HRP 2007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag 1) HRP BOS-

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Gerhardt Junge
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1 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Bildung, Wissenschaft und Forschung HRP 007 -BOS- Name: Datum: Vorschlag : Aus 5 Aufgaben können Sie auswählen. Sie müssen dabei Folgendes beachten: Die Aufgabe (Exponentialfunktion) ist eine Pflichtaufgabe. Sie muss von allen bearbeitet werden! Zwischen Aufgabe (Stochastik) und Aufgabe (Analytische Geometrie) können Sie wählen. Auch zwischen Aufgabe 4 (Gebrochenrationale Funktion) und Aufgabe 5 (Trigonometrische Funktion) können Sie wählen. Sollten Sie keine Auswahl treffen und zum Beispiel Teilaufgaben aus Stochastik und analytischer Geometrie bearbeiten, dann werden nur die Teilaufgaben zur Stochastik bewertet; ähnlich wird mit der Bearbeitung der beiden Aufgaben Gebrochenrationale Funktion und Trigonometrische Funktion verfahren. Die Bearbeitungszeit beträgt 40 Minuten. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der textlichen Begleitung wird mitbewertet. Aufgabe. [4%] Es wird angenommen, dass die Exponentialfunktion mit der Funktionsgleichung B(t) = 0,t 0 0 e ;t 0 das Bevölkerungswachstum (in ) einer Region für die kommenden 5 Jahre beschreibt. t gibt die Zeit in Jahren an.. Vervollständigen Sie die Wertetabelle und skizzieren Sie den Graphen der Funktion B. Zeit t (in Jahren) B (t) (in ). Mit welchem durchschnittlichen Bevölkerungswachstum wird in den ersten 0 Jahren gerechnet?. Um wie viel Prozent soll die Einwohnerzahl im ersten Jahr zunehmen?.4 Wann soll die Einwohnerzahl betragen..5 Berechnen Sie, ab wann die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit kleiner als Einwohner pro Jahr ist..6 In der Nachbarregion wächst die Bevölkerung linear. Die lineare Funktion B mit B(t) =,t+ 5,9 (in 00000); t 0 beschreibt dieses Wachstum für die nächsten 5 Jahre..6. Wann haben beide Regionen voraussichtlich die gleiche Wachstumsgeschwindigkeit?.6. Wie groß ist die durchschnittliche Differenz der Einwohnerzahl beider Regionen in den ersten 0 Jahren? Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (.0.007) Seite von 5

2 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe. [%] Auf einer fernen Insel sind 0, % der Bevölkerung mit einem Virus infiziert. Für dieses Virus gibt es einen Test, der mit einer Wahrscheinlichkeit von % ein falschpositives (man ist nicht infiziert, das Testergebnis ist aber positiv) und mit einer Wahrscheinlichkeit von % ein falschnegatives Ergebnis (man ist infiziert, das Testergebnis ist aber negativ) liefert... Erstellen Sie ein Baumdiagramm mit allen Zweig- und Pfadwahrscheinlichkeiten. Hinweis: Benutzen Sie die Abkürzungen V: infiziert, V: nicht infiziert, + T : Testergebnis positiv, T : Testergebnis negativ... Mit welcher Wahrscheinlichkeit weist ein zufällig herausgegriffener Inselbewohner ein positives Testergebnis auf (Ergebnis zur Kontrolle: p=0,09)?.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist bei einer Infektionsrate von a) 0, % und b) 0 % ein zufällig herausgegriffener Inselbewohner mit positivem Testergebnis tatsächlich infiziert? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.. Nach Aufgabenteil.. beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis p=0,09... Mit wie viel positiv getesteten Inselbewohnern muss man rechnen, wenn man 50 zufällig herausgegriffene Bewohner testet?.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird von 00 Getesteten höchstens einer positiv getestet?. In einer Gruppe von 0 Personen sind drei infiziert. Es werden aus dieser Gruppe sechs Personen zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist genau eine Person infiziert? Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (.0.007) Seite von 5

3 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe. [%] Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: I x -y +z = II x -y -6z = -0 III x - ay +5z = 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems für a =0 und a =. (Zur Kontrolle: Für a =0 ist L = ;0;, für a = ist L = {(4 t;6 4t;t),t R}).. Die Gleichungen I, II und III können auch als Ebenen E, E und E gedeutet werden. Geben Sie an, welche geometrische Bedeutung die für a =0 und a = ermittelte Lösungsmenge jeweils hat.. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und E..4 Bestimmen Sie den Parameter a so, dass sich die Ebenen E und E senkrecht schneiden..5 Bestimmen Sie jeweils eine Hesseschen Normalformen der Ebenen E und E..5. Zeigen Sie: Der Punkt P(0//0) ist von den Ebenen E und E gleichweit entfernt..5. E 4 sei eine Ebene, deren Punkte von den Ebenen E und E gleichweit entfernt sind. Geben Sie einen Ansatz für die Ermittlung der Ebene E 4 an. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (.0.007) Seite von 5

4 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe 4. [%] Gegeben sei die Funktion f(x) = x x x+ Für die. und. Ableitung erhält man: f'(x) = Dfmax R. 4x 8x + 4 bzw. f ''(x) = Untersuchen Sie die Funktion f. 4.. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion f an. 4.. Bestimmen Sie die Polstellen der Funktion f und untersuchen Sie das Funktionsverhalten in deren Umgebung. 4.. Geben Sie die Asymptoten der Funktion f an. 4x 4..4 Weisen Sie nach, dass f'(x) = Extremalpunkt der Funktion f. gilt und bestimmen Sie den 4. Ergänzen Sie die Wertetabelle und skizzieren Sie den Graphen und die Asymptoten der Funktion f für 6 x 8 in ein Koordinatensystem! Verwenden Sie hierzu auch die Ergebnisse aus 4.. x f(x) 4. Der Punkt P(x f (x)) mit x > liegt auf dem Graphen der Funktion f. Die Punkte P (0 0), P (x 0) und P (x f (x)) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. In 4.. sollen die Punkte P und P so bestimmt werden, dass der Flächeninhalt des Dreiecks PPP minimal wird. x 4.. Weisen Sie zunächst nach, dass A(x) = eine Zielfunktion ist, mit der man den minimalen Flächeninhalt des Dreiecks PPP berechnen kann. 4.. Bestimmen Sie x, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks PPP minimal wird. 4.. Berechnen Sie den minimalen Flächeninhalt dieses Dreiecks PPP. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (.0.007) Seite 4 von 5

5 HRP 007 (BOS): Schriftliche Prüfungsaufgaben im Fach Mathematik (Vorschlag ) Aufgabe 5. [%] Gegeben sei die Funktion f mit f(x) x sin x = + ; x [ 0;5]. 5. Ermitteln Sie die Extrempunkte des Graphen von f im angegebenen Intervall. 5. Stellen Sie den Graphen von f unter Verwendung der bisher ermittelten Ergebnisse im Intervall [ 0;5 ] dar. 5. Weisen Sie nach, dass die Gerade g mit g( x) = x den Graphen der Funktion f berührt. Was folgern Sie daraus? Zeigen Sie, dass die Gerade h mit hx ( ) = x + π Normale an den Graphen der Funktion f im Punkt P( π / π ) ist Bestätigen Sie, dass F mit f ist. F(x) = x x + (x sin x cos x) Stammfunktion von 5.5. In welchem Verhältnis teilt die Gerade g den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der y-achse und der Geraden h eingeschlossen wird. Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (.0.007) Seite 5 von 5

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