1.5 Modellieren Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

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1 Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

2 Modellieren & Sachrechnen - werden mal als Gegensätze - mal als mehr oder weniger identisch - und mal wird Modellieren als Teil des Sachrechnens wahrgenommen gegensätzlich Sicht: Mathematische Inhalte bestimmen Entwicklung der Aufgaben. So entstehen eingekleidete Aufgaben. Das ist Sachrechnen Modellieren ist wenn man umgekehrt vorgeht: Ein Problem in der Realität soll mit mathematischen Methoden gelöst werden Griesel definiert: Modellieren ist die Tätigkeit, durch die ein mathematisches Modell zu einem Anwendungsproblem aufgestellt und bearbeitet wird 2

3 Definitionen Greefrath: Modellbildung oder Modellieren ist die Bearbeitung von in der Regel außermathematischen Fragestellungen durch die Einbettung in innermathematische Kontexte Griesel: Modellieren ist die Tätigkeit, durch die ein mathematisches Modell zu einem Anwendungsproblem aufgestellt und bearbeitet wird Schipper: Im Sinne des Modellierens dienen Sachaufgaben nicht mehr nur der Förderung der Rechenfähigkeit, auch nicht mehr nur der Umwelterschließung durch ihre rechnerische Durchdringung. Im Mittelpunkt der unterrichtlichen Bemühungen steht vielmehr der Prozess der Lösung von Problemaufgaben. 3

4 Fermi-Aufgaben 4

5 Fermi-Aufgaben nach Enrico Fermi ( , Kernphysiker, Nobelpreisträger) Aufgabe: Abschätzung für ein Problem, zu dem zunächst praktisch keine Daten verfügbar sie beschreiben realitätsnahe Sachprobleme, sind offen und erscheinen auf den ersten Blick manchmal unlösbar Fermi-Aufgaben fördern neben Schätz-Kompetenzen auch Modellierungskompetenzen und zielen auf Umwelterschließung Mathematik Umwelt Individuum Schüler setzen sich mit einer Sache auseinander und nutzen dabei Mathematik als Werkzeug Ziel: Umwelterschließung 5

6 Fermi-Aufgaben Wie viele Klavierstimmer gib es in Chicago? Annahmen: Ungefähr 3 Millionen Leute leben in Chicago Ungefähr zwei Personen leben durchschnittlich in einem Haushalt Ungefähr in jedem zwanzigsten Haushalt gibt es ein Klavier Klaviere werden ungefähr einmal pro Jahr gestimmt Es dauert etwa zwei Stunden, ein Klavier zu stimmen, inklusive Fahrzeit Ein Klavierstimmer hat einen 8-Stunden-Tag, eine 5-Tage-Woche und arbeitet 40 Wochen pro Jahr Daraus folgt: mal muss in Chicago pro Jahr ein Klavier gestimmt werden Ein Klavierstimmer kann 800 Klaviere pro Jahr stimmen Es müsste es etwa 100 Klavierstimmer in Chicago geben 6

7 Was ist ein Mathematisches Modell? Verschiedene Definitionen isolierte Wirklichkeit Vereinfachung ein vereinfachtes Bild eines Teils der Welt. Dazu wird der zu betrachtende Teil der Wirklichkeit isoliert und seine Verbindungen zur Welt kontrolliert. (Leuders&Maaß,2005) eine vereinfachende, nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigende Darstellung der Realität. (Henn&Maaß,2003) Anwendung von Mathematik Entsprechung eine Darstellung eines Sachverhaltes, auf die mathematische Methoden angewandt werden können, um ein mathematisches Resultat zu erhalten. (Zais&Grund,1991) jede vollständige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen, die darauf ausgelegt ist seinem Prototyp zu entsprechen. Dieser Prototyp kann ein physikalisches, biologisches, soziales, psychologisches oder konzeptionelles Gebilde sein, vielleicht sogar ein anderes mathematisches Modell. (Davis&Hersh,1986) 7

8 Was ist ein Mathematisches Modell? es ersetzt ein anderes, weniger gut beherrschbares System - wesentliche Strukturen bleiben erhalten und werden verdeutlicht es ist zu einer Situation ist niemals eindeutig - verschiedene Ausschnitte je nach Fragestellung/Problem - unterschiedliche Modellierende - Einfluss von Aufwand, Mittel, Effizienz es ist nur begrenzt wahrheitsgetreu - denn die komplexe Realität kann nicht vollständig übertragen werden - diese Eingrenzung ist aber auch erwünscht 8

9 Modellkreislauf Blum unterscheidet vier Phasen des Modellbildungsprozesses: 1) Reale Situation 2) Reales Modell 3) Mathematisches Modell 4) Mathematisches Resultat Diese finden sich in allen Modellkreisläufen wieder 9

10 Modellkreislauf Wie viel Sand ist im Container? gesucht: Volumen 10

11 Modellkreislauf Wie viel Sand ist im Container? gesucht: Volumen Prismavolumen Formel Lösung 11

12 Modellkreislauf Wie viel Sand ist im Container? gesucht: Volumen des Sandes Realität Mathematik Formel Lösung Prismavolumen 12

13 Modellkreislauf Reale Situation Reales Modell Realität Mathematik Mathematisches Resultat Mathematisches Modell 13

14 Modellkreislauf Eine Übersicht über verschiedene Modellkreisläufe finden Sie in G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe,

15 Modellkreislauf Empirische Ergebnisse zum theoretischen Modell Borromeo-Ferri beschreibt das Situationsmodell als mentale Repräsentation der Situation: - Vereinfachung - individuelle Präferenz (eine empirisch gefundene Phase) Empirisch gewonnene Daten ergänzen und bestätigen theoretische Ergebnisse es wurde auch gezeigt: - es wird zwischen verschiedenen Phasen gesprungen (ohne Rücksicht auf den Kreislauf) - eine klare Trennung zwischen Realmodell und Mathematischem Modell ist schwierig 15

16 Modellkreislauf Modellbildung beim Sachrechnen bei Franke& Schipper (2001) 16

17 Teilkompetenzen des Modellierens Modellieren ist eine allgemeine Kompetenz, die in den Bildungsstandards genannt wird. 17

18 Teilkompetenzen des Modellierens Modellieren ist eine allgemeine Kompetenz, die in den Bildungsstandards genannt wird. Andererseits ist Modellierung ein komplexer Vorgang, deshalb: Betrachtung von Teilkompetenzen Begriffsklärung: Zwischenschritte: Zustände (Situation, Modelle, Resultate) Teilprozesse: Prozesse, die beim Übergang von einem Zwischenschritt zum nächsten ablaufen Teilkompetenzen: Kompetenzen zur Bewältigung von Teilprozessen 18

19 Teilkompetenzen des Modellierens Schülerverhalten Teilkompetenz trennt wichtige und unwichtige Vereinfachen Informationen einer Realsituation übersetzt Realsituation in z.b. Mathematisieren Term, Gleichung, Diagramm etc Arbeitet mit Term, Gleichung, Diagramm etc Rechnen Bezieht im Modell gewonnene Informationen Interpretieren auf die Realsituation Überprüft die im Modell gewonnenen Informationen an der Realsituation / vergleicht und bewertet Validieren verschiedene math. Modelle für die Realsituation Beurteilt kritisch das verwendete math. Modell Beurteilen Ordnet einem math. Modell eine passende Realisieren Realsituation zu 19

20 Teilkompetenzen des Modellierens Mathematisieren Mathematische Modelle beim Sachrechnen Rechenaufgaben/Gleichungen Skizzen Tabellen sonstige Diagramme grafische Darstellungen einzelne Zahlen oder Zahlen in einer bestimmten Anordnung 20

21 Teilkompetenzen des Modellierens Realisieren 2x + y = 1000 y = ½ -x/3 x 21

22 Teilkompetenzen des Modellierens Realisieren 22

23 Interpretieren Validieren Beurteilen Realisieren Teilkompetenzen des Modellierens Situation Vereinfachen Modell Realität Mathematik Mathematisieren Lösung Rechnen Modell 23