Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014

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1 Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014

2 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir

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4 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba. sid (K2) Additio ud Multiplikatio sid assoziativ: a b c a b c ab c a bc,

5 (K3) folgede Gleichuge sid lösbar: a x b ax b im Fall a 0. (K4) Es gilt das Distributivgesetz a( b c) ab ac.

6 2.2 Aordug vo (A1) Für jede reelle Zahl gibt es geau eie der drei Relatioe a 0, a 0, a 0. (A2) Aus a0 ud b0 folge a b 0 ud ab 0. (A3) Zu jeder reelle Zahl es eie atürliche Zahl a gibt so, daß 0 (Archimedisches Axiom) a

7 Beroullische Ugleichug: Für x mit x 1, x 0 ud 2,3,... gilt 1 x 1 x. Satz 1: Es sei q 0. Da gilt a) Ist q1, so gibt es zu jedem K ei so, dass q K. b) Ist 0 q1, so gibt es zu jedem >0 ei so, dass q.

8 Der Absolutbetrag. Für a setze ma a a a Re gel : falls a 0, falls a 0. ab a b, a b a b, a b a b.

9 2.3 Die Vollstädigkeit vo Defiitio: Eie Itervallschachtelug ist eie Folge I, I, I,...kompakter Itervalle, kurz I mit de beide Eigeschafte: I.1 I I für 1,2,3, >0 gibt es ei Itervall I mit der I.2 Zu jedem Läge I.

10 Die Vollstädigkeit vo besteht i der Gültigkeit der Aussage: (V) Zu jeder Itervallschachtelug i gibt es eie reelle Zahl, die alle Itervalle agehört. (Itervallschachtelugsprizip) Satz 2 (Existez vo Wurzel) Zu jeder reelle Zahl x 0 ud jeder atürl iche Zahl gibt es geau eie reelle Zahl y 0 mit y k x. k

11 Obere ud utere Schrake Eie Mege M heißt ach obe bzw. ute beschräkt, we es ei sm gibt so, dass für jedes xm gilt x s bzw. s x Supremum ud Ifimum Eie Zahl s heißt Supremum der Mege M, falls s die kleiste obere Schrake für M ist; d.h. ( i) s ist eie obere Schrake für M, ud ( ii) jede Zahl s s ist keie obere Schrake für M.

12 Satz 3 (Supremumseigeschaft vo ) Jede ach obe (ute) beschräkte, ich t leere Mege M besitzt ei Supremum (Ifimum). Satz 4 Jede ach obe (ute) beschräkte, icht leere Mege gazer Zahle ethält eie größte (kleiste) Zahl. Satz 5 Zu je zwei reelle Zahle x, y mit x y eie ratioale Zahl q mit x q y. Ma sagt: liegt dicht i. gibt es

13 Satz 6 Der Körper ist abzählbar. Satz 7 Der Körper ist icht abzählbar. Defiitio komplexer Zahle durch Paare reeller Zahle: Eie komplexe Zahl ist ei Elemet z : x, y der Mege, i welcher wie folgt addiert ud multipliziert wird: x y u v x u y v x yu v xu yv xv yu (A),, :,, (M),, :,.

14 S a t z Die Mege der komplexe Zahle mit der Additio (A) ud der Multiplikatio (M) bildet eie Körper. Dieser wird mit bezeichet. 2 I ihm hat die Gleichug z 1 zwei Lösuge. Die Kojugatio Für z x iy ( x, y ) setzt ma z : x iy Recheregel a) z w z w, zw z w, b) z z 2Re z, z z 2i Im z, c) z z geau da, we z, 2 2 d) zz x y ; zz ist also reell ud 0.

15 Betrag eier komplexe Zahl z Daruter versteht madie icht egative Zahl z zz x y 2 2 :. Recheregel a) z 0 für z0, b) z z, c) Re z z ud Im z z, d) z w z w, e) z+w z w. Fudametalsatz der Algebra Jede Gleichug z a z a z a 0 ( 0) mit komplexe Koeffiziete eie Lösug. besitzt i a k midestes

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19 4 Fuktioe 4.1 Grudbegriffe Defiitio Uter eier Fuktio auf eier Mege X mit Bilder (Werte) i eier Me ge Y versteht ma eie Vorschrift f, die jedem Elemet x X eideutiger Weise eie Elemet f x i Y zuor det. Ist Y = so spricht ma vo eier reelwertige ud im Fall Y= vo eier komplexwertige Fuktio. Symbolisch: f X Y : x f x i

20 Umkehrug vo Fuktioe Sei f : X Y ijektiv. Ijektiv bedeutet, dass es zu jedem Fuktioswert y f X geau ei xx mit y f x gibt. Die Vorschrift g, die jedem y f X dieses sogeate Urbild x zuordet, heißt die Umkehrfuktio zu f : g : f X X, g f x x.

21 Mootoie Eie Fuktio f : X auf eier Mege X heißt (streg) mootio wachsed bzw. (streg) mooto falled, we für alle Paare x, x X mit x x die Ugleichug f x1 f x2 f x1 f x2 bzw. f x1 f x2 f x1 f x2 gilt.

22 Algebraische Operatioe Zu f, g : X defiiert ma die Fuktioe f g, f g a uf X ud f g auf xx : g x 0 durch: f gx f x g x f g f x g x f f x x :. g g x :, :, Ma defiiert ferer f, Re f ud Im f durch f x : f x, f x f x f x f x Re : Re, Im : Im.

23 Zusammesetzug vo Fuktioe Der Wertebereich der Fuktio f : X Y sei ethalte im Defiiotiosbereich eier weitere Fuktio g : Y Z. Diese Situatio kezeichet ma oft durch das Diagramm f g X Y Z. Die zusammegesetzte Fuktio g f : X Z ist da defiiert durch g f x g f x :.

24 Potezfuktioe mit ratioale Expo ete Die gazzahlige Poteze eier Zahl x 0 geüge dem Gesetz x x x m m D.h. die Fuktio :, : x erfüllt das Additiostheorem m m.. Satz Es gibt geau eie Fuktio : mit x, x 0, für ud r s rs für alle r, s. Die Lösug dieses Fortsetzugsproblems l autet r q p r x : x, p wobei r, p ud q gaz, q 0. q

25 4.2 Polyome Ei Polyom ist eie Fuktio, die i der Gestalt 1 f x a x a x a x a darstellbar ist. Dabei sid a0, a1,, a komplexe Zahle. Satz vo der Divisio mit Rest Sei g ei Polyom 0. Da gibt es zu jedem Polyom Polyome q ud r mit f eideutig bestimmte f qg r, wobei r 0 oder Grad r Grad g.

26 Lemma Ist eie Nullstelle vo f, so ist durch x - a teilbar: f x x qx. Dabei ist q ei Polyom mit Grad q Grad f 1. Folgerug 1 Ei Polyom 0 vom Grad hat höchstes Nullstelle. k k+1 Ist f durch (x- ), aber icht durch (x- ) teilbar, so heißt eie k-fache Nullstelle vo f.

27 Folgerug 2 (Idetitätssatz) Stimme die Werte der Polyome f ( x) a x... a x a 1 0, g( x) b x... b x b a verschiedee Stelle überei, so gilt a b für k 0,...,, ud damit f( x) g( x) für alle x. Additiostheorem Für s, t ud 0,1,2,... gilt s t s t. k 0 k k k k

28 Liearfaktorzerlegug Jedes icht kostate Polyom k1 k f ( z) a( z )...( z ) s. 1 s f z besitzt eie Darstellug 4.3 Ratioale Fuktioe Pole. Abspaltug vo Partialbrüche Ei Pukt heißt - facher Pol der ratioale Fuktio R, we es eie Darstellug R f g gibt, bei der f 0 ist ud g i eie -fache Nullstelle hat. Es gibt da ei Polyom h mit h 0 ud R z f z. z h z 1 Die ratioale Fuktio heißt Partialbruch. z

29 Lemma über die Abspaltug eies Hauptteils : Ist ei -facher Pol der ratioale Fuktio R, so gibt es geau eie Zerlegug R z H z R z 0 folgeder Art: H ist eie ratioale Fuktio der spezielle Gestalt H z a a a z z z mit eiem Koeffiziete a 0 ud R eie ratioale Fuktio, die i keie Pol mehr hat. 0 H heißt Hauptteil vo R i.

30 Satz vo der Partialbruchzerlegug Jede ratioale Fuktio ist die Summer ihrer Hauptteile ud ihres Polyom-Ateils. Herstellug der Partialbruchzerlegug (PBZ) De Polyom-Ateil q vo R f g gewit ma durch Divisio mit Rest aus f qg r.

31 Dake für Ihre Aufmerksamkeit!

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