Trigonometrische Gleichungen/Ungleichungen

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Günther Eberhardt
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1 Trigonometrische Gleichungen/Ungleichungen Arkusfunktionen Arkussinus Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion der Einschränkung der Sinusfunktion auf [, ]. Die Sinusfunktion sin : [, ] [, ] ist bijektiv und die Umkehrfunktion lautet arcsin : [, ] [, ] Man nennt Arkussinus von c (für c ) den einzigen Winkel w in [, ], sodass sin(w) = c. Beispiele: arcsin( ) = ; arcsin( ) = ; arcsin(0, 8) (der Computer sagt auch zirka 0, 9 radians d.h. 0,9 ). 3 Vorsicht: sin : R R ist weder injektiv noch surjektiv; sin : R [, ] ist surjektiv aber nicht injektiv. Nur bijektive Funktionen kann man umkehren. Arkuskosinus Der Arkuskosinus ist die Umkehrfunktion der Einschränkung der Kosinusfunktion auf [0, ]. Die Kosinusfunktion cos : [0, ] [, ] ist bijektiv und die Umkehrfunktion lautet arccos : [, ] [0, ] Man nennt Arkuskosinus von c (für c ) den einzigen Winkel w in [0, ], sodass cos(w) = c. Arkustangens Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion der Tangensfunktion auf (, ). Die Tangensfunkton tan : (, ) R ist bijektiv und die Umkehrfunktion lautet arctan : R (, ) Man nennt Arkustangens von c den einzigen Winkel w in (, ), sodass tan(w) = c.

2 Bilder von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens y y 0 x 0 x y 0 x Lösungen in einem Intervall mit Periodenlänge Gleichungen Einige Beispiele mit der Sinusfunktion auf dem Intervall [0, ): sin(x) = 0 L = {0, } sin(x) = L = { 6, 5 6 } sin(x) = L = { } sin(x) = L = { 3 } sin(x) = 3 L = sin(x) = L = Kochrezept: Für die Gleichung sin(x) = c betrachte die horizontale Gerade y = c und sehe, wieviele (und welche) Schnitte sich mit dem Graphen der Sinusfunktion auf [0, ) ergeben. Schöne Winkel ergeben sich für ( ); ( ); 3 ; ( ); 0 (0); ( ); ( 3 ). Weitere Winkel berechnet man mit Hilfe der Arkussinusfunktion.

3 Sinus: Man nennt Arkussinus von c den einzigen Winkel w in [, ], sodass sin(w) = c. Wenn w positiv oder Null ist, setze α = w. Wenn w negativ ist, setze α = w +, sodass jedenfalls α [0, ). Wenn α eine Lösung in [0, ) ist, ist α auch eine Lösung (für α = oder α = 3 ist α = α, also man hat nur eine Lösung). Warum α? Am besten veranschaulicht man sich dies auf dem Einheitskreis, wo der Sinus einer Höhe entspricht. Kosinus: Sei α eine Lösung in [0, ). Für die Kosinusfunktion ist die andere Lösung in [0, ) gleich α (wenn α = 0 oder α = ist α die einzige Lösung). In der Tat ist die Kosinusfunktion eine gerade Funktion, also cos(α) = cos( α) = cos( α). Tangens: Für die Tangensfunktion gibt es nur eine Lösung in (, ), da die Funktion dort streng Monoton ist. Ungleichungen Einige Beispiele mit der Sinusfunktion auf dem Intervall [0, ): sin(x) 0 L = [0, ] sin(x) L = [ 6, 5 6 ] sin(x) L = { } sin(x) L = [0, 7] [, ) 6 6 sin(x) L = [0, ) sin(x) 3 L = sin(x) L = [0, ) Kochrezept: Man löst die entsprechende Gleichung und liest am Graphen ab, welche Intervalle die richtigen sind. Lösungen auf R Kochrezept: Falls L I die Lösungsmenge in einem Intervall mit Länge der Periode P ist, dann sind die Lösungen auf R die folgenden Verschiebungen: L = (L I + kp ) Für die Sinusfunktion daher L = (L I + k) sin(x) = L = { + k, 5 + k mit k Z} 6 6 sin(x) L = [ 6 + k, k] 3

4 sin(x) L = { + k, k Z} = {(4k + ), k Z} sin(x) L = [k, 7 + k] [k + 6 6, (k + )) = [ 6 + k, k] = R \ [ 7 + k, k] sin(x) L = R sin(x) 3 L = Varianten Einfache Varianten Das Wort oder entspricht der Vereinigung von Lösungsmengen. Das Wort und entspricht dem Schnitt von Lösungsmengen. sin(x) = 0 sin(x) = 0 sin(x) = sin(x) = sin(x) = oder sin(x) = sin (x) = sin(x) = oder sin(x) = 4 sin (x) = sin 3 (x) = sin(x) = sin(x) < < sin(x) < (sin(x) > und sin(x) < ) sin(x) > sin(x) < oder sin(x) > Kompliziertere Varianten Sei f eine Funktion. sin(f(x)) = c sin(f(x)) > c Kochrezept: Man löst zunächst eine einfachere Gleichung/Ungleichung in y = f(x), mit Lösungsmenge L y. Dann nimmt man die Urbilder von L y unter f. sin(3x + 5) = c L = { y 5 3 : y L y } 4

5 sin(3x + 5) > c L = { y 5 3 : y L y } sin(x ) = c L = {± y : y L y R 0 } sin(x ) > c L = {± y : y L y R 0 } sin(3x + 5) [ 76 + k, 6 + k ] L y = L = [ k, ] 3 k sin(x ) = L y = { 6 + k, 5 + k mit k Z} 6 5 L = {± 6 + k, ± + k mit k N} 6 5

6 Tabelle: Lösungen von sin(x) = c Sei c R. Lösungen von sin(x) = c in [0, ): L 0 c = {arcsin(c), arcsin(c)} L c<0 = {arcsin(c) +, arcsin(c)} L c > = Lösungen von sin(x) = c in R: L c = {arcsin(c) + k, k Z} { arcsin(c) + k, k Z} L c > = Tabelle: Lösungen von cos(x) = c Sei c R. Lösungen von cos(x) = c in [0, ): Lösungen von cos(x) = c in R: L c = {arccos(c), arccos(c)} L c > = L c = {± arccos(c) + k, k Z} L c > = Tabelle: Lösungen von tan(x) = c Sei c R. Lösungen von tan(x) = c in (, ): L = {arctan(c)} Lösungen von tan(x) = c in R: L = {arctan(c) + k, k Z} 6

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