Ma_GK_Aufgaben