Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen

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1 MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des Grezwerts eier reelle Zahlefolge (Def. 27 der Vorlesug) zu verstehe ud damit zu arbeite: Defiitio: Die Zahl g R heisst Grezwert oder Limes der reelle Zahlefolge a, we ε > 0 N N : a g < ε N. () Bearbeite Sie dieses Tutorial bitte i Gruppe zu drei oder vier Persoe. Diskutiere Sie utereiader Ihr Vorgehe beim Bearbeite der eizele Aufgabe ud versuche Sie im Falle eier Ueiigkeit, sich gegeseitig vo der richtige Lösug zu überzeuge. Es ist ausserdem ützlich, we Sie i der Gruppe eie Laptop mit MATLAB habe. Teil Wir aalysiere die logische Aussage () vo ie ach ausse ud betrachte als Erstes die Ugleichug a g < ε. (2) Offebar köe wir für eie gegebee Zahlefolge a geau da etscheide, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, we die Zahle, g ud ε gegebe sid. Beispiele: Wir betrachte die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a :=.. Wir wähle := 00, g := 0 ud ε := 0.. I diesem Fall ist die Aussage (2) wahr: a g = 00 0 = 00 = 00 < = 0. = ε. (3) 0 2. Wähle wir higege := 8, g := 0 ud ε := 0., so ist die Aussage (2) falsch: a g = 8 0 = 8 = 8 > = 0. = ε. (4) 0 Löse Sie auf ähliche Weise die folgede Aufgabe: Aufgabe : Gebe Sie de Wahrheitswert der Aussage (2) für die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a := 3 ud für die folgede Fälle a: a) := 20, g :=, ε := 0., b) := 40, g :=, ε := 0., c) := 60, g :=, ε := 0., d) := 80, g :=, ε := 0.03, e) := 00, g :=, ε := 0.03, f) := 20, g :=, ε := 0.03, g) := 250, g :=, ε := 0.0, h) := 300, g :=, ε := 0.0, i) := 350, g :=, ε := 0.0. Wir gewie eie eue Erketis, we wir für die Zahlefolge a aus Aufgabe ud für g := die Zahle f() := a g = 3 = 3 = 3, N, (5) gege N aufzeiche (d. h. wir zeiche de Graphe der Fuktio f : N R, f() := a g ). Damit wir i der Grafik geüged Details erkee, wähle wir eie doppelt logarithmische Darstellug (loglog i MATLAB):

2 0 0 0 y = f() = a ǫ = 0. ǫ = 0.03 ǫ = g y Offebar wird jeder der drei Werte ε {0.,0.03,0.0} uterschritte, we gross geug ist. Dafür muss desto grösser sei, je kleier ε ist. Eie weitere wichtige Beobachtug ist, dass eie horizotale Liie icht mehr überschritte wird, we sie eimal uterschritte wurde (f ist eie streg mooto fallede Fuktio). Teil 2 Damit komme wir zur erweiterte Aussage: a g < ε N. (6) Für eie gegebee Zahlefolge a köe wir geau da etscheide, ob die Aussage (6) wahr oder falsch ist, we g, ε ud N gegebe sid. I Aussage (6) sid wir icht mehr dara iteressiert, ob die Aussage (2) für ei bestimmtes N wahr ist, soder ob sie (für ei gegebees N N) für alle N wahr ist. Beispiele: Wir betrachte die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a :=.. Wir wähle g := 0, ε := 0. ud N := 20. Sei N = 20, da gilt N = 20 ud damit a g = 0 = = N = 20 < = 0. = ε. (7) 0 Dies gilt für jedes N = 20, also ist die Aussage (6) wahr. 2. Wähle wir higege g := 0, ε := 0. ud N := 5, so ist die Aussage (6) falsch, de es gilt z. B. für := 7 > 5 = N: a g = 0 = = 7 > = 0. = ε. (8) 0 Also ist die Ugleichug a g < ε ebe icht für alle N = 5 erfüllt, ud damit ist die Aussage (6) falsch. 2

3 Löse Sie auf ähliche Weise die folgede Aufgabe: Aufgabe 2 : Gebe Sie de Wahrheitswert der Aussage (6) für die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a := 2 ud für die folgede Fälle a: a) g :=, ε := 0.0, N := 0, b) g :=, ε := 0.0, N := 20, c) g :=, ε := 0.0, N := 342. Wie wir i Aufgabe 2 gesehe habe, ka die Aussage (6) durchaus für mehrere Werte vo N N wahr sei. Aufgabe 3 : Bestimme Sie für die folgede Zahle(folge) Werte N N, so dass die Aussage (6) wahr ist: a) a mit Bildugsgesetz a :=, g := 0, ε := 0.0, b) a mit Bildugsgesetz a := 3, g :=, ε := 0., c) a mit Bildugsgesetz a := 2, g :=, ε := Hiweis: Zeiche Sie jeweils de Graphe der Fuktio f : N R, f() := a g, N, i eier doppelt logarithmische Darstellug. Teil 3 Wir erweiter die Aussage (6) och eimal zu N N : a g < ε N. (9) Für eie gegebee Zahlefolge a köe wir geau da etscheide, ob die Aussage (9) wahr oder falsch ist, we g ud ε gegebe sid. I Aussage (9) sid wir icht mehr dara iteressiert, ob die Aussage (6) für ei bestimmtes N N wahr ist, soder ob überhaupt ei N N existiert, so dass sie wahr ist. Beispiele: Wir betrachte die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a :=.. Wir wähle ausserdem g := 0 ud ε := 0.0. Aus Aufgabe 3a) wisse wir, dass die Aussage (9) wahr ist, de es gilt z. B. für N := 0 mit N ( N ): a g = 0 = = N = 0 < = 0.0 = ε. (0) 00 Dies gilt für jedes N, also ist die Aussage (6) wahr für N = 0 N. Damit ist auch die Aussage (9) wahr, de wir habe ja ei N N mit der gewüschte Eigeschaft explizit agegebe, also existiert ei solches N. We die Aussage (9) wahr ist, da ist es also relativ eifach, dies achzuweise, idem ma ei N N mit der gewüschte Eigeschaft sucht. 2. Ist die Aussage (9) higege falsch, so ist es icht mehr so eifach, dies achzuweise: wir müsste i diesem Fall zeige, dass kei N N mit der gewüschte Eigeschaft existiert, ud Nichtexistez ist meistes schwieriger achzuweise als Existez. Mit eier grafische Darstellug ka ma es meist relativ leicht erkee. Wir zeiche wieder die Graphe der Fuktioe f : N R, f() := a g = g, N, für verschiedee Werte vo g: 3

4 g = 0 g = 0.05 g = 0.03 ǫ = 0.0 f() Offebar ist die Aussage (9) mit ε := 0.0 für eiige Werte vo g falsch, de es gilt z. B. für g = 0.05: a g = 0.05 = = ε, 25, () ud für g = 0.03 gilt a g = 0.03 = = ε, 50. (2) Für diese Werte vo g ud ε ka daher kei N N existiere, für das die Aussage (6) wahr wäre, ud damit ist auch Aussage (9) falsch. Löse Sie auf ähliche Weise die folgede Aufgabe: Aufgabe 4 : Gebe Sie de Wahrheitswert der Aussage (9) a für die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a := 2 ud für die Zahle a) g = /2, ε = 0., b) g = 5/9, ε = 0., c) g = 5/9, ε = 0.0. Aus de Aufgabe 4b) ud c) erkee wir, dass für ei festes g die Aussage (9) wahr oder falsch sei ka je achdem, was der Wert vo ε ist. Teil 4 Damit komme wir zur ursprügliche Aussage (): ε > 0 N N : a g < ε N. () Für eie gegebee Zahlefolge a köe wir geau da etscheide, ob die Aussage () wahr oder falsch ist, we g gegebe ist. I Aussage () sid wir icht mehr dara iteressiert, ob die Aussage (9) für ei bestimmtes ε > 0 wahr ist, soder ob sie für alle ε > 0 wahr ist. Es darf also kei eiziges ε > 0 existiere, für das die Aussage (9) falsch ist. Dies ist wiederum ei Nachweis vo Nichtexistez ud damit i. A. schwierig, de es ist ja icht möglich, alle (überabzählbar uedlich viele) Werte vo ε > 0 durchzuprobiere. Daher führe wir de Beweis für ei beliebiges ε > 0 ud versuche, dafür explizit ei N N zu kostruiere, wie im folgede Beispiel gezeigt: 4

5 Beispiel: Wir betrachte die reelle Zahlefolge a mit dem Bildugsgesetz a :=.. Wir wähle g := 0. Da ist die Aussage () wahr: Sei ε > 0 gegebe. Es gilt a g = 0 = = < ε > ε. (3) Wir wähle also z. B. N := ε + > ε > 0, wobei die Klammer das (Auf-)Rude zur ächstgrössere gaze Zahl bezeichet. Für diese Wert vo N (der vo ε abhägt!) ist die Aussage (6) wahr. Damit ist auch die Aussage (9) wahr. Weil ε > 0 beliebig war, köe wir ei solches N für jedes ε > 0 kostruiere, ud damit ist die Aussage (9) wahr für jedes ε > 0. Also ist die Aussage () wahr, ud g = 0 ist der Grezwert der reelle Zahlefolge. 2. Wähle wir higege g := 0.0, da ist die Aussage () falsch. Zum Beweis müsse wir ur ε > 0 klei geug wähle, so dass die Aussage (9) falsch ist. Wähle wir z. B. ε := 0.003, da gilt a g = 0.0 = 0.0 > = ε 50. (4) 300 Für dieses ε ka also kei N N existiere, für das die Aussage (6) wahr ist, ud damit ist die Aussage (9) falsch. Offebar ist also die Aussage (9) ebe icht für alle ε > 0 wahr, ud deswege ist die Aussage () falsch. g = 0.0 ist also icht der Grezwert der reelle Zahlefolge. Löse Sie auf ähliche Weise die folgede Aufgabe: Aufgabe 5 : Beweise oder widerlege Sie die folgede Aussage: a) g := ist der Grezwert der reelle Zahlefolge 3, b) g := ist der Grezwert der reelle Zahlefolge 2, c) g := 5/9 ist der Grezwert der reelle Zahlefolge 2. Schlussbemerkug We Sie für eie gegebee Zahlefolge a eie Vermutug habe, welche Zahl g R ihr Grezwert sei köte, da köe Sie dies mit de aus diesem Tutorial gelerte Methode beweise oder widerlege. Habe Sie higege keie Ahug, was der Grezwert der reelle Zahlefolge sei köte, da ka es sehr schwierig sei, diese exakt zu bestimme. Besoders schwierig wird es, we der Grezwert g eie komplizierte ratioale oder gar irratioale Zahl ist (falls der Grezwert eie eifache ratioale Zahl ist, so ka ma ih vielleicht schätze durch Zeiche der Folgeglieder auf der reelle Achse). Deshalb werde wir us i der Aalysis oft damit zufriede gebe, dass eie reelle Zahlefolge überhaupt eie Grezwert hat, also koverget ist (Def. 28 der Vorlesug): Defiitio: Eie reelle Zahlefolge a heisst koverget, we sie eie Grezwert g R besitzt. Aderfalls heisst die reelle Zahlefolge a diverget. Für Kovergez wird lediglich die Existez des Grezwerts gefordert, d. h. der Wert vo g R braucht icht bekat zu sei! Um Kovergez oder Divergez eier reelle Zahlefolge achzuweise gibt es eiige sog. Kovergezkriterie, wie z. B. das Mootoiekriterium (Satz 9 der Vorlesug) oder das Cauchy- Kriterium (Satz 0 der Vorlesug). 5