Hauptprüfung Abiturprüfung 2017 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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Karoline Maus
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 2017 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis A1 Hilfsmittel: GTR und Merkhilfe allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz Mai

2 Aufgabe A 1.1 Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion f(t) = 6000 t e, t 0 (t in Monaten nach der Einführung, f(t) in Käufer pro Monat) a) Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet. Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. (4,5 VP) b) Zeigen Sie, dass für t > 2 die Funktion f streng monoton fallend ist nur positive Werte annimmt. Interpretieren Sie dies i Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen. (4 VP) c) Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App. Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt. (,5 VP) d) Bei einer anderen neuen App erwartet man maximal 0000 Käufer. In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits Käufer. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Aufgabe A 1.2 ( VP) 1 Die Funktion g ist gegeben durch g(x) = x ; x 0. x a) Die Tangente an den Graphen von g im Punkt B verläuft durch P(0/-0,5). Bestimmen Sie die Koordinaten von B. (2,5 VP) b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung y = 2x 1 besitzt. Ermitteln Sie die x-koordinate dieses Punktes. (2,5 VP) 2

3 Aufgabe A 1.1 Lösungen a) Skizze des Schaubildes mit dem GTR für die ersten zwölf Monate: Die maximale momentane Änderungsrate entspricht dem absoluten Maximum der Funktion f(t) im Intervall [0;12]. GTR: Koordinaten des Hochpunktes sind H(2/4414,6). Die maximale momentane Änderungsrate beträgt 4414,6 Käufer pro Monat. Bedingung für Zeitraum mit mehr als 4000 Käufern pro Monat: f(t) > 4000 GTR: Man erhält 1,24 < t <,02. Zwischen ca. 1,24 und,02 Monaten nach der Einführung ist die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat. Die Zeitpunkte der größten Zunahme bzw. Abnahme der momentanen Änderungsrate befinden sich an den Stellen, an denen die Ableitungsfunktion f(t) maximal bzw. minimal wird. GTR: Die Ableitungsfunktion wird minimal an der Stelle t = 4. Die Ableitungsfunktion wird maximal an der Stelle t = 0. 4 Monate nach der Einführung nimmt die momentane Änderungsrate am stärksten ab. Zum Zeitpunkt der Einführung nimmt die momentane Ändderungsrate am stärksten zu.

4 b) Die Funktion f(t) ist streng monoton fallend für t > 2, wenn die Ableitungsfunktion f(t) für t >2 negativ ist. Nachweis der Monotonie: f(t) = 6000 e t e ( 0,5) = 000e (2 t) (Ableitung mit der Produktregel!) Es soll gelten: Da 000e 0 < < f(t) 0 000e (2 t) 0 > ist, muss gelten: 2 t< 0 t> 2 was zu zeigen war. Nachweis, dass f(t) positive Werte annimmt: f(t) > t e > 0 Da 6000e > 0 ist, ist die Ungleichung für t > 0 korrekt. Somit ist f(t) > 0 auch korrekt für t > 2. Interpretation: f(t) > 0: Die Gesamtanzahl der Käufer nimmt ständig zu. f(t) < 0: Die Käuferzunahme wird im Laufe der Zeit immer geringer. c) Gesamtanzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App: 6 f(t)dt (GTR) 0 Sechs Monate nach Einführung beträgt die Gesamtanzahl der Käufer ca Zweimonatszeitraum, in dem es 5000 neue Käufer gibt: Gesuchtes Zeitintervall: [a ; a+2]: Bedingung: GTR: a+ 2 a f(t)dt= 5000 Im Zeitraum zwischen ca 4 Monaten und 6 Monaten kommen 5000 neue Käufer hinzu. 4

k t d) Die Funktion g(t) = S a e beschreibt beschränktes Wachstum. Da maximal 0000 Käufer zu erwarten sind, gilt für die Schranke S = 0000.

Einsetzen in den Funktionsansatz: Der gesuchte Funktionsterm lautet 20000= 0000 0000 e e = k 0,18 0,18 t g(t) = 0000 0000 e k6 6k 1 Aufgabe A 1.2 1 a) Gegeben ist die Funktion g(x) = x.

5 k t d) Die Funktion g(t) = S a e beschreibt beschränktes Wachstum. Da maximal 0000 Käufer zu erwarten sind, gilt für die Schranke S = Zu Beginn gibt es noch keine Käufer, also gilt g(0) = 0 Daraus folgt a= S f(0) = = 0000 Zwischenergebnis: Es gilt kt g(t) = e Außerdem gilt g(6) = Einsetzen in den Funktionsansatz: Der gesuchte Funktionsterm lautet 20000= e e = k 0,18 0,18 t g(t) = e k6 6k 1 Aufgabe A a) Gegeben ist die Funktion g(x) = x. x Ansatz für die Tangentengleichung: y= g(u) (x u) + g(u) Der Berühpunkt B besitzt die Koordinaten B(u/g(u)). Einsetzen des bekannten Tangentenpunktes P(0/-0,5): 0,5 = g(u) (0 u) + g(u) Lösen der Gleichung mit dem GTR: Die Gleichung besitzt die Lösung u = 2. Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(2/g(2)), also B(2/1,875). b) Skizze: 5

6 Der gesuchte Punkt A besitzt eine Tangente, der dieselbe Steigung wie die gegebene Gerade (also m = 2) besitzt. Bedingung: g(x) = 2 GTR: Als Lösung ergibt sich x 1,2 und x 1,2 Anhand der Skizze ist erkennbar, dass der gesuchte Punkt den positiven x-wert x = 1,2 besitzt. 6

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