Laurent-Reihen. Definition 1 (Laurent-Reihe) Unter einer Laurent-Reihe versteht man eine Reihe der Form. c n (z z 0 ) n (2) n=0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Laurent-Reihen. Definition 1 (Laurent-Reihe) Unter einer Laurent-Reihe versteht man eine Reihe der Form. c n (z z 0 ) n (2) n=0"

Transkript

1 Laurent-Reihen Definition (Laurent-Reihe Unter einer Laurent-Reihe versteht man eine Reihe der Form c n (z z 0 n. ( n Man nennt die Teile c n (z z 0 n n bzw. c n (z z 0 n ( n0 den Haupt- bzw. Nebenteil der Laurent-Reihe, z 0 die Entwicklungsstelle. Sie heißt konvergent (bzw. absolut konvergent, gleichmäßig konvergent usw., wenn dies für beide Teilreihen zutrifft. Der Nebenteil einer Laurent-Reihe ist also nichts weiter als eine Potenzreihe in (z z 0 ; der Hauptteil eine Potenzreihe in /(z z 0. Aus den allgemeinen Konvergenzeigenschaften von Potenzreihen können nun Schlüsse über das Konvergenzverhalten von Laurent-Reihen gezogen werden. O.B.d.A. wollen wir jetzt z 0 0 setzen. Es möge der Hauptteil der Laurent- Reihe für / z < r und der Nebenteil für z < R mit 0 r < R konvergieren. Dann ergibt sich daraus, dass die Laurent-Reihe n c nz n für alle z mit r < z < R konvergiert. Das Konvergenzgebiet ist also der Kreisring {z r < z < R, 0 r < R }. Sie divergiert (d.h. Hauptoder Nebenteil divergiert falls z < r oder z > R ist. Für r < ϱ < ϱ < R ist die Konvergenz auf dem Kreisring {z ϱ z ϱ } sogar gleichmäßig. Über das Konvergenzverhalten auf dem Rand z r oder R läßt sich wie bei Potenzreihen keine allgemeingültige Aussage machen (siehe Abb z 0 R z 0 r r 0 z 0 R a b c Abbildung : a Konvergenzkreis mit Radius R für den Nebenteil der Laurent-Reihe. b Konvergenzgebiet für den Hauptteil außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radius r. c Kreisring zwischen r und R als Konvergenzgebiet der Laurent-Reihe.

2 Satz (Entwicklungssatz von Laurent (843 Es sei f in dem Kreisring {z 0 r < z z 0 < R } analytisch. Dann gilt dort die Laurent-Reihenentwicklung f(z c n (z z 0 n, (3 n wobei für r < ϱ < R die Koeffizienten c n eindeutig bestimmt sind, und es gilt c n f(z dz, n Z. (4 πi (z z 0 n+ z z 0 ϱ Beweis: O. B. d. A. sei z 0 0 und z sei aus dem Kreisring r < z < R. Mit der Abb. beschreiben wir die Vorgehensweise. Zunächst gilt für eine kleine Kreislinie um den Punkt z, also für ζ z δ (Abb. a die Cauchysche Integralformel. Danach verändern wir den Integrationsweg, wie er in Abbildung b und c angegeben ist. Wegen des Reduktionssatzes bleibt der Wert des Integrals unverändert, und wir können Folgendes aufschreiben (Durchlaufungssinn der Kreislinien beachten!: a R z ς r 0 b z ς c z 0 ς ς Abbildung : Zum Beweis des Satzes von Laurent. f(z πi πi ζ z δ ζ R ε f(ζ dζ (5 ζ z f(ζ ζ z dζ πi ζ r+ε f(ζ dζ. (6 ζ z Nun erfolgt der gleiche Trick wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungssatzes. Im ersten Integral ersetzen wir / ( z ζ durch die entsprechende geometrische Reihe und erhalten den Nebenteil. Im zweiten Integral verfahren wir analog mit / ( ζ z, wobei sich der Hauptteil der Laurent- Reihe ergibt.

3 Bemerkung 3. Ist die Funktion f im gesamten Kreisinneren z z 0 < R analytisch, dann stimmt die Laurent-Reihe mit der Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt z 0 überein, insbesondere ist also c c c Die Koeffizienten berechnen sich formal wie bei einer Taylor-Reihe, haben aber nicht mehr die Bedeutung von Ableitungen an der Entwicklungsstelle, da f bei z 0 nicht definiert ist.. Die Laurent-Entwicklung ist gewissermaßen die Verallgemeinerung der Taylor-Entwicklung. Jede analytische Funktion f mit isolierten Singularitäten läßt sich in jedem Kreisring, in dem sie analytisch ist, in eine Laurent-Reihe entwickeln. 3. Ein Anwendungsgebiet der Laurent-Reihen besteht in der Integralberechnung längs geschlossener Wege, deren Inneres Singularitäten des Integranden enthält. Man benötigt die Laurent-Reihen auch für die z-transformation und die Fourier-Transformation. 4. Zur Entwicklung von Funktionen in Laurent-Reihen können die bekannten Methoden zur Taylor-Entwicklung reellwertiger Funktionen übernommen werden: Bekannte Reihendarstellungen verwenden (häufig: geometrische Reihe, Reihen differenzieren oder integrieren, einzelne Summanden bzw. Faktoren entwickeln, unbestimmte Reihenansätze usw. Mit der Formel (4 wird eine Laurent-Reihe nur in den seltensten Fällen berechnet. 5. Insbesondere läßt sich jede rationale Funktion f(z p(z/q(z (p und q teilerfremde Polynome als Laurent-Reihe um z 0 C darstellen (Partialbruchzerlegung und anschließende Entwicklung der Terme /(z z 0 k, ( k unter Beachtung von (z z 0 ( k d k k (k! d z z 0. Je nach Kreisringgebiet ergeben sich verschiedene Laurent-Reihen (siehe Beispiel Der Satz von Laurent ermöglicht einen neuen Zugang zur Klassifikation isolierter Singularitäten analytischer Funktionen (siehe Satz 4. Satz 4 (Klassifikation isolierter Singularitäten Es sei z 0 eine isolierte Singularität und es sei f(z c k (z z 0 k, z K(z 0 ; r \ {z 0 }, r > 0 k die Laurent-Entwicklung von f um z 0. Dann ist z 0 (i hebbare Singularität c k 0 für k < 0. (ii Pol der Ordnung m c k 0 für k < m und c m 0. 3

4 (iii wesentliche Singularität c k 0 für unendlich viele k < 0. Beweis: Zu (i: Die Singularität ist genau dann hebbar, wenn es eine Taylor-Reihe um z 0 gibt, die f um z 0 darstellt. Wegen der Eindeutigkeit der Laurent-Reihe trifft dies genau dann zu, wenn c k 0 für k < 0. Zu (ii: z 0 ist genau dann ein Pol m-ter Ordnung von f, wenn um z 0 eine Gleichung der Form f(z b m (z z 0 m b z z 0 + f(z mit b m 0 besteht, wobei f eine Potenzreihe um z 0 ist. Wegen der Eindeutigkeit der Laurent-Reihe trifft dies genau dann zu, wenn c k 0 für k < m und c m b m 0. Zu (iii: Eine wesentliche Singularität liegt in z 0 genau dann vor, wenn weder der Fall (i noch der Fall (ii eintritt, d.h. wenn unendliche viele c k, k < 0, nicht verschwinden. Definition 5 (Residuum einer Funktion Der Koeffizient c in ( heißt das Residuum von f im Punkt z 0 und wird mit Res z0 f : c bezeichnet. Beispiel 6 f(z : z +. Die Funktion a z + b (z, a, b C, a, b 0, besitzt in z einen Pol zweiter Ordnung mit dem Residuum c a.. Die Funktion sin z z 3!z 3 + 5!z 5 besitzt im Punkt z 0 eine wesentliche Sing. mit dem Residuum c. 4

5 Beispiel 7 Die Funktion f(z : z(z z +, z C\{0, } z ist in den angegebenen Kreisringgebieten (siehe Abb. 3 in ihre Laurent- Reihe zu entwickeln. (a Entwicklungsstelle z 0 0:. 0 < z < : f(z z z z. < z < : f(z z + z /z z + z ( z k z + z z z 0 Abbildung 3: Kreisringgebiete mit Entwicklungsstellen z 0 0 und z 0. Im linken Bild ist z 0 0 zugleich Entwicklungsstelle und isolierte Singularität. (b Entwicklungsstelle z 0 :. 0 < z + < : f(z z + z + z (z + (z + (z+ (z + k ( z + ( k+ (z + k k 5

6 . < z + < : f(z z < z + < : f(z z +... z+ z+ (z + k+ z+ + z +... (z + k k+ z+... k (z + k+. Beispiel 8 Es sind für die rationale Funktion f(z (z (z 3 z 3, z C\{, 3} z Laurent-Reihen für die Gebiete z <, < z < 3 und z > 3 um den Punkt z 0 0 anzugeben. Wir benutzen zur Entwicklung von f die in Bemerkung 3, 4. gemachten Hinweise. Dann ergibt sich für z < : z z, k+ z > : z z ( k z z, z k+ k z < 3 : z 3 3 z 3 3, k+ z > 3 : z 3 z 3 z Zusammengefaßt erhalten wir (z (z 3 ( k+ 3 k+ k k k+ ( 3 k+ k+ 6 k 3 k+., für z <,, für < z < 3, 3k+, für z > 3.

7 Beispiel 9 Es ist f(z : (z e /z in < z < in eine Laurent-Reihe zu entwickeln. Die Laurent-Reihe für /(z erhält man mit dem leicht nachzuvollziehbaren Trick aus (z d dz n0 ( z ( d dz k + (k + k +. (Verwendung der geometrischen Reihe und gliedweise Differentiation der Laurent-Reihe. Zusammen mit e /z ( k /(k! ergibt sich ( ( (k + k ( k (z e /z + k! ( n n k (k + k ( (n k! z n+ z + 3 z z z 5 +, < z <. 7

Kapitel 24. Entwicklungen holomorpher Funktionen Taylor-Reihen (Potenzreihen und holomorphe Funktionen;

Kapitel 24. Entwicklungen holomorpher Funktionen Taylor-Reihen (Potenzreihen und holomorphe Funktionen; Kapitel 24 Entwicklungen holomorpher Funktionen Reihenentwicklungen spielen in der Funktionentheorie eine ganz besodere Rolle. Im Reellen wurden Potenzreihen in Kapitel 5.2 besprochen, das komplexe Gegenstück

Mehr

c r Addiert man nun beide Reihendarstellungen, so folgt f (ζ) Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt dann auch

c r Addiert man nun beide Reihendarstellungen, so folgt f (ζ) Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt dann auch Residuen V Beweis Einsetzen in das Kurvenintegral über c r ergibt demnach f (ζ) 2πi ζ z dζ = f (ζ) 2πi (ζ z 0 ) c r k= c r k+ dζ Addiert man nun beide Reihendarstellungen, so folgt a k (z z 0 ) k, r z

Mehr

23 Laurentreihen und Residuen

23 Laurentreihen und Residuen 23 Laurentreihen und Residuen 23. Laurentreihen Ist eine Funktion f in einem Punkt z nicht holomorph (oder nicht einmal definiert), so läßt sich f nicht durch eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z darstellen.

Mehr

4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes

4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes 4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes Satz 4. (Cauchysche Integralformel) Es sei f : U C komplex differenzierbar und a {z C; z z 0 r} U. Dann gilt f(a) = z z 0 =r z a dz. a z 0 9 Beweis. Aus dem

Mehr

52 Andreas Gathmann. =: f + (z)

52 Andreas Gathmann. =: f + (z) 52 Andreas Gathmann 9. Laurent-Reihen In den letten beiden Kapiteln haben wir gesehen, dass sich holomorphe Funktionen lokal um jeden Punkt 0 in eine Potenreihe a n( 0 n entwickeln lassen, und daraus viele

Mehr

6.5 Die Taylor-Reihe. Start: Erinnerung an den Satz über die geometrische Reihe. Für die endliche geometrische Reihe gilt die Summenformel

6.5 Die Taylor-Reihe. Start: Erinnerung an den Satz über die geometrische Reihe. Für die endliche geometrische Reihe gilt die Summenformel 6.5 Die Taylor-Reihe Start: Erinnerung an den Satz über die geometrische Reihe. Für die endliche geometrische Reihe gilt die Summenformel N q n = qn+ q für q C \ {}. Für q < ist die unendliche geometrische

Mehr

Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten

Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seminar Analysis III (SoSe 203) Pascal Niehus - Vortrag vom 27.05.203 - Kontaktdaten: Name: Studiengang: Fächer: E-Mail: Pascal Niehus BfP Mathematik, Physik

Mehr

4 Isolierte Singularitäten und Laurentreihen

4 Isolierte Singularitäten und Laurentreihen 35 4 Isolierte Singularitäten und Laurentreihen Wir beginnen mit einer lokalen Beschreibung der Nullstellen holomorpher Funktionen. 4. Lokale Beschreibung von Nullstellen. Sei U C offen, f : U C holomorph

Mehr

Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 214 Dr K Rothe Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgaben und Theoriehinweise zu Blatt 6 Komplexe Funktionen, K Rothe,

Mehr

2. Klausur zur Funktionentheorie SS 2009

2. Klausur zur Funktionentheorie SS 2009 Aufgabe : Finden Sie ein Beispiel für eine meromorphe Funktion f M(C), die auf den Kreisringen A 0, (0) und A,2 (0) unterschiedliche Laurentreihenentwicklungen besitzt. Beweisen Sie, dass Ihr Beispiel

Mehr

Einige Standard-Aufgabentypen der Funktionentheorie I

Einige Standard-Aufgabentypen der Funktionentheorie I Matthias Stemmler SS 6 stemmler@mathematik.uni-marburg.de Einige Standard-Aufgabentypen der Funktionentheorie I I. Untersuchung von Funktionen auf komplexe Differenzierbarkeit/Holomorphie gegeben: gesucht:

Mehr

6.8 Residuenkalkül. Ziel: Weitere Verallgemeinerung auf mehrere Löcher L 1,..., L N. Kapitel 6: Komplexe Integration Γ 1

6.8 Residuenkalkül. Ziel: Weitere Verallgemeinerung auf mehrere Löcher L 1,..., L N. Kapitel 6: Komplexe Integration Γ 1 6.8 Residuenkalkül Erinnerung: Sei f analytisch auf einem zweifach zusammenhängenden Gebiet G, d.h. G besitzt genau ein Loch L. Weiterhin seien und zwei positiv orientierte geschlossene Wege, die das Loch

Mehr

28: Holomorphe Funktionen, Potenzreihen und Laurentreihen

28: Holomorphe Funktionen, Potenzreihen und Laurentreihen Einleitung 28: Holomorphe Funktionen, Potenzreihen und Laurentreihen 28.1 Einleitung Wir wissen bereits, dass eine holomorphe Funktion f : M C unendlich oft komplex differenzierbar ist. Für jedes z 0 M

Mehr

3 Meromorphe Funktionen und der Residuenkalkül

3 Meromorphe Funktionen und der Residuenkalkül $Id: mero.tex,v.5 203/05/4 3:0:42 hk Exp hk $ 3 Meromorphe Funktionen und der Residuenkalkül 3.2 Isolierte Singularitäten In der letzten Sitzung hatten wir die drei Typen isolierter Singularitäten und

Mehr

falls falls Satz v. Cauchy: falls analytisch ist auf einfach zusammenhängendem Gebiet, gilt: Geschlossener Weg liefert 0: Wegunabhängigkeit:, mit

falls falls Satz v. Cauchy: falls analytisch ist auf einfach zusammenhängendem Gebiet, gilt: Geschlossener Weg liefert 0: Wegunabhängigkeit:, mit Zusammenfassung: Analytische Funktionen Def: Komplexe Funktion ist analytisch in, falls überall in existiert. Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen: Def: Komplexes Wegintegral: Substitution: Wichtiges

Mehr

H.J. Oberle Komplexe Funktionen SoSe Residuensatz

H.J. Oberle Komplexe Funktionen SoSe Residuensatz H.J. Oberle Komplexe Funktionen SoSe 2013 Partialbruch-Zerlegung. 10. Residuensatz Wir setzen unsere Untersuchung der isolierten Singularitäten einer holomorphen Funktion mit einer Methode fort, die komplexe

Mehr

Anleitung 6 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung 6 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 20 Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung 6 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Cauchy Integralformeln, Taylor-Reihen, Singularitäten,

Mehr

86 Klassifizierung der isolierten Singularitäten holomorpher

86 Klassifizierung der isolierten Singularitäten holomorpher 86 Klassifizierung der isolierten Singularitäten holomorpher Funktionen 86. Isolierte Singulariäten holomorpher Funktionen 86.3 Klassifizierung der isolirerten Singularitäten 86.5 Charakterisierung hebbarer

Mehr

Residuum. Für eine in einer punktierten Kreisscheibe D\{a} analytische Funktion f definiert man das Residuum im Punkt a als.

Residuum. Für eine in einer punktierten Kreisscheibe D\{a} analytische Funktion f definiert man das Residuum im Punkt a als. Residuum Für eine in einer punktierten Kreisscheibe D\{a} analytische Funktion f definiert man das Residuum im Punkt a als Res Res f = 1 f (z) dz, z=a a 2πi wobei C : t a + re it, 0 t 2π, ein entgegen

Mehr

Beispiel 1: Wegverformung. Berechne: , mit. Lösung: Kurzfassung: Beispiel 1: Wegverformung, Fortsetzung. Alternative Konturverformung: Kurzfassung:

Beispiel 1: Wegverformung. Berechne: , mit. Lösung: Kurzfassung: Beispiel 1: Wegverformung, Fortsetzung. Alternative Konturverformung: Kurzfassung: Beispiel 1: Wegverformung Berechne: Lösung: [Man sagt: Folglich ist, mit existiert für alle hat eine "Singularität" oder "Pol".] analytisch auf Deswegen kann Wegunabhängigkeit (i.2) genutzt werden, um

Mehr

Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 24 Prof. Dr. R. Lauterbach Dr. K. Rothe Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungen zu Blatt 6 Aufgabe 2: Für die folgenden

Mehr

3 Windungszahlen und Cauchysche Integralformeln

3 Windungszahlen und Cauchysche Integralformeln 3 3 Windungszahlen und Cauchysche Integralformeln 3. Definition: Sei geschlossener Integrationsweg oder Zyklus mit z 0 C \ Sp. Dann heißt n(, z 0 ) := dz z z 0 Windungszahl (oder: Index, Umlaufszahl) von

Mehr

4 Funktionen mit isolierten Singularitäten

4 Funktionen mit isolierten Singularitäten 4 Funktionen mit isolierten Singularitäten Funktionen wie z +z 2, z tanz oder z e /z sind mit Ausnahme einzelner Punkte in C holomorph. In diesem Abschnitt untersuchen wir solche Funktionen in der Nähe

Mehr

6.7 Isolierte Singularitäten

6.7 Isolierte Singularitäten 6.7 Isolierte Singularitäten Definition: Eine analytische Funktion f hat in einem Punkt a C eine isolierte Singularität, falls f in einem Kreisring B r (a) \ {a} = {z C : 0 < z a < r} für r > 0, definiert

Mehr

10 Logarithmus- und Potenzfunktion

10 Logarithmus- und Potenzfunktion 4 Logarithmus- und Potenzfunktion. Satz: Sei G einfach zusammenhängend, f H(G) und z G. Dann existiert genau eine Stammfunktion F von f mit F(z ) =. Für z G sei γ z ein beliebiger Integrationsweg in G,

Mehr

Leitfaden a tx t

Leitfaden a tx t Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und

Mehr

konvergent falls Sei eine allgemeine ("gutmütige") Funktion. Frage: kann man sie in der Nähe des Punktes darstellen mittels einer Potenzreihe in

konvergent falls Sei eine allgemeine (gutmütige) Funktion. Frage: kann man sie in der Nähe des Punktes darstellen mittels einer Potenzreihe in C5 Funktionen: Reihenentwicklungen C5.1 Taylorreihen Brook Taylor (1685-1731) (Analysis-Vorlesung: Konvergenz von Reihen und Folgen) Grundlegende Frage: Wann / unter welchen Voraussetzungen lässt sich

Mehr

3.4 Analytische Fortsetzung

3.4 Analytische Fortsetzung 3.4 Analytische Fortsetzung 3.4. Analytische Fortsetzung 49 Es kann vorkommen, dass eine holomorphe Funktion f, definiert durch eine Potenzreihe um den Punkt z 0 mit Konvergenzradius R, über den Rand der

Mehr

Funktionentheorie I. M. Griesemer

Funktionentheorie I. M. Griesemer Funktionentheorie I M. Griesemer Übersicht der wichtigsten Definitionen und Sätze der Vorlesung Funktionentheorie I, SS 2001, Fachbereich Mathematik, Johannes Gutenberg - Universität Mainz. Inhalt der

Mehr

(b) Folgern Sie, dass f auf C \{±i} keine Stammfunktion besitzt, indem Sie f entlang einer passenden Kreislinie mit Mittelpunkt in i integrieren.

(b) Folgern Sie, dass f auf C \{±i} keine Stammfunktion besitzt, indem Sie f entlang einer passenden Kreislinie mit Mittelpunkt in i integrieren. Musterlösung noch: Funktionentheorie Aufgabe 2.5 (Holomorphe Stammfunktion. Sei f : C \{±i} C gegeben durch f( + 2. (a Zeigen Sie, dass f ( + i eine Stammfunktion auf K 2 (i besitt. Hinweis: Zeigen Sie

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE. von. Prof. Dr. H.-W. Burmann

AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE. von. Prof. Dr. H.-W. Burmann AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE von Prof. Dr. H.-W. Burmann Bei den folgenden Aufgaben handelt es sich um Reste, die bei der Erstellung der Aufgabenblätter übriggeblieben sind. Der Schwierigkeitsgrad der

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

P n (1) P j (1) + ε 2, j=0. P(1) P j (1) + ε 2 < ε. log(1+x) =

P n (1) P j (1) + ε 2, j=0. P(1) P j (1) + ε 2 < ε. log(1+x) = Zu ε > 0 gibt es ein N N mit P n (1) P j (1) < ε/2 für j,n > N, also gilt Es folgt (1 x) n 1 j=n+1 und schließlich mit n x j P n (1) P j (1) (1 x) ε 2 P n (1) P n (x) (1 x) P(1) P(x) (1 x) für x hinreichend

Mehr

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 81 Blatt 12

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 81 Blatt 12 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 8 Blatt Rechenweg : Für das komplexe Wegintegral über : t z(t, t [a, b] gilt f(z dz = b a f ( z(t z (t dt. Rechenweg : Ist f stetig differenzierbar

Mehr

Kapitel I. Holomorphe Funktionen. 1 Potenzreihen

Kapitel I. Holomorphe Funktionen. 1 Potenzreihen Kapitel I Holomorphe Funktionen Potenzreihen Definition. Sei f a (z) = c n (z a) n eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a. Die Zahl R := sup{r 0 z C, so daß f a (z) konvergent und r = z a ist.} heißt

Mehr

Vertiefung der Funktionentheorie

Vertiefung der Funktionentheorie Vertiefung der Funktionentheorie Wintersemester 2009/2010 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 0. Wiederholung 2 1. Der Residuensatz 4 2. Anwendungen des Residuensatzes 7 3. Das Null-

Mehr

Taylor-Reihenentwicklung. Bemerkungen. f(z) = a k (z z 0 ) k mit a k,z 0,z C. z k z C. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k mit x 0,x R.

Taylor-Reihenentwicklung. Bemerkungen. f(z) = a k (z z 0 ) k mit a k,z 0,z C. z k z C. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k mit x 0,x R. 8.2 Potenzreihen Definition: Eine Reihe der Form f(z) = a ( ) mit a,z 0,z C heißt (omplexe) Potenzreihe zum Entwiclungspunt z 0 C. Beispiel: Die (omplexe) Exponentialfuntion ist definiert durch die Potenzreihe

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt Funktionentheorie I

Lösungen zum 9. Übungsblatt Funktionentheorie I Universität Karlsruhe SS 25 Mathematisches Institut I Prof Dr M von nteln Dr C Kaiser Lösungen zum 9 Übungsblatt Funktionentheorie I Aufgabe 9 K a) Wir verwenden bei diesem Integranden die Partialbruchzerlegung

Mehr

Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Laurentreihe und Residuensatz

Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Laurentreihe und Residuensatz Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Laurentreihe und Residuensat Autor: Benjamin Rüth, Korbinian Singhammer Stand: 3. Mär 05 Aufgabe Laurentreihe Entwickeln Sie die Funktion + 4 3 3 + 3 in Laurentreihen.

Mehr

Der Körper der elliptischen Funktionen Seminar Funktionentheorie bei Prof. Dr. Janko Latschev

Der Körper der elliptischen Funktionen Seminar Funktionentheorie bei Prof. Dr. Janko Latschev Begleittext zum Vortrag Der Körper der elliptischen Funktionen Seminar Funktionentheorie bei Prof. Dr. Janko Latschev Christian Offen 27.11.2013 Inhaltsverzeichnis 1 Die Struktur der Menge der elliptischen

Mehr

Vorlesungen Analysis von B. Bank

Vorlesungen Analysis von B. Bank Vorlesungen Analysis von B. Bank vom 23.4.2002 und 26.4.2002 Zunächst noch zur Stetigkeit von Funktionen f : D(f) C, wobei D(f) C. (Der Text schliesst unmittelbar an die Vorlesung vom 19.4.2002 an.) Auf

Mehr

Mathematik I - Woche 10

Mathematik I - Woche 10 Mathematik I - Woche 0 Philip Müller Reihen. Was ist eine Reihe Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (a n ) n N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein

Mehr

Karteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke

Karteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke Karteikarten, Analysis 2, Sätze und en nach der Vorlesung von PD Hanke Felix Müller, felix.b.mueller@physik.lmu.de Diese Karteikärtchen sollten alle en und Sätze der Vorlesung Analysis 2 bei Herrn PD Hanke

Mehr

Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen

Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass

Mehr

Höhere Mathematik Vorlesung 9

Höhere Mathematik Vorlesung 9 Höhere Mathematik Vorlesung 9 Mai 2017 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 9 Integralrehnung im Komplexen Das Riemannshe Integral einer komplexwertigen Funktion: Sei f : [a, b] C

Mehr

Kapitel 6. Exponentialfunktion

Kapitel 6. Exponentialfunktion Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Komplexe Analysis D-ITET. Serie 8

Komplexe Analysis D-ITET. Serie 8 Dr. T. Bühler M. Wellershoff Frühlingssemester 206 Komplexe Analysis D-ITET Serie 8 ETH Zürich D-MATH Aufgabe 8. Umlaufzahlen Berechnen - Teil I Das Ziel der Aufgabe ist es die Umlaufzahlen in vier Zyklen

Mehr

Mathematik III für Physiker. Übungsblatt 15 - Musterlösung

Mathematik III für Physiker. Übungsblatt 15 - Musterlösung Aufgabe 5.. a) Mathematik III für Physiker Wintersemester /3 Übungsblatt 5 - Musterlösung sin n n n j j+ j +)! )j 3 3! + 5 5!... ) n 3! +... n 3 5! n 5 Die Funktion hat einen Pol der Ordnung n. Der Hauptteil

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 11

Musterlösung zu Übungsblatt 11 Prof. R. Pandharipande J. Schmitt, C. Schießl Funktionentheorie 2. Dezember 16 HS 2016 Musterlösung zu Übungsblatt 11 Aufgabe 1. Sei U C offen und a U. Seien f, g : U {a} folgende Formeln zur Berechnung

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Fragen und Antworten Folgen und Reihen (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Reihen 2 1.1 Fragen............................................... 2 1.1.1 Folgen...........................................

Mehr

Lösungen zur Klausur Funktionentheorie I SS 2005

Lösungen zur Klausur Funktionentheorie I SS 2005 Universität Karlsruhe 29 September 25 Mathematisches Institut I Prof Dr M von Renteln Dr C Kaiser Aufgabe en zur Klausur Funktionentheorie I SS 25 Sei S die Möbiustransformation, die durch S(z) = i i z

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) WS 2011/12 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ws/ds/uebung/ 18. Januar 2012 ZÜ DS ZÜ XII

Mehr

Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Kapitel 8 Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Der in Definition 7. eingeführte Begriff einer Folge ist nicht auf die Betrachtung reeller Zahlen eingeschränkt und das Beispiel {a n } = {x

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

Analysis I. 2. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 2. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Die Produktmenge aus zwei Mengen L und M.

Mehr

TU Dortmund. Residuensatz und Anwendungen

TU Dortmund. Residuensatz und Anwendungen TU Dortmund Fakultät für Mathematik Residuensatz und Anwendungen Timo Putz Matrikelnummer: 127042 Mai 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Definition der Laurent-Reihe.......................... 1

Mehr

Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 2016)

Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 2016) 1 Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 216) Kapitel 11: Potenzreihen und Fourier-Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

Analytische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie 4. April 005. Übungsblatt Aufgabe (4 Punkte Sei k N. Beweisen Sie, dass f : N C mit f(n := n k streng multiplikativ ist. Sei τ die Funktion, die der natürlichen Zahl n die Anzahl der Teiler von n zuordnet

Mehr

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen

Mehr

Lösungen zum 11. Übungsblatt Funktionentheorie I

Lösungen zum 11. Übungsblatt Funktionentheorie I Universität Karlsruhe SS 2005 Mathematisches Institut I Prof. Dr. M. von Renteln Dr. C. Kaiser Lösungen zum 11. Übungsblatt Funktionentheorie I Aufgabe 11.1 a) Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion

Mehr

Cauchys Integralsatz und Cauchys Integralformel

Cauchys Integralsatz und Cauchys Integralformel Kapitel 23 Cauchys Integralsatz und Cauchys Integralformel 23. Der Cauchysche Integralsatz (einfach zusammenhängend; einfache geschlossene Kurven; Fresnelsche Integrale) Wird die Voraussetzung f habe eine

Mehr

Maclaurinsche Reihe 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Maclaurinsche Reihe 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya Maclaurinsche Reihe 1-E1 Colin Maclaurin Colin Maclaurin (1698-1746), schottischer Mathematiker, der Erfinder der nach ihm benannten Maclaurinschen Reihe und Mitentwickler der Euler-Maclaurin-Formel. 1-E

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.

Mehr

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Freie Universität Berlin Wintersemester 11/12 Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke

Freie Universität Berlin Wintersemester 11/12 Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke Freie Universität Berlin Wintersemester / Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke Musterlösung zum. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für Physiker I Differenzierbarkeit,

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9

Lösungen zu Übungsblatt 9 Analysis : Camillo de Lellis HS 007 Lösungen zu Übungsblatt 9 Lösung zu Aufgabe 1. Wir müssen einfach das Integral 16 (x + y d(x, y x +y 4 ausrechnen. Dies kann man einfach mittels Polarkoordinaten, da

Mehr

Kapitel IV. Analysis 2. 1 Reihen von Zahlen und Funktionen

Kapitel IV. Analysis 2. 1 Reihen von Zahlen und Funktionen Kapitel IV Analysis 2 1 Reihen von Zahlen und Funktionen Sei a 0, a 1, a 2,... eine Folge von (reellen oder komplexen) Zahlen. Mit N S N := a n bezeichnet man die N-te Partialsumme der a n. Die Folge (S

Mehr

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z

Mehr

Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I

Musterlösungen zu Blatt 15, Analysis I Musterlösungen zu Blatt 5, Analysis I WS 3/4 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 85: Konvergenzradien Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Aufgabe 88: Differenzenquotienten

Mehr

Cauchysche Integralformel

Cauchysche Integralformel Aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt somit die Existenz und Stetigkeit von Ableitungen beliebiger Ordnung. auchysche Integralformel 1-1 auchysche Integralformel Für ein beschränktes Gebiet D, das

Mehr

Übungen zur Funktionentheorie Lösungen zu Übungsblatt 6

Übungen zur Funktionentheorie Lösungen zu Übungsblatt 6 Mathematisches Institut SS 29 Universität München Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani A. Stadelmaier M. Schwingenheuer Übungen zur Funktionentheorie Lösungen zu Übungsblatt 6. Gegeben sei folgende konforme

Mehr

Die Taylorreihe einer Funktion

Die Taylorreihe einer Funktion Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist

Mehr

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I... ................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Musterlösung zu Blatt 10. f(z) f(z) dz

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Musterlösung zu Blatt 10. f(z) f(z) dz UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Musterlösung zu Blatt 0 Aufgabe. Berechnen Sie

Mehr

Typ der Residuum Funktion Test Singularität bei a bei a. ; a = i, Res(f; i) = lim z 2 +1 (z i)(z+i) z i 2i

Typ der Residuum Funktion Test Singularität bei a bei a. ; a = i, Res(f; i) = lim z 2 +1 (z i)(z+i) z i 2i A: Berechnung von Residuen (f Singularität in a, meist f = g, g, h analytisch in a) h Typ der Residuum Funktion Test Singularität bei a bei a. f(z) lim(z a)f(z) = hebbar z a f(z) = sin z, a = ; lim zf(z)

Mehr

Die Thetafunktion. Björn Walker und ϑ(τ, z) ist in z sowie in τ eine analytische Funktion, denn:

Die Thetafunktion. Björn Walker und ϑ(τ, z) ist in z sowie in τ eine analytische Funktion, denn: Die Thetafunktion Björn Walker.0.006 und 9.0.006 Definition der Thetafunktion Folgende Reihe wird als Thetafunktion bezeichnet: ϑ(τ, z) : e πi(n τ+nz) ϑ(τ, z) ist in z sowie in τ eine analytische Funktion,

Mehr

Einführung in die Funktionentheorie 1

Einführung in die Funktionentheorie 1 Einführung in die Funktionentheorie Martin Ziegler Freiburg, WS 994/95, WS 2000/0, SS 2006 Literatur [] Klaus Jänich. Funktionentheorie. Springer Verlag, 993. [2] H.Behnke und F.Sommer. Theorie der analytischen

Mehr

10 Potenz- und Fourierreihen

10 Potenz- und Fourierreihen 10 Potenz- und Fourierreihen 10.1 Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen Im letzten Kapitel soll es noch einmal um eindimensionale Analysis gehen. Speziell werden wir uns mit Folgen und Reihen reeller

Mehr

8. 2A. Integration von Potenzreihen

8. 2A. Integration von Potenzreihen 8. 2A. Integration von Potenzreihen Wie wir schon mehrfach sahen, sind Potenzreihen ein unentbehrliches Werkzeug für viele Berechnungen in der Ingenieurmathematik. Glücklicherweise darf man Potenzreihen

Mehr

8. Die Nullstellen der Zeta-Funktion

8. Die Nullstellen der Zeta-Funktion 8.. Wie vorher sei ( s ξ(s = π s/ Γ ζ(s. ξ ist meromorph in ganz C, hat Pole (erster Ordnung nur bei s = und s = und genügt der Funktionalgleichung ξ(s = ξ( s. Daraus folgt: Für Re s < hat die Zeta-Funktion

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Wiederholungsklausur Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3)

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Wiederholungsklausur Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) ................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

Examenskurs Analysis Probeklausur I

Examenskurs Analysis Probeklausur I Georg Tamme Sommersemester 14 Examenskurs Analysis Probeklausur I 5.6.14 F1II1. Sei f : C C eine ganze Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Behauptungen wahr sind. Begründen Sie Ihre Antwort jeweils

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1

Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1 23 3 Die Γ-Funktion Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. f(n) = (n )! für n N. Das wird durch die Funktionalgleichung erreicht. Bemerkungen. f(z + ) =

Mehr

5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen

5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen 5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten

Mehr

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden

Mehr

3.3 Das Abtasttheorem

3.3 Das Abtasttheorem 17 3.3 Das Abtasttheorem In der Praxis kennt man von einer zeitabhängigen Funktion f einem Signal meist nur diskret abgetastete Werte fn, mit festem > und ganzzahligem n. Unter welchen Bedingungen kann

Mehr

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014 Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen

Mehr

γ j γ j (f) = f(z) dz.

γ j γ j (f) = f(z) dz. 27 6. Globale Versionen des Cauchyschen Integralsatzes. Residuensatz 6.. Ketten und Zyklen. Es seien γ,...,γ n Wege in der Ebene und K =Bildγ... Bild γ n. Jedes γ j liefert eine lineare Abbildung γ j :

Mehr

Errata für Hermann Weyl, Einführung in die Funktionentheorie, Birkhäuser, Basel 2008

Errata für Hermann Weyl, Einführung in die Funktionentheorie, Birkhäuser, Basel 2008 Errata für Hermann Weyl, Einführung in die Funktionentheorie, Birkhäuser, Basel 008 Horst Petereit 0. Juli 0 Errata Seite Zeile statt: lies: vii 5 o 008 908 viii 9 u Klein hat Klein had ix 5 u noting the

Mehr

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

6 Komplexe Integration

6 Komplexe Integration 6 Komplexe Integration Ziel: Berechne für komplexe Funktion f : D W C Integral der Form f(z)dz =? wobei D C ein Weg im Definitionsbereich von f. Fragen: Wie ist ein solches komplexes Integral sinnvollerweise

Mehr