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1 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 Lösung Übungsblatt 7 Aufgabe 1: Lineare Ausgleichsrechnung Ein mehrdimensionales, lineares Ausgleichungsproblem lässt sich folgendermaßen darstellen: f (x) N a k X k (x) (1.1) k1 Dabei ist f (x) eine skalarwertige Vektorfunktion und die Koeffizienten a k ergeben sich aus den N Messwerten {x i, f i } a) Es gilt zu zeigen, dass ein Fit von N Wertepaaren an eine Kreisfunktion (x x c ) (y y c ) R (1.) ein lineares Ausgleichsproblem mit den Basisfunktionen X 1 1, X x und X 3 y darstellt. Dies ergibt sich so: (x x c ) (y y c ) R x xx c x c y yy x y c R x y }{{} f (x) (R xc yc ) x c x y }{{}}{{} c y }{{} a 1 a a 3 f (x) a 1 a x a 3 y 3 k1 a k X k (x) mit X 1 1, X x und X 3 y. bobbysteels@gmx.tm Seite 1 von 10 S. Flaischlen

2 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 b) Für die Elemente der Designmatrix C gilt: C ik X k(x i ) ϱ i (1.3) Mit den X k aus Teilaufgabe a) und ϱ xi ϱ yi 1 ergibt sich: C X 1 (x 1 ) X (x 1 ) X 3 (x 1 ) X 1 (x ) X (x ) X 3 (x )... X 1 (x n ) X (x n ) X 3 (x n ) 1 x 1 y 1 1 x y... 1 x n y n c) Das Normalgleichungssystem Aa b 0 kann als C T Ca C T d 0 geschrieben werden, wobei für d i f i ϱ i gilt. Für A ergibt sich also: 1 A C T C x 1 x... x 3 y 1 y... y n 1 x 1 y 1 1 x y... 1 x n y n x 1 x... x n y 1 y... y n x 1 x... x n x1 x... xn x 1 y 1 x y... x n y n y 1 y... y n x 1 y 1 x y... x n y n y1 y... yn xi yi N xi x i xi y i yi xi y i y i 1 Die Summen verlaufen von i 1...N bobbysteels@gmx.tm Seite von 10 S. Flaischlen

3 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 b β C T d x 1 x... x n y 1 y... y n. xn yn x 1 y 1 x y x 1 y 1 x y... x n y n x 3 1 x 1 y 1 x x y... x 3 n x n y n y 1 x 1 y 3 1 y x y 3... y n x n y 3 n (x i y i ) xi (x i y i ) yi (x i y i ) Beispiel: Die folgenden Wertepaare sollen durch einen Kreis angenähert werden: x y Mit obigen Gleichungen lautet das Normalgleichungssystem bei dreistelliger Genauigkeit: Der Lösungsvektor ergibt sich zu: a a 1 a a Ich habe das LGS mit dem relaxierten Jacobi-Verfahren mittels der Software aus Aufgabenblatt 6 gelöst. bobbysteels@gmx.tm Seite 3 von 10 S. Flaischlen

4 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 Mit den Beziehungen aus Aufgabenteil a) folgt: x c a y c a R a 1 a 1 4 a Abbildung 1.1: Werte und Ausgleichung zum obigen Beispiel. bobbysteels@gmx.tm Seite 4 von 10 S. Flaischlen

5 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 Aufgabe : Householder-Spiegelung a) und b) Das angegebene Vorgehen zur Householder-Transformation kann durch ein paar Überlegungen für die Umsetzung in einem Computer-Programm vereinfacht werden. Das Vorgehen wird anhand der ersten Householder-Matrix beschrieben: H 1 1 ω 1 ω T 1 ω 1 (.1) ω 1 x 1 ± x 1 e 1 (.) Als erstes wird x 1 berechnet. Die Berechnung der später benötigten euklidischen Norm von ω 1 zum Quadrat ω 1 kann nun direkt erfolgen, denn: ω 1 (a 11 ± x 1 ) a 1... a n 1 x 1 ± a 11 x 1 a 11 a 1... a n 1 }{{} x 1 x 1 ± a 11 x 1 x 1 ( x 1 sign(a 11 )a 11 ) (.3) a 11 stammt aus der gegebenen Matrix und x 1 wurde bereits berechnet, (.3) spart also eine komplette Schleife! Das herkömliche Vorgehen diktiert, zunächst die Matrix H 1 zu ermitteln, um dann das Matrixprodukt H 1 A zu bilden. Auch dieser Schritt lässt sich vereinfachen. Dazu spalten wir die Matrix A in Spaltenvektoren auf: Das Matrixprodukt wird dann zu A (x 1, x,..., x n ) H 1 A (H 1 x 1, H 1 x,..., H 1 x n ) Die Idee besteht also darin, die einzelnen Vektoren H 1 x i zu berechnen und dann in die Matrix A zurückzuschreiben. bobbysteels@gmx.tm Seite 5 von 10 S. Flaischlen

6 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 Für H 1 x i gilt: H 1 x i ( 1 ω 1 ω T 1 ω 1 ) x i x i ω 1 ω 1 ω T 1 x i }{{} < ω 1,x i > x i ω 1, x i ω 1 ω 1 (.4) So kann H 1 A direkt berechnet werden, ohne überhaupt H 1 bestimmt zu haben! Analoges gilt für H N 1... H 1 A. Gleichung (.3) und (.4) wurden in unten stehenden Algorithmus integriert. bobbysteels@gmx.tm Seite 6 von 10 S. Flaischlen

7 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe 008 C Quellcode: 1 /* M4 Numerik fuer Physiker Sommersemester Uebungsblatt 7 - A. 4 5 Titel : QR - Zerlegung 6 Datei : householder. cpp 7 Erstellt : Autor : Stefan Flaischlen 9 */ # include <iostream > 1 # include <iomanip > 13 # include <cmath > using namespace std ; enum DisplayType { 18 displaytitle, 19 displayline 0 }; 1 // Funktionen deklarieren : 3 double ** creatematrix ( int ); 4 void displaymatrix ( int, double **, char *); 5 void deletematrix ( int, double **) ; 6 void deletevector ( double *); 7 void displayspecials ( DisplayType displayline, char * 0); 8 void Householder ( int, double **) ; 9 30 // Hauptfunktion int main () { 3 33 // Zeilen -/ Spaltenzahl : 34 int dimn 4; // Programmtitel ausgeben : 37 displayspecials ( displaytitle, " QR - Zerlegung "); // Matrix A initalisieren : 40 double ** matrixa creatematrix ( dimn ); 41 4 for ( int i 0; i < dimn ; i ) { 43 for ( int j 0; j < dimn ; j ) { 44 matrixa [ i][ j] 1.0 / (1 i j); 45 } 46 } // Matrix ausgeben : 49 displaymatrix (dimn, matrixa, "A"); // Householder - Transformation : 5 Householder ( dimn, matrixa ); cout << "\ nausgabe \n"; 55 displayspecials (); 56 displaymatrix (dimn, matrixa, "R"); 57 bobbysteels@gmx.tm Seite 7 von 10 S. Flaischlen

8 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe // Speicher freigeben : 59 deletematrix ( dimn, matrixa ); 60 } 61 6 // Funktion : Householder - Transformation void Householder ( int N, double ** A) { /* 66 Eingabe : Matrix A und dessen Dimension. 67 Funktion : Transformiert eine quadratische Matrix A mittels 68 Householder - Spiegelung. 69 */ double * tmpvector new double [ N]; 7 double tmprowabs, tmpvectorabs, tmpvalue ; 73 int i; for ( int aktrow 0; aktrow < N - 1; aktrow ) { // Betrag des Spaltenvektors berechnen : 78 tmprowabs A[ aktrow ][ aktrow ] * A[ aktrow ][ aktrow ]; 79 for ( i aktrow 1; i < N; i ) { 80 tmprowabs A[ i][ aktrow ] * A[ i][ aktrow ]; 81 8 // Untere Komponenten des Spaltenvektors uebertragen : 83 tmpvector [ i] A[ i][ aktrow ]; 84 } 85 tmprowabs sqrt ( tmprowabs ); // Erste Komponente des temporaeren Vektors berechnen : 88 if ( A[ aktrow ][ aktrow ] < 0) tmprowabs * -1; 89 tmpvector [ aktrow ] A[ aktrow ][ aktrow ] tmprowabs ; // Betragsquadrat des temporaeren Vektors berechnen : 9 tmpvectorabs * tmprowabs * ( tmprowabs A[ aktrow ][ aktrow ]); // Spaltenvektoren berechnen : ( Ergibt Produkt Q...* A) 95 for ( int k aktrow ; k < N; k ) { 96 tmpvalue 0; 97 for ( i aktrow ; i < N; i ) { 98 tmpvalue A[ i][ k] * tmpvector [ i]; 99 } 100 tmpvalue * / tmpvectorabs ; 101 for ( i aktrow ; i < N; i ) { 10 A[ i][ k] - tmpvalue * tmpvector [ i]; 103 } 104 } 105 } // Speicher freigeben : 108 deletevector ( tmpvector ); 109 } bobbysteels@gmx.tm Seite 8 von 10 S. Flaischlen

9 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe // Hilfsfunktion : Matrix ausgeben void displaymatrix ( int dimn, double ** smatrix, char * stitle ) { cout << " Matrix " << stitle << ": " << "\ n" << fixed ; for ( int i 0; i < dimn ; i ) { 117 cout << setw (11) << "[" 118 << setprecision (3) << setw (6) << smatrix [ i ][0]; 119 for ( int j 1; j < dimn ; j ) { 10 cout << " " << setprecision (3) << setw (6) << smatrix [ i][ j]; 11 } 1 cout << right << "]" << "\ n"; 13 } 14 cout << "\n"; 15 } // Hilfsfunktion : Matrix dynamisch erzeugen double ** creatematrix ( int dimn ) { double ** dmatrix new double *[ dimn ]; for ( int i 0; i < dimn ; i ) { 133 dmatrix [ i] new double [ dimn ]; 134 dmatrix [ i ][0] 0; 135 } return dmatrix ; 138 } // Hilfsfunktion : Matrix loeschen void deletematrix ( int dimn, double ** smatrix ) { for ( int i 0; i < dimn ; i ) { 144 deletevector ( smatrix [ i]); 145 delete smatrix ; 146 } 147 } // Hilfsfunktion : Vektor loeschen void deletevector ( double * svector ) { 151 delete [] svector ; 15 } // Hilfsfunktion : Titel, Linien void displayspecials ( DisplayType stype, char * stitle ) { int textwidth 60; 158 int stringlen 0; switch ( stype ) { 161 case displaytitle : 16 // Ueberschrift zentrieren : 163 while ( stitle [ stringlen ]! 0) stringlen ; 164 cout << setfill ( - ) << setw ( textwidth ) << "\ n" << setfill ( ) 165 << setw (( textwidth stringlen ) / ) << stitle << "\ n" 166 << setfill ( - ) << setw ( textwidth 1) << "\n\n" 167 << " Householder - Transformation der Matrix A zur Matrix R." 168 << "\n\n\n" 169 << " Eingabe " << "\n" bobbysteels@gmx.tm Seite 9 von 10 S. Flaischlen

10 M4 Numerik für Physiker Lösung Übungsblatt 7 SoSe << setfill ( - ) << setw ( textwidth ) << "\n" << setfill ( ); 171 break ; 17 case displayline : 173 cout << setfill ( - ) << setw ( textwidth ) << "\n" << setfill ( ); 174 break ; 175 } 176 } Ausgabe: QR-Zerlegung Householder-Transformation der Matrix A zur Matrix R. Eingabe Matrix A: [ ] [ ] [ ] [ ] Ausgabe Matrix R: [ ] [ ] [ ] [ ] bobbysteels@gmx.tm Seite 10 von 10 S. Flaischlen

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