5 a) 3200 b) 54 c) 980

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1 Schülerbuchseite 6 9 Standpunkt Seite 6 Die Lösungen zum Standpunkt befinden sich am Ende des Schülerbuches. Mit Bäumen rechnen Seite 7 Bianca: h = 0,75 m = 7,50 m bzw. h = 15 0,75 m = 11,5 m Anke: h = 1,0 m = 1 m bzw. h = 15 1,0 m = 19,50 m Tim: h =,70 m = 7 m bzw. h = 15,70 m = 55,50 m Sarah: V = 0,4,80 = 8,78 m bzw. V =,80 = 7,84 m David: V = 0,4,70 = 0,6 m bzw. V =,70 = 1,69 m Faustformel für die Masse m eines Stamms: m = 0,4 u 0,6 = 0,4 u bzw. m = 0,6 u 1 Ausmultiplizieren. Ausklammern Seite 8 Beispiel: Die Flächenstücke a r und c r oder die Stücke a r und a c passen zusammen. Für die Beispiele oben erhält man a r + c r bzw. (a + c) r und im zweiten Fall a r + a c bzw. a (r + c). Die Summe der Einzelflächen besteht aus Produkten, deren einer Faktor eine Seitenlänge (z. B. a) des Rechtecks ist und deren anderer Faktor jeweils ein Teilstück der zweiten Seite des Rechtecks ist (z. B. r, s, t). Seite 9 1 a) = Å0 + 4 = Å = 00 + Å5 = Å = Å0 + 4 = Å44 b) å 40 + å 4 = = = = = = 585 c) = å0 + 6 = = Å6 = å0 + 9 = 60 + å = 65å a) 6 (80 ) = = (40 ) = 0 16 = 04 7 (90 ) = 60 1 = 609 b) 1 (0 ) = 60 6 = 4 11 (90 5) = = 95 9 (å0 Å) = 60 9 = 61 c) Å (0 Å) = 60 Å = 4å Å (50 ) = = 5å6 Å5 (40 Å) = 600 Å5 = 585 a) a b + a c = a (b + c) b) x r + x s + x t = x (r + s + t) c) m n + m n + m f = m (n + n + f) = m n + m f d) s e + 4 s f + s c + s d = s (e + f + c + d) 4 a) 5 x + b) x + x y c) 7 a 7 d) 1 m m n e) x y 4 x f) 6 f g + 4 g g) 180 a + 6 a b h) 7 a b 6 a i),5 z + 0,75 z j) 6 r s 9 r s 5 a) 00 b) 54 c) A = D C = J E = H K = B F: keine Entsprechung I: keine Entsprechung G: keine Entsprechung L: keine Entsprechung 7 a) 6 x 9 x y b) 4 a b + 1 a b = 16 a b c) 18 a b + 8 a c d) a b + 15 a e) 7p + 18 p q f) 15 a b 0 a b g) 1 x y 18 x y h) 7,5 x y x y 8 a) 8 (4 x + y) b) 7 x (7 y + ) c) 11 y ( x + z) d) 9 b ( 5 a + c) e) 0 s ( t + 4 s) f) 15 v w (7 v 4) g) 1 m n ( 6 m + 7 n) h) 8 x y ( x y ) 9 a) 4 a (11 a 4 b) b) ( y 17 z ) c) x y (5 x 16 y) d) x y (1 x 7 z) e) 0 x y (8 y 5 x) f) x y (9 x 11 y) g) 5 x y ( x 7) h) 5 x y (17 1 x) L 1

2 Schülerbuchseite 9 1 a) 9 x (4 + y) = 6 x + 7 x y b) 6 a ( a 9 b) = 1 a 54 a b c) ( 5 x) ( y 4 x) = x y + 0 x d) ( a b) ( a b) = a b + a b e) (s + r s) ( 7s) = 7 s 1 r s f) ( 5 x y ( 0,5 y)) ( 4 y) = 0 x y y 11 a) 5 x y b) t 5 s c) 4 a a d) x + 4 x y e) 4 a b + 0 b c f) 1 x + 4 y Seite Summenterm, Produktterm (n + 1) n = n + n n ( n + 1) = n + n ( n + 1) n = 6 n + n individuelle Lösungen 1 a) 4 a + 4 b + 1 c b) 4 x + 8 x y 4 x z c) a + a + 4 a b d) x y 14 x y 6 x y z e) 15 x y y + y z f) 18 r u + 8 s u u g) a b 15 a b + 5 a b c h) 18 u + 8 u v u 1 a) 8 x 1 y b) 11 a + 17 b c) 4 z + 1 y d) u + v 4 w e) e + f + g f) 0,5 x 0,8 y g) q + r h) a a b 18 Sven hat vergessen, die 7 im Zähler auszuklammern. Er hat nur den Minuenden gekürzt. a) a 1 b) x y + 1 c) 1 a c d) 9 x 1 Multiplizieren von Summen Seite 11 Sandra und Daniel haben beide Recht. Es kommt darauf an, wie man zählt. Sandra zählt ein großes Quad rat (n ), drei Rechtecke ( n) und zwei kleine Quad rate (). Daniel berechnet den Flächeninhalt des großen Rechtecks mit der Formel Länge (n + ) mal Breite (n + 1). Seite 1 1 a) n + n b) 4 n + 8 n c) n + 5 n + 6 d) 4 n + 1 n + 9 e) 4 n + 4 n f) n + 4 n + a) (n + ) (n + ) b) (n + ) (n + 4) 14 a) (x + ) 4 x = 4 x + 1 x b) c (6 a + 8 b) = 1 a c + 16 b c c) z (1,5 x + 6 y) = x z + 1 y z d) v (8 r + t + y + w) = 4 v r + v t + v y + v w 15 a) ( 1) (a + ) b) ( 1) (5 + x ) c) ( 1) (1 a b) d) ( 1) (v w ) e) ( 1) ( x x y + y) f) ( 1) ( 5 a 4 b c ) 16 a) 7 m n (5 m + 9 n) b) 8 x y ( y + 5 x 6) c) 9 a b c ( 9 a b c 6 a) d) 6 a b c (9 a b + b 8 c + ) e) 7 x y z (6 x y x z y z 7 x y) c) (n + ) (n + ) 17 a) 6 a + 9 b b) 6 x 9 x c) 5 a b + a b d) 1 x + 9 y e) 7 x y 9 y t f) 7 a x + 9 b y L

3 Schülerbuchseite 1 1 d) ( n + 1) (n + 1) f) 0,6 u r + 1,5 r v 7,68 s u + 16 s v g) 0,05 x y 0,1 x y 0,75 x + 1,5 x y 8 a) ( s 1 t) (5 s + 4 t) = 50 s 0 s t 48 t b) (6 x + 4 y) ( x + 8) = 1 x + 48 x + 8 x y + y c) (7 a b) (5 c + 4 d) = 5 a c 5 b c 4 b d + 8 a d d) (6 x y + 4 x) ( y 1) = 18 x y + 6 x y 4 x e) ( a + 6) (0 a b + 1 b) = 00 a b + 7 b a) x + 5 x + 4 b) x + 7 x + c) 6 x 4 x d) x 1 x + 4 e) 6 x 4 x + y x y f) 6 x + 7 x y y 4 a) (¹ + r) (» + º) = ¹» + ¹ º + r» + r º b) (º + ¹) (r») = º r º» + ¹ r ¹» c) (r ¹) (» º) = r» r º ¹» + ¹ º d) (» + r) (» º) =»» +» º + r» r º e) ( ¹») (º r) = ¹ º + ¹ r» º +» r f) ( º ¹) ( ¹») = º ¹ + º» + ¹ ¹ + ¹» g) (» ¹ + º) ( r») =» r»» + ¹ r + ¹» º r º» 5 a) Quader A: (a + b) (c + d) Quader B: (x + ) (x + 1) Quader C: (x + 1) (x 1) b) Quader A: A O = (a + b) (c + d) + (a + b) (e + f) + (c + d) (e + f) Quader B: A O = (x + ) (x + 1) + x (x + ) + x (x + 1) Quader C: A O = (x + 1) (x 1) + (x + 1) ( x + 1) + (x 1) ( x + 1) c) Quader A: V = (a + b) (c + d) (e + f) Quader B: V = (x + ) (x + 1) x Quader C: V = (x + 1) (x 1) ( x + 1) 6 a) 18 a x + 6 b x + 6 a y + b y b) 15 a c + 0 a d + 6 b c + 8 b d c) 48 u r 48 u s + 4 v r 4 v s d) 0 k m 0 k n + 1 i m 8 i n e) 15 t s + 9 t w 60 w s 4 w f) 4 a s + 18 a t 8 b s 1 b t g) 1 v s + 18 v t 8 w s 4 w t 7 a) 1,5 x,8 x y 4,5 + 11,4 y b) 0, x + 0,7 +,4 x y 6,4 y c) 7, x y 18 x + 15,6 y 8,4 d) 14,4 y + 6 x y 8,4 x y,5 x = 14,4 y,4 x y,5 x e),4 a + 10 a b + 0,56 a b 8 b =,4 a + 10,56 a b 8 b 9 a) Jeder Summand der ersten Summe muss mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert werden. (x + ) (7 y) = 7 x x y + 1 y b) Der Faktor a ( a) ergibt a. (a 5) (b a) = a b a 5 b + a c) Der Faktor y 5 x ergibt + 15 x y (Vorzeichenfehler), außerdem kann man noch Terme zusammenfassen. ( x + y) ( 4 y + 5 x) = 8 x y + x 1 y + 15 x y = x 1 y + 7 x y d) Zwischen a x a und b x 6 b fehlt das Rechenzeichen. (a + b) (x ) = a x a + b x 6 b e) Die Klammern müssen multipliziert und nicht addiert werden. ( x + y) ( x 4) = x + 4 x x y 1 y f) Jeder Summand der ersten Summe muss mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert werden. (w + ) (4 + w) = 4 w + w w = w + w + 1 a) Bei dem ersten Ausdruck wurde die Figur in zwei Rechtecke zerlegt und die Summe dieser Flächeninhalte berechnet. Bei dem zweiten Ausdruck wurde die Figur zunächst zu einem großen Rechteck ergänzt, dann wurde die Ergänzung subtrahiert. b) a b + (a + c) d Binomische Formeln* Seite 1 (n + 1) = n + n + 1 (n + ) = n + 4 n + 4 (n + ) = n + 6 n + 9 (n + 5) = n + 50 n a) (x + y) (x + y) = x + x y + y b) (v r) (v r) = v v r + r c) (c + 5) (c + 5) = c + c + 5 d) (4 + a) (4 + a) = a + a e) (g ) (g ) = g 4 g + 4 f) (11 b) (11 b) = 11 b + b Die Faktoren bestehen aus Summen bzw. Differenzen, die gleich sind. L

4 Schülerbuchseite 1 14 a) (» + ¹) =» +» ¹ + ¹ b) (º») = º º» +» c) (r +») = r + r» +» d) (¹ + º) = ¹ + ¹ º + º e) (º ¹) = º º ¹ + ¹ f) (» r) =»» r + r a) (v + w) = v + v w + w b) (a + z) = a + a z + z c) (m n) = m m n + n d) v 6 v w + 9 w e) 49 c + 70 c d + 5 d f) 4 r 6 r t +,5 t 4 a) (» + r) (» r) =» r b) (¹ +») (¹») = ¹» c) (º») (º +») = º» d) (¹ º) (¹ + º) = ¹ º e) (r + ¹) (r ¹) = r ¹ f) (» + r) (» + r) = r» Seite 14 5 a) (y + 4) (y 4) = y 16 b) (n q) (n + q) = n q c) (t + s) (t s) = t s d) (u v) (u + v) = u v e) (f + g) (f g) = f g f) (k j) (k + j) = k j Individuelle Lösungen. Alle Lösungen haben dieselbe Form; sie bestehen aus einer Differenz von Quadraten. 6 x y (x + y) x + y a) b) c) d) 0,5 1,5 4,5 7 a) 4 s 9 t b) 0 k 160 i k + 64 i c) 6 c 5 d d) 11 c c d + 81 d e) 5 s 16 t f) 0,16 z 4 w z + 5 w g) 0,01 t 5 s h) 5 p 60 p q q 8 a) (7 p + q) (7 p ): kein binomischer Term b) (7 p + q) ( p 7 q): kein binomischer Term c) (7 p + q) (7 p + q): erste binomische Formel d) (7 p + q) (7 q + p): kein binomischer Term e) (7 p + q) ( q + 7 p): erste binomische Formel f) (7 p + q) ( q 7 p): zweite binomische Formel 9 Die Abbildung veranschaulicht die dritte binomische Formel. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist (a + b) (a b). Durch Umlegen der Teilflächen ergibt sich ein Quadrat der Seitenlänge a, also mit Flächeinhalt a, dem ein kleines Teilquadrat der Seitenlänge b, also mit Flächeninhalt b, fehlt. Insgesamt hat das Quadrat also den Flächeninhalt a b. Da das Rechteck und das Quadrat denselben Flächeninhalt haben, gilt also: (a + b) (a b) = a b. a) Beispiele: 7 6 = 49 6 = 1 = = 5 16 = 9 = b) Das große Quadrat hat den Flächeninhalt (x + 1), das kleine x. Wenn man nun das kleine Quadrat vom großen subtrahiert, bleiben als Restflächen zwei Rechtecke mit Flächeninhalt x 1 und ein kleines Quadrat mit dem Flächeninhalt 1. Insgesamt bleibt als Rest also x + 1. Formt man diesen Term um, so erhält man x + 1 = x + (x + 1), also die Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen. c) Allgemein gilt: (x + 1) x = x + x + 1 x = x + 1 = x + (x + 1). 11 a) 81 z b) u 4 u w + w c) x 1 d) a 16 e) 5 x + x y + y f) y x y x g) 1,44 0,5 a 1 a) x 48 x y y b) Im ersten Druck des Schülerbuchs ist ein Fehler. Richtig heißt es: 11 a (7 b + 9 a) Lösung: 70 a 16 a b 49 b c) 0 a 180 a b a + 49 b d) 0 b 80 a b + 99 a e) 5 x + 6 x a) (x + 6) = x + 1 x + 6 b) (a ) = a 6 a + 9 c) (6 m + 5) = 6 m + 60 m + 5 d) (0 r + 0,5 s) = 400 r + 0 r s + 0,5 s e) g 1 h = 4 g g h h Zeit sparen, Rechenvorteile nutzen individuelle Lösungen Die 1. binomische Formel wird verwendet, wenn sich die Zahl besser durch eine Summe darstellen lässt (z. B. 6 = 60 + ). Die. binomische Formel wird bei der Differenz verwendet (z. B. 49 = 50 1). Die beiden Klammern unterscheiden sich jeweils nur durch das Vorzeichen. Deshalb kann die. binomische Formel angewendet werden. L 4

5 Schülerbuchseite individuelle Lösungen a) 6 5 = (6 + 5) (6 5) = 11 1 = = ( ) (56 55) = = = ( ) ( ) = = = ( ) ( ) = = = (7 + 4) (7 4) = 11 = = ( ) (57 54) = 111 = = ( ) ( ) = 1111 = 4 Faktorisieren Seite 15 n + n + 1 = (n + 1) n + 4 n + 4 = (n + ) n + 6 n + 9 = (n + ) Man benötigt genügend gelbe Quadrate. Ihre Anzahl berechnet sich aus der Anzahl der verwendeten Rechtecke. Diese muss halbiert und dann quadriert werden. Seite 16 1 Für den ersten Druck des Schülerbuches gelten a) a (b + c) = a b + a c b) x (r + s + t) = x r + x s + x t c) m (n + n + f) = m n + m n + m f = m n + m f d) s (e + f + c + d) = s e + 4 s f + s c + s d a) ( n + 4) b) (6 y + 5 x) c) (7 a b + c) d) ( z + x y) e) (4 p 17 r ) f) (15 y 1) Für den ersten Druck des Schülerbuches gelten a) 00 b) 54 c) 980 a) 6 a b b) 5 c c 6 a c b c a b 5 a b c a b Für den ersten Druck des Schülerbuches gelten 5 a (5 a) = (15 a 5 a) I und J (4 c + 6 b) 7 a = 4 a b + 8 a c B und F 7 a ( b + a) = 14 a 7 a b L und E a (4 a + b) = 6 a b + 1 a H und A D: 5 a 15 a: keine Entsprechung K: 7 a + 5 a b: keine Entsprechung C: 5 a b + 8 a c: keine Entsprechung G: 7 a b + 14 a : keine Entsprechung a) 8 ( a b + 5 c) b) y (0 x 1) 4 (8 a d) y ( y + 17 z) 4 ( g h 19 i) y (64 a + 1) 14 ( e 6 f h) y ( x 1) 4 Für den ersten Druck des Schülerbuches gelten a) 8 (4 x + y) b) 7 x (7 y + ) c) 11 y ( x + z) d) 9 b ( 5 a + c) e) 0 s ( t + 4 s) f) 1 m n ( 6 m + 7 n) g) 8 x y ( x y ) h) 17 x ( x + y ) a) y b) c 4 x 8 x y 1 x 7 a b 1 a b 14 a b c c) d) 15 r z r 15 z r z r x y 14 x z 4 x z 14 x y z e) f) h g 16 g h g h 48 g h c 4f 1 d e 9 c d e 5 d e f 5 Für den ersten Druck des Schülerbuches gelten a) 4 a (11 a 4 b) b) ( y 17 z ) c) x y (5 x 16 y) d) x y (1 x 7 z) e) 0 x y (8 y 5 x) f) x y (9 x 11 y) g) 7 x (0,5 0, x) h) 0,4 x ( x y 1) a) 4 a (5 + a) b) 9 p q (5 + p q) c) 9 d (4c 6 c x) d) 11 x (4 y 9z) e) 9 z ( d + z e) c) d) b,5 4 b 4 b b m 4 m n 4 m n 8 m n L 5

6 Schülerbuchseite Für den ersten Druck des Schülerbuches gelten a) 9 x (4 + y) = 6 x + 7 x y b) 6 a ( a 9 b) = 1 a 54 a b c) ( 5 x) ( y 4 x) = x y + 0 x d) ( a b) ( a b) = a b + a b e) (s + r s) ( 7s) = 7 s 1 r s f) ( 5 x y ( 0,5 y)) ( 4 y) = 0 x y y a) 5 m + m n + n = (5 m + n) b) 6 a 1 a + 1 = (6 a 1) c) 64 t t + 81 = (8 t + 9) d) 4 a 4 a b + b = ( a b) e) 4 c 68 c + 89 = ( c 17) f) z 18 z + 81 = (z 9) g) 0,04 a 0,1 a b + 0,09 b = (0, a 0, b) 7 a) ( 1) (a + ) b) ( 1) (5 + x ) c) ( 1) (1 a b) d) ( 1) (v w ) e) ( 1) ( x x y + y) f) ( 1) ( 5 a 4 b c ) 8 a) (x + y) b) (v w) c) (x + ) d) (x + 4) e) (x 9) f) (x 1) 9 a) (x + y) (x y) b) (t + u) (t u) c) (b + 4) (b 4) d) (6 + y) (6 y) e) (9 + z) (9 z) f) (0 + x) (0 x) g) (5 y x) (5 y + x) h) (11 9 g) ( g) i) (1 x) (1 + x) a) 11 m 5 = (11 m 5) (11 m + 5) b) p = (9 1 p) (9 + 1 p) c) z = (7 1 z) (7 + 1 z) d) a 14 a + 49 = (a 7) e) m 18 m + 81 = (m 9) f) 11 w + w = (11 w) g) x + x y + y = (x + y) 11 a) ( a b) b) (m + 1) c) ( b 5 c) d) (a + 1) e) (4 s 7 r) f) (1 + z) (1 z) g) (1 1,4 x ) h) (5 14 a) ( a) i) (4 z 5 y) j) (0,7 a 0,1 b) (0,7 a + 0,1 b) 1 a) (x + 18), ( x + 9), ( x + 6) b) (x + 5), (5 x + 5), (5 x + 1) c) (a + b), ( a + b), (a b + ) d) (a + b), 1 b + a, (1 + a b) 5 Gleichungen mit Klammern Seite 17 Grundstück 4.1: x Grundstück 4.: (x + 8) (x 6) Da die Flächeninhalte gleich sind, gilt: x = (x + 8) (x 6). Daraus folgt x = 4. Damit hat das Grundstück 4.1 die Maße 4 m 4 m, das Grundstück 4. die Maße m 18 m. Seite 18 1 a) x = 1 b) x = 1 c) x = 1 d) x = 4 a) x = 6 b) x = c) y = 9 d) y = ( x 4) = ( + 4 x); x = 9 a) mögliche Lösungen: ( x 4) = ( x + 4); x = 0 4 ( x ) = ( x + 4); x = 1 ( x + 4) = ( 4 x); x = 7 ( x + 4) = ( 4 x); x = ( x ) = ( + 4 x); x = 7 b) individuelle Lösungen 4 a) ((x 5 + ) ) 1 = 4 x; x = 1 b) (( x + 4) + 4) : = 4 x; x = Setzt man die Klammern anders oder lässt sie ganz weg, erhält man andere Ergebnisse. 5 a) x = 7; Probe: (7 + ) (7 6) = 7 9; = b) x = ; Probe: ( ) ( + ) = ( ) 8; 4 = 4 c) x = ; Probe: ( 5) ( 9) = + ; 1 = 1 d) y = ; Probe: + 9 = ; = e) x = ; Probe: ( 4) ( + 11) = ( 1) + 1; 14 = 14 f) x = 51; Probe: ( 51 + ) (51 9) = (51 ) ( 51 11); 468 = 468 L 6

7 Schülerbuchseite a) Tim und Anna haben richtig gerechnet. Ben hat nicht beachtet, dass durch das Minuszeichen zwischen den beiden Faktoren die Vorzeichen im zweiten Faktor (x + 6) ( x + 1) vertauscht werden. Tim hat diesen Fehler durch das Setzen der runden Klammer vermieden und Anna hat das Minuszeichen in die erste Klammer des zweiten Faktors gezogen. b) Tim: x (x ) (x + 6) ( x + 1) = x x 4 x ( x + x + 1 x + 6) = x x 4 x ( x + 1 x + 6) = x x 4 x x 1 x 6 = x 17 x 6 = x 6 = 0 x x = 6 0 = Probe: = = = 9 9 = 9 Anna: x (x ) (x + 6) ( x + 1) = x x 4 x + ( x 6) ( x + 1) = x x 4 x x x 1 x 6 = x 17 x 6 = x 6 = 0 x x = 6 0 = Probe: = = = 9 9 = 9 Ben: x (x ) (x + 6) ( x + 1) = x x 4 x x + x + 1 x + 6 = x 9 x + 6 = x 6 x + 6 = 0 6 x = 6 x = 1 Probe: ( 1) ( 1 ) ( 1 + 6) ( ( 1) + 1) = ( 1) ( ) ( ) 5 ( 1) = = 11 7 a) n = b) n = 1 c) n = 1 d) n = e) n = 1,5 8 a) 9 (x + 4) = 15 x; x = 6 b) 6 x = (x 7) 9; x = 1 c) x (x + ) = (x + 8) (x + 5); x = 8 Seite 19 9 a) x = b) x = c) x = 1 d) x = 0 a) (x + 6) 4 = 16 x 4 x + 4 = 16 x 4 = 1 x x = Moritz hat in der zweiten Zeile das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) nicht angewendet. b) 5 (x ) + (5 x + ) = 0 5 x x + = 0 4 x + 17 = 0 4 x = 17 x = 17 4 Moritz hat hier nicht richtig hingeschaut, er hat multipliziert statt zu subtrahieren. c) (a 4) (a + ) = (4 + a) ( 6 + a) a + a 4 a 8 = a 6 a + a a 8 = 4 a 8 = 4 Es gibt keine Lösung. Moritz hat auf er linken Seite der Gleichung nicht jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert. Außerdem hat er in der vierten Zeile das Minuszeichen vor a vergessen. 11 a) x = (x + ) (x 1); x = b) x = (x + 6) (x ); x = 6 1 a) m = 1 b) m = 7 c) n = 4 d) n = 7 1 a) x = 8 b) x = 9 c) x = 6 d) x = 14 a) keine Lösung b) unendlich viele Lösungen c) keine Lösung d) unendlich viele Lösungen Aufgaben selbst erfinden mögliche Lösung: Ein Rechteck mit den Seitenlängen x + 6 und x 1 soll denselben Flächeninhalt haben wie ein Quadrat mit der Seitenlänge x +. Bestimme x. Lösung: x = Individuelle Lösungen L 7

8 Schülerbuchseite 0 6 Formeln Seite 0 y: Fahrenheit, x: Celsius Seite 1 1 a) a = A b ; b = A a b) Werte zum Teil gerundet A Å00 Å00 a Å6 Å8 11, ,5 5 9,0 b 5 4,44 å 6 8,6,4 a) a = V b c ; b = V a c ; c = V b) Werte zum Teil gerundet a b V in cm a in cm ,5 8 6,6 17,1 b in cm,5 5 7,5 6,5 5,6 14,1 c in cm,5,8 4,6 1 c) Eva und Luisa verwenden den Taschenrechner richtig. Eva setzt eine Klammer um den Nenner, so dass der Taschenrechner durch das Produkt von 16 und,5 dividiert. Luisa dividiert nacheinander durch 16 und,5. Bei Tims Eingabe berechnet der Taschenrechner das Produkt aus dem Quotienten von 80 und 16 und,5, da der Taschenrechner die Eingaben von links nach rechts berechnet. a) V in dm c in dm 5 7,5,5 4, A G in dm ,5 b) mögliche Lösungen zu V = 60 dm ; c = 5 dm: a = 4 dm; b = dm oder a = dm; b = 1, dm mögliche Lösungen zu V = 00 dm ; c = 16 dm: a = 5 dm; b = 5 dm oder a = 5 dm; b = 5 d m 4 a) b = k 4 a c; c = k 4 a b b) k a ,5 5,5 79 b c n. d. 81 Die Angaben der vorletzten Spalte beschreiben keinen Quader! Formeln falten A 1 = a b 1 b A = a b b A = a b b A 4 = a b b A 1 = 46 cm ; A = 44 cm ; A = 4 cm ; A 4 = 40 cm A 1 = 1 cm ; A = 114 cm ; A = 96 cm ; A 4 = 78 cm a = A 1 + b ; a = A + b b Abbildung Seite 5 a) G = W : p 0 b) b b ; a = A + b ; a = A 4 + b p % 5 % %,5 % %,15 % G 50,00 50,00 8, W 17,50 7,00,06 7,50 1,50 p % 4,5 %, % % 6 % 0,5 % G 0,00 67,7 864,0 654,00 60,00 W 144,90 1,80 190,15 5,44, 6 a) s = v t Strecke = Geschwindigkeit Zeit b) v in km h t in h s in km v 0 m min 00 m min 8 m s 4 km h 0,04 km min 5, m h t min 0 s 4 min 1 1 s h 45 min 1 1 h s 800 m 4000 m 0 m 5 km 1,8 km 8 m 7 individuelle Lösungen 8 a) 5 km 16 min = 5 km = 18,75 km/h h b) v = x x = 00 c) mögliche Lösungen: x = 1; v 15,8 km h x = ; v 16,7 km h x = ; v 0 km h Eine Verspätung von Minuten ist nicht mehr aufzuholen. b L 8

9 Schülerbuchseite 5 9 a) 7 C 44,6 F 8 C 46,4 F 9 C 48, F C 50 F 5 (y ) b) x = 9 z. B. y = F; x = 1, C y = F; x =, C y = 60 F; x = 15,6 C c) 0 F 17,8 C 0 F 7,8 C 0 F 7, C 5 a) x = b) x = 8 c) x = d) x = 8 e) x = 0 4 f) x = 4 g) x = 1 h) x = 6 a) x = 1 b) x = 4,5 c) x = 0 d) x = 1 8 e) x = 1 7 a) x = 5 b) x = 5 c) x = d) x = 4 e) x = 7 f) x = 8 g) x = h) x = Bruchterme und Bruchgleichungen Seite Der Term 495 x beschreibt den Fahrpreis pro Schü ler (Gesamtfahrtkosten 495 dividiert durch die Gesamtzahl der teilnehmenden Schüler), der Term 40 x steht für den Eintrittspreis pro Schüler in den Zoo. Die Gleichung 495 x + 40 x = 1,50 beschreibt also, wie sich der Gesamtpreis von 1,50 pro Schüler für den Ausflugstag in den Zoo zusammensetzt (Fahrpreis plus Eintrittspreis). Das Lösen der obigen Gleichung liefert x = 0. Insgesamt fahren also 0 Schüler mit. Davon besucht ein Drittel, also zehn Schüler, den Zoo, die Hälfte, also 15 Schüler, den Erfurter Dom und der Rest, also 5 Schüler, gehen in das Naturkundemuseum. Seite ,5,5 a) x x 4 1 n. d b) x 1 x n. d. 0, 1 c) 6 x n. d d) x + x n. d. 1,75 individuelle Lösungen SCHACH Seite 5 Verhältnisse Brüche Produkte Auf der Karte ist die Strecke ca. 5 cm lang. In Wirklichkeit beträgt sie also x = cm = cm = 65 m. Der kürzeste Fußweg verläuft über die Weender Straße bis zum Nabel, dann entlang der Prinzenstraße und der Goethe-Allee bis zum Wall. Überquert man noch die Berliner Straße, so hat man den Bahnhof erreicht. Die Strecke hat auf der Karte eine Länge von ca. 6,5 cm. Dies entspricht x = 6, cm = cm = 81,5 m in der Wirklichkeit. 6 km in der Wirklichkeit entsprechen x = cm : = 48 cm auf der Karte. Dies ist eine lange Strecke! Wege auf der Karte: individuelle Lösungen. Individuelle Lösungen 60 % In einer 6-ø-Mischung sind,6 Liter Wasser und,4 Liter Frostschutzmittel. Es kommen noch, Liter Wasser und, Liter Frostschutzmittel dazu. Planet Weitsprung Hochsprung Mond 5,å0 m Å4,å0 m Mars,å m 6,å m Venus 9,85 m,å0 m Saturn 9,55 m,6å m Jupiter,Å m 0,58 m Sonne 0,6 m 0,Å0 m 4 Gesucht sind die Definitionslücken, also die Zahlen, für die der Nenner null ergibt. a) x = b) x = 0 c) x = 1 d) x = e) keine Einschränkungen f) x = g) x = h) x = 6 i) x = 5 L 9

10 Schülerbuchseite 7 Üben Anwenden Nachdenken e) (n + 1) (n + ) f) (n + ) (n + 4) Seite 7 1 a) In den Zeilen und Spalten stehen die Turnierteilnehmer. In die Tabelle wird einer der Werte 0, 1 oder 1 je nach Ausgang des Spiels eingetragen. 0 bedeutet, dass der Spieler verloren hat, 1 bedeutet einen unentschiedenen Ausgang (sog. Remis) und 1 bedeutet, dass der Spieler den anderen geschlagen hat. Beispiel: Jens hat gegen Marina verloren (0), gleichzeitig wird in der Tabelle eingetragen, dass Marina gegen Jens gewonnen hat (1). Daher entsprechen sich die an der Diagonalen gespiegelten Werte: Aus einer 1 wird eine 0 und umgekehrt, die 1 wird an beiden Stellen eingetragen. In der Dia gonalen selbst sind keine Werte eingetragen, weil man nicht gegen sich selbst spielt. Es fanden Partien statt. b) Siegerliste: Marina hat dreimal gewonnen, einmal Remis gespielt, Jens hat zweimal gewonnen, einmal verloren und einmal Remis gespielt, Lara hat zweimal gewonnen und zweimal verloren, Saskia hat einmal gewonnen, zweimal verloren und ein Remis gespielt und Fabian hat dreimal verloren und ein Remis erzielt. Die Rangliste lautet also: Marina, Jens, Lara, Saskia, Fabian. c) Bei 9 Teilnehmern sind 6 Spiele zu organisieren. n (n 1) d) n Teilnehmer bedeuten Spiele. a) n ( n + 1) b) 4 n (1 + n) g) (n + 1) (n + ) h) ( n + 1) ( n + ) a) 1 y 67 x b) 75 a c 6 a d + 11 c d c) a a 4 d) 1 x + 11 y + 6 e) 0 x 0 x y 16 y 4 a) 6 a c 7 a d 8 b c + 1 b d b) 5 x 4 x z + 1 y z + 15 x y c) 1 x 7 x y + 9 y 7 x d) 5 b a b + a b e) a 5 a + a b + 15 b f) x y + x y x y g) v s + v t + w s + w t 5 a) 1 x + 5 x + 18 b) 5 a + 1 a b 6 b c) 15 u + 7 u v 54 v d) 4 y 51 x y + 6 x e) 5 a a b 15 b 6 a) Die neue rechteckige Fläche ist (in m ) (x + 4) (x + 6) = x + x + 4 groß. b) Nein, das ist ein schlechter Tausch. Die neue Fläche hat einen Inhalt von (x ) (x + ) = x 9, ist also 9 m kleiner als die alte. 7 a) x = 6 b) x = 18 c) y = 54 d) y = 8 a) x = 8 b) x = 0 c) x = d) n = 4 e) n = f) n = c) (n + 1) d) (n + ) 9 a) º = 5 b) x = ; º = 8 x = 4; º = 11 x = 5; º = 14 Man setzt die Lösung für x ein und löst die Gleichung nach der Lücke / dem Platzhalter auf. Alle Terme sind gleichwertig. L

11 S chülerbuchseite 8 9 Seite 8 11 a) x = b) x = 1 c) x = d) x = 9 e) x = 1 a) (5 + 9 ) : ( + 1 ) = ( ) : ( ) = b) (6 + 7 ) : (5 + 8 ) = ( ) : ( ) = Begründung: ((x + y) + (x y) ) : (x + y ) = (x + x y + y + x x y + y ) : (x + y ) = ( x + y ) : (x + y ) = Rückspiegel Seite 9 Die Lösungen zum Rückspiegel befinden sich am Ende des Schülerbuches. 1 a) 5 x + 1 x + b) 5 x 1 x + 14 a) a = 1; a =,5; b = 6; b = b) Nicht alle: z. B. 15 =, aber 9 1 c) Individuelle Lösung; das Seitenverhältnis ist immer gleich. 15 v bleibt gleich v wird vervierfacht p wird geviertelt s wird vervierfacht G bleibt gleich p % wird halbiert Individuelle Aufgaben und Lösungen. 16 a) Zeiten: 1 : 1; Geschwindigkeit 1 : 1 1 oder 1 : 1 b) v 1 : v = 15 : 75 = 5 : gesucht wird: t 1 : t ; t 1 = ; t = ; t 1 : t = : = 6 : = : 5 c) individuelle Lösungen, z. B.: s = 500 km; t 1 = 4; t = 0 ; t 1 : t = : 5 s = 0 km; t 1 = 4 5 ; t = 4 ; t 1 : t = : 5 Das Verhältnis t 1 : t ist immer gleich. 17 a) r = 1,60 g/cm b) m = r V; V = m r c) V = 50 m ; m = 98,75 g d) dm und 15 dm e) individuelle Aufgaben und Lösungen Randspalte Wenn man davon ausgeht, dass das Volumen des Ziegel steins und des Goldbarrens etwa gleich ist, so gilt: r Gold : r Ziegel m Gold : m Ziegel und damit 19, : 1,6 1. Damit hätten 1 Ziegel in etwa die gleiche Masse wie ein Goldbarren! L 11