C.34 C Normalformen (4) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra. 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (2) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3)

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1 5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,, ): + + kanonische konjunktive Normalform (KKNF, KKF) Konjunktion einer Menge von Maxtermen mit gleichen Variablen Beispiel: KKNF zur Funktion f(,,, ): ( ) ( ) ( ) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine KDNF darstellen Für jedes f( x) = 1 aus der Wahrheitstafel bilde man einen Minterm für die KDNF. Eine Variable x i wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 0 ist, ansonsten einfach verwendet. Beispiel: f(,,, ) Darstellung durch KDNF bis auf Vertauschungen eindeutig (Kommutativität) C.33 C Hauptsatz der Schaltalgebra (2) Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine KKNF darstellen Für jedes f( x) = 0 aus der Wahrheitstafel bilde man einen Maxterm für die KKNF. Eine Variable x i wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 1 ist, ansonsten einfach verwendet. Beispiel: f(,,, ) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3) Überführung der kanonischen Normalformen ineinander Wegen Dualität gilt: KDNF( f( x) ) = KKNF( f( x) ) und KKNF( f( x) ) = KDNF( f( x) ) Darstellung durch KKNF bis auf Vertauschungen eindeutig (Kommutativität) C.35 C.36

2 6 Synthese von Schaltungen Vorgehen Aufstellen der Wahrheitstafel Bilden der KDNF (oder KKNF) Aufbau der dazugehörigen Schaltung 6.1 Beispiel: Oderfunktion Wahrheitstafel für die zweistellige Oder-Funktion f(, ) Beispiel: Oderfunktion (2) Bildung der KDNF Suchen der Stellen mit f(, ) = 1 Summieren der entsprechenden Minterme: f(, ) = + + Problem Schaltung wird in aller Regel nicht minimal sein C.37 C Einschub: Binärzahlen Darstellung von ganzen Zahlen mit Hilfe von binären Zuständen Darstellung mit 0 und 1 aber mehreren Stellen z.b. zweistellige Binärzahlen 4 Möglichkeiten: 00, 01, 10, 11 z.b. dreistellige Binärzahlen 8 Möglichkeiten: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, Einschub: Binärzahlen (2) Wert einer Binärzahl Beispiel: ( 011) 2 Stufenzahlen aus dem Binärsystem: Zweierpotenzen, 2 n Berechnung: ( 011) 2 = = 3 Aufzählen der Zahlen an niedrigster (rechter) Stelle eine 1 addieren 1+1 ergibt 0 plus Übertrag von 1 auf nächste Stelle ergibt 1 plus Übertrag von 1 auf nächste Stelle C.39 C.40

3 6.3 Beispiel: Eingabemelder 6.3 Beispiel: Eingabemelder (2) Zwei dreistelliges Schaltfunktionen eine der Eingabevariablen kann 1 sein Ergebnis ist Nummer der Eingabevariable (als Ergebnis zweier Schaltfunktionen) Wahrheitstafel f 2 (,, ) f 1 (,, ) d d d d d d d d C.41 Uninteressante Funktionswerte einige Eingabewerte können nicht vorkommen / werden ausgeschlossen don t care Ergebnisse mit d gekennzeichnet Bildung der KDNF für beide Schaltfunktionen f 2 (,, ) = + f 1 (,, ) = + uninteressante Funktionsergebnisse werden nicht berücksichtigt (d.h. bei KDNF wie Null-Ergebnisse behandelt) C Beispiel: Siebensegmentanzeige 6.4 Beispiel: Siebensegmentanzeige (2) Typische Anzeige für Ziffern a f b g e c d Schaltfunktionen zur Ansteuerung der Segmente Parameter: binär codierte Zahl bzw. Ziffer Gesucht: Schaltfunktion für die Ansteuerung des Segmentes d C.43 Aufstellung der Wahrheitstafel zur Ansteuerung des Segmentes d x 0 f(,,, x 0 ) d d d C.44

4 6.4 Beispiel: Siebensegmentanzeige (3) Aufstellung der KDNF nur 1-Werte betrachten don t care-werte werden ignoriert f = ( x 0 ) + ( x 0 ) + ( x 0 ) + ( x 0 ) + ( x 0 ) + ( x 0 ) + ( x 0 ) 7 Äquivalenz von Schaltfunktionen Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung als KDNF bzw. KKNF gilt: zwei Schaltfunktionen sind äquivalent, wenn sie sich auf die selbe KDNF oder KKNF zurückführen lassen bis auf Vertauschungen bzgl. des Kommutativitätsaxioms Umformungen nach den Gesetzen der Boolschen Algebra Erhaltung der Schaltfunktion KDNF sicherlich nicht minimal ungeeignet zur Übertragung in eine kostengünstige Schaltung Nutzen z.b. Minimisieren von Schaltfunktionen C.45 C.46 8 Minimisierung 8.1 Grundlage der Minimisierung Suche nach einer minimalen Darstellung einer Schaltfunktion Größenbegriff notwendig Menge der notwendigen Gatter Anzahl der Variablen Anzahl der notwendigen ICs Anzahl der notwendigen Kontakte Gesetze der Booleschen Algebra insbesondere A B + A B = A Beweis A B + A B = A ( B + B) wg. (Kommutativität u.) Distributivität Größenbegriff von den Kosten bestimmt A ( B+ B) = A 1 wg. komplementärem Element Größenbegriff hier Anzahl der booleschen Operationen A 1 = A wg. neutralem Element C.47 C.48

5 8.1 Grundlage der Minimisierung (2) Beispiel: Oderfunktion KDNF: Umwandlung: f(, ) = + + f(, ) = + + f(, ) = + ( + ) f(, ) = + 1 f(, ) = + f(, ) = + + f(, ) f(, ) = = ( + ) + + Distributivität, neutrales Element Absorption 8.2 Vorgehensweise Manuelles Minimisieren Umformen (z.b. der KDNF) nach den Regeln der Booleschen Algebra Algorithmisches Verfahren Verfahren nach Quine/McCluskey kann durch ein Programm angewandt werden geeignet für Schaltfunktionen mit vielen Variablen Graphische Verfahren Händlerscher Kreisgraph Karnaugh-Veitch Diagramme geeignet für Schaltfunktionen mit wenigen Variablen C.49 C Karnaugh-Veitch-Diagramme Ausgangspunkt KDNF (oder KKNF) Rechteckschema je ein Feld für jeden möglichen Minterm (Maxterm) Anordnung der Felder, so dass benachbarte Felder bzw. Minterme zusammenfassbar Diagramm für zweistellige Schaltfunktion Funktion: f(, ) Diagramm: 8.3 Karnaugh-Veitch-Diagramme (2) Diagrammaufbau jede Variable x i halbiert das Diagramm in zwei zusammenhängende Teile erster Teil für xi zweiter Teil für Variable x i Variable benachbarte Felder unterscheiden sich nur um das Vorzeichen einer Variablen in den beiden Mintermen C.51 C.52

6 8.4 Beispiel: Oderfunktion Aufstellen der KDNF f(, ) = + + Eintragung in das Diagramm Eintragung einer 1, wenn Minterm benötigt wird Eintragung einer 0, wenn Minterm nicht benötigt wird Eintragung auch direkt aus Wahrheitstafel möglich C Beispiel: Oderfunktion (2) Markierung möglichst weniger und möglichst großer zusammenhängender Bereiche mit 1en nur zusammenhängende rechteckige Bereiche mit 2 n Elementen erlaubt alle 1 Felder müssen schließlich markiert sein markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: f(, ) = + Produktterme ergeben sich aus den Variablen die lediglich negiert oder ohne Negation vorkommen C Beispiel: Oderfunktion (3) Alternative Markierung Markierung nicht so groß wie möglich, aber alle 1en markiert 8.5 Beispiel: Eingabemelder Dreistellige Schaltfunktionen Karnaugh-Veitch-Diagramm markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: f(, ) = + Funktion korrekt, jedoch nicht minimal C.55 C.56

7 8.6 Beispiel: Eingabemelder (2) 8.7 Beispiel: Eingabemelder (3) Halbierungen des Diagramms Variable Halbierungen des Diagramms Variable Variable Wichtig: die Bereiche für gehören zusammen Vorstellung: Diagramm ist an den Rändern zusammengeklebt C.57 C Beispiel: Eingabemelder (4) 8.7 Beispiel: Eingabemelder (5) Belegen des Diagramms aus der Wahrheitstafel Funktion aus Folie C.41 f 2 Eintragung der don t care -Werte 0 1 d 0 1 d d d don t care -Werte können mitmarkiert werden oder nicht Ziel: möglichst große Bereiche markieren markierte don t care -Werte werden später zu 1, andere zu 0 Markierungen für f 2 zwei Bereiche 0 1 d 0 1 d d d markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: f 2 (,, ) = + C.59 C.60

8 8.8 Beispiel: unbestimmte Funktion Gegebene Belegung aus der Wahrheitstafel Gesucht ist die beste Markierung 8.9 Beispiel: weitere Funktion Gegebene weitere Belegung aus der Wahrheitstafel Gesucht ist die beste Markierung 1 0 d d d markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: f(,, ) = + Minimale DNF gefunden f(,, ) = + C.61 C Vierstellige Funktionen Karnaugh-Veitch-Diagramm für vierstellige Schaltfunktion x x 8.10 Vierstellige Funktionen (2) Halbierungen für vierstellige Schaltfunktion C.63 C.64

9 8.10 Vierstellige Funktionen (3) Halbierungen für vierstellige Schaltfunktion x Vierstellige Funktionen (4) Markierungen insbesonder folgende Markierung möglich X X X X X X X X Vorstellung: Diagramm ist an den Seiten jeweils zusammengeklebt x 4 C.65 X X X X C Beispiel: 2x2-Multiplizierer 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (2) Binärer Multiplizierer für 2 mal 2 Eingänge Binärdarstellung von Zahlen von 0 bis 3 bzw. 0 bis 15 zwei Eingänge a 1 und a 0 zwei Eingänge b 1 und b 0 vier Ausgänge y 3, y 2, y 1 und y 0 C.67 a 1 = a 0 = b 1 = b 0 = y 3 y 2 y 1 y 0 0 x 0 = 0 0 = 1 0 = = x 0 = = = = x 0 = = = = x 0 = = = = C.68

10 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (3) Karnaugh-Veitch-Diagramm für y 0 : 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (4) Karnaugh-Veitch-Diagramm für y 1 : Markierte Bereiche: y 0 = Markierte Bereiche: y 1 = C.69 C Beispiel: 2x2-Multiplizierer (5) Karnaugh-Veitch-Diagramm für y 2 : 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (6) Karnaugh-Veitch-Diagramm für y 3 : Markierte Bereiche: y 2 = + Markierte Bereiche: y 3 = C.71 C.72

11 8.12 Zusammenfassung Markierungsregeln rechteckige Bereiche mit 2 n Elementen markieren Achtung: Diagramm gilt als oben und unten zusammengenäht alle 1-Werte müssen markiert werden möglichst große Bereiche markieren möglichst wenig Bereiche markieren 9 Schaltnetze Mehrere Schaltfunktionen (Combinational Networks) sind von gleichen Eingangsvariablen abhängig f 1 (,,, x n ) f 2 (,,, x n ) f m (,,, x n ) entspricht Schaltung mit mehreren Ausgängen f 1 (x) f 2 (x) x n f m (x) Kombinatorische Logik C.73 C.74 9 Schaltnetze (2) Gerichteter, azyklischer Graph Gatter, Ein- und Ausgänge sind Knoten Verbindungsleitungen sind Kanten (gerichtet von Eingang zu Ausgang) Aufbau von Schaltnetzen einstufige (nur eine Gatterebene) zweistufige (zwei Gatterebenen) mehrstufige 9 Schaltnetze (3) Begründung Bezug zur KDNF (oder KKNF) alle Variablen werden einfach oder negiert benutzt zunächst Minterme: ein Und-Gatter pro Minterm (erste Stufe) Summe der Minterme: ein Oder-Gatter für alle Minterme f 2 f 1 Folgerung aus Darstellung durch kanonische Normalformen Jedes Schaltnetz ist zweistufig realisierbar, wenn alle Signale einfach und negiert vorliegen und Gatter mit ausreichender Anzahl von Eingängen vorliegen. Beispiel: Eingabemelder C.75 C.76

12 9 Schaltnetze (4) Anzahl der notwendigen Gatter bei n Eingängen max. 2 n Und-Gatter pro Schaltfunktion mit bis zu n Eingängen (KDNF) ein Oder-Gatter mit bis zu 2 n Eingängen Minimisierung reduziert Gatteranzahl und Eingangsanzahl pro Gatter Minimisierung parallel für mehrere Schaltfunktionen des Schaltnetzes Verwendung der selben Gatter z.b. Karnaugh-Veitch-Diagramme für mehrere Schaltfunktionen des Netzes 10 Typische Schaltnetze aus-k-Multiplexer Steuerleitungen weisen viele Eingabeleitungen einem Ausgang zu n Steuerleitungen s 0, s 1,, s n 1 (Eingänge) k = 2 n Eingänge x 0,,, x k 1 ein Ausgang y es gilt: y = x i für ( s n 1,, s 1, s 0 ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) x 0 x k-1 y Multiplexer (MUX) s 0 s 1 s n-1 C.77 C aus-k-Multiplexer (2) Realisierung für n = 2 als DNF Einsatz y = s 1 s 0 x 0 + s 1 s 0 + s 1 s 0 + s 1 s 0 s 0 s 1 x 0 Anzeige und Auswahl verschiedener Datenquellen z.b. Auslesen von Daten aus Speicherzellen y C zu-k-Demultiplexer Steuerleitungen weisen eine Eingabeleitung vielen Ausgängen zu n Steuerleitungen s 0, s 1,, s n 1 (Eingänge) ein Eingang x k = 2 n Ausgänge y 0, y 1,, y k 1 es gilt: y i = x für ( s n 1,, s 1, s 0 ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) x s 0 s 1 s n-1 y 0 y 1 y k-1 Demultiplexer (DEMUX) C.80

13 zu-k-Demultiplexer (2) Realisierung für n = 2 als DNF y 0 = s 1 s 0 x, y 1 = s 1 s 0 x, y 2 = s 1 s 0 x, y 3 = s 1 s 0 x x y 0 y k-zu-n-kodierer Nummer eines Eingangs wird ausgegeben k = 2 n Eingänge x 0,,, x k 1 immer genau eine Eingangsleitung auf 1 i mit x i = 1 und j i x j = 0 n Ausgänge y 0, y 1,, y n 1 es gilt: ( y n 1,, y 1, y 0 ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) s 0 s 1 y 2 y 3 x 0 x k-1 Encoder y 0 y 1 y n-1 Kodierer Einsatz Zuordnung und Auswahl verschiedener Datensenken z.b. Speichern von Daten in Speicherzellen C.81 C k-zu-n-kodierer (2) Realisierung für n = 2, k = 4 als DNF y 0 = +, y 1 = + x n-zu-k-dekodierer Eingänge selektieren genau einen von vielen Ausgängen n Eingänge x 0,,, x n 1 k = 2 n Ausgänge y 0, y 1,, y k 1 es gilt: y i = 1 und j i y j i = 0 mit ( x n 1,,, x 0 ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) y 1 y 0 x 0 x n-1 Decoder y 0 y 1 y k-1 Dekodierer Einsatz z.b. Signalisierung eines Eingang C.83 C.84

14 10.4 n-zu-k-dekodierer (2) Realisierung für n = 2, k = 4 als DNF y 0 = x 0, y 1 = x 0, y 2 = x 0, y 3 = x 0 y 0 y 1 y 2 x 0 y 3 Einsatz z.b. Dekodierung eines Maschinenbefehls C.85