Willkommen zur Vorlesung Komplexitätstheorie

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1 Willkommen zur Vorlesung Komplexitätstheorie WS 2011/2012 Friedhelm Meyer auf der Heide V11,

2 Themen 1. Turingmaschinen Formalisierung der Begriffe berechenbar, entscheidbar, rekursiv aufzählbar Komplexitätsklassen 2. Eine untere Schranke für 1-Band DTMs 3. Hierarchiesätze 4. Nichtdeterminismus: Eigenschaften nichtdeterministischer Platzkomplexitätsklassen NP- und PSPACE-Vollständigkeit 5. Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik 6. Die polynomielle Hierarchie 7. Randomisierte Komplexitätsklassen 2

3 Probabilistische Komplexitätsklassen 3

4 Probabilistic Turing machines Definition: A probabilistic TM M is a DTM with an additional random input tape. It contains a random word r ε{0,1} m which is read from left to right during the computation, one bit per step. On input x, with random word r, M computes M(x,r) ε {0,1}. Remark: We are only interested in probabilistic TMs with polynomial runtime. As polynomials are time-constructable, we may assume w.l.o.g. that each computation for inputs x, x =n, has the same length p(n), and each random word r has length p(n), for a polynomial p. For x, x =n, A(x) denotes the set of all random words r ε{0,1} p(n) such that M(x,r)=1. We say, M accepts x with probability Pr r [M(x,r) =1] := A(x) /2 p(n) 4

5 Probabilistic and nondeterministic TMs Remark: A probabilistic TM can also be seen as an NTM M. The probability that M accepts x is [number of accepting computations]/[number of all computations] 5

6 Beispiel Wir suchen einen Algorithmus, der folgendes tut: Eingabe ist ein Programm, das zu einer Eingabe r 1, r 2,.., r n einen Wert p(r 1, r 2,.., r n ) berechnet. Es ist bekannt, dass p ein Polynom vom Grad höchstens d ist. Frage: Ist p 0? Algo: Tue folgendes t mal: Berechne p(r) für zufälliges r S n 1,, 2d n Falls jedes mal p(r) = 0 ist, gebe p 0 aus, sonst gebe p 0 aus. Beh: Ausgabe p 0 ist immer korrekt (klar) Ausgabe p 0 ist mit W keit ( 1 2 )t falsch. Hieraus folgt die Beh. Satz von Schwarz/Zippel: 6

7 Beweis des Satzes von Schwarz/Zippel Hauptsatz der Algebra Pr(A)=Pr(A B)Pr(B)+Pr(A B)Pr(B) E 2 ) 7

8 Anwendungen 1. Test auf Identität von zwei implizit gegebenen Polynomen p und q. Ist p q?? Wende obigen Algorithmus auf Eingabe p-q an. 2. Existenz eines perfekten Matchings in einem Graphen G=({1,,n}, E). Satz (Tutte 1947): G enthält ein perfektes Matching det(a) 0. - Determinanten sind Polynome vom Grad n. Tutte Matrix: - Determinanten können in Zeit O(n 3 ) berechnet werden. Polynomieller prob. Algorithmus mit einseitigem Fehler. Zeit: O(n 3 ) bei konstantem Fehler. Bester bekannter det. Algo: Zeit Ω(n 4 ) 8

9 RP, BPP, and ZPP Def.: RP is the class of all languages L which have a probabilistic polynomial time TM M, s.t. x L : Pr r [M(x,r) =1] ½ x L : Pr r [M(x,r) =0] = 1 (one-sided error) Def.: PP is the class of all language which have a probabilistic polynomial time TM M, s.t. x L : Pr r [M(x,r) =1] > 1/2 x L : Pr r [M(x,r) =0] > 1/2 (two-sided error) Def.: BPP is the class of all languages L which have a probabilistic polynomial time TM M, s.t. x L : Pr r [M(x,r) =1] 2/3 x L : Pr r [M(x,r) =0] 2/3 (two-sided error) Def.: ZPP is the class of all languages L which have a probabilistic TM M with expected polynomial (and always finite) runtime, s.t. x L : M(x,r) =1 x L : M(x,r) =0 (no error) Monte Carlo Algorithm (with one- or two-sided error) Las Vegas Algorithm 9

10 Amplification (Reducing the error probability) Claim 1: L RP, then there exists a probabilistic polynomial TM M, and a polynomial p(n) s.t. x L : Pr r [M(x,r) =1] 1 - ( 1 2 )p(n) x L : Pr r [M(x,r) =0] = 1 Claim 2: If L BPP, then there exists a probabilistic polynomial TM M, and a polynomial p(n) s.t. x L : Pr r [M(x,r) =1] 1 - ( 1 2 )p(n) x L : Pr r [M(x,r) =0] 1 - ( 1 2 )p(n) Using Chernoff-Bounds, this result follows immediately No amplification for PP no practical algorithms 10

11 Proof of Claim 2. (without Chernoff bounds) Given a randomized algorithm A for L with polynomial runtime s(n) and error probability at most 1/3. Consider the following randomized algorithm A*: On input x, x =n, run A 13 times, with independent random inputs. Output the majority vote. Claim: A* outputs the wrong answer with probability at most 13 7 (1/3) 7 1/8 Algo A** works as follows: Run A* t times, output the majority vote. Claim: (i) A** outputs the wrong answer with probability at most t t/2 (1/8) t/2 2 t (1/8) t/2 (4/8) t/2 = 2 (1 2 ) t. (ii) A** has runtime O(s(n) p(n)), if we choose t=2p(n). polynomial 11

12 Randomized Complexity Classes Two relation have to be shown: (The other ones are obvious) Remarks: 1. ZPP = RP Co-RP 2. PP PSPACE Conjectures: 1. The red inclusions are proper. 2. Neither BPP NP nor NP BPP holds. 3. BPP = P????? RP Co-RP = 12

13 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Heinz Nixdorf Institut Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax.: /

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