6. Polynom-Interpolation

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1 6. Polynom-Interpolation Klassische Polynom-Interpolation Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen Fehlerabschätzung für die Polynom-Interpolation Probleme bei hohem Polynomgrad Interpolation mit kubischen Splines 6. Polynom-Interpolation 1 / 15

2 6.1. Klassische Polynom-Interpolation Definition (6.1. Polynom-Raum) Der Polynom-Raum P n ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n, d.h. P n := {p : R R p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0, mit a j R j} gegeben : Stützstellen : x 0, x 1,..., x n zugehörige Werte : y 0, y 1,..., y n gesucht : Interpolationspolynom p : R R, welches durch die Punkte (x i, y i ) verläuft, d.h. finde p P n, so dass p(x i ) = y i i = 0,..., n. 6. Polynom-Interpolation 2 / 15

3 Existenz und Eindeutigkeit der Polynom-Interpolation Theorem (6.2. Existenz u. Eindeutigkeit der Polynom-Interpol.) Vor.: paarweise verschiedene Stützstellen x 0,..., x n Beh.: es existiert genau ein Polynom p P n, so dass p(x i ) = y i i = 0,..., n. 6. Polynom-Interpolation 3 / 15

4 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen Definition (6.3. Lagrange sche Basisfunktionen des P n ) Die Lagrange Basisfunktionen L i P n, i = 0,..., n, des Polynom-Raumes P n sind die Polynome n L i (x) := j=0,j i x x j x i x j x R wichtige Eigenschaft : L i (x) = { 1 für x = xi 0 für x = x j, j i Lösung des Interpolationsproblems : p(x) = Probe : p(x k ) = n i=0 y i L i (x k ) }{{} = y k 1 = y k =0 i k n y i L i (x) i=0 6. Polynom-Interpolation 4 / 15

5 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen Nachteile der Lagrange-Lösung : Funktionswert-Berechnung von p(x) ist recht aufwendig völlig neue Berechnung bei Hinzunahme eines weiteren Stützpunktes (x n+1, y n+1 ) Definition (6.4. Newton sche Basisfunktionen) Die Newton schen Basisfunktionen N i P i, i = 0, 1,... sind die Polynome : N 0 (x) := 1 N i (x) := i 1 (x x j ), i 1 j=0 x R Die Polynome N 0, N 1,..., N n bilden eine Basis des Raumes P n. Ziel : bestimme Koeffizienten a i R, so dass p(x) = n a i N i (x) i=0 6. Polynom-Interpolation 5 / 15

6 Schema der dividierten Differenzen x i y i D i,1 D i,2... D i,n x 0 y 0 x 1 y 1 D 1,1 x 2 y 2 D 2,1 D 2, x n y n D n,1 D n,2... D n,n a 0 = y 0 a i = D i,i, i 1 für i, k 1 gilt: D i,1 := y i y i 1 x i x i 1 und D i,k := D i,k 1 D i 1,k 1 x i x i k 6. Polynom-Interpolation 6 / 15

7 Vorteile der Newton-Basis effektive Funktionswert-Berechnung : n Ziel : berechne w := p(x) = a i N i (x) i=0 Algorithmus (HORNER): w n = a n for i = 1 : n k = n i w k = a k + (x x k ) w k+1 end w = w 0 Hinzunahme eines weiteren Punktes (x n+1, y n+1 ) : bisherige Koeffizienten a 0,..., a n bleiben unverändert zum bisherigen Differenzen-Schema wird unten eine neue Zeile hinzugefügt und damit a n+1 berechnet 6. Polynom-Interpolation 7 / 15

8 6.4. Fehlerabschätzung für die Polynom-Interpolation gegeben : Funktion : f : [a, b] R Stützstellen : x i [a, b] i = 0,..., n Werte : y i = f (x i ) i = 0,..., n gesucht : Interpolationspolynom p : [a, b] R, welches an den Stützstellen x i mit der Funktion f übereinstimmt, d.h. finde p P n, so dass p(x i ) = f (x i ) i = 0,..., n. Vor. : Funktion f : [a, b] R sei n mal stetig differenzierbar Fehlerabschätzung 1 f (x) p(x) (n + 1)! max f (n+1) (ξ) ξ [a,b] n x x i x [a, b] i=0 6. Polynom-Interpolation 8 / 15

9 6.5. Probleme bei hohem Polynomgrad Beispiel : f : [ 5, 5] R f (x) := x 2, äquidistante Stützstellen : x i := 5 + i 10 n, i = 0,..., n Problem : bei hohem Grad n hat p P n Oszillationen!!! und der Fehler : f (x) p(x) 0 für n 2 Beispiel von RUNGE besser : stückweise auf kleinen Teil-Intervallen, mit kleinem Grad n 3 interpolieren!!! kubische Splines Polynom-Interpolation 9 / 15

10 6.6. Interpolation mit kubischen Splines 2.5 Approximation durch kubische Splines in Matlab : x=[ ]; y=[ ]; xx = -3.2:0.1:3.2; yy =spline(x,y,xx); plot(x,y, or, LineWidth,2.5); axis([ ]); hold on; plot(xx,yy, -b, LineWidth,1.8 ); 6. Polynom-Interpolation 10 / 15

11 Definition und Problemstellung Definition (6.5. kubische Spline-Funktionen) Sei a = x 0 < x 1 < < x n = b eine Zerlegung von [a, b]. Dann heißt die Funktion s : [a, b] R kubischer Spline, wenn : auf jedem Teilintervall [x i, x i+1 ] die Funktion s ein Polynom vom Grad 3 ist i = 0,..., n 1 und die Funktion s auf [a, b] mindestens zweimal stetig differenzierbar ist Problem : geg.: Stützpunkte (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ) mit a = x 0 < x 1 < < x n = b ges.: kubischer Spline s : [a, b] R mit Approximation durch kubische Splines s(x i ) = y i i = 0,..., n Polynom-Interpolation 11 / 15

12 Lösung des Problems (Teil 1) Ansatz : sei s i die Einschränkung von s auf [x i, x i+1 ], dann ist : s i (x) = α i + β i (x x i ) + γ i (x x i ) 2 + δ i (x x i ) 3 4 Unbekannte pro Teilintervall 4n Unbekannte insgesamt die 4n Gleichungen sind : s i (x i ) = α i = y i i = 0,..., n 1 (linker Randpunkt) s i (x i+1 ) = y i+1 i = 0,..., n 1 (rechter Randpunkt) s i 1 (x i) = s i (x i) i = 1,..., n 1 (Stetigkeit von s ) s i 1 (x i) = s i (x i ) i = 1,..., n 1 (Stetigkeit von s ) + 2 Randbedingungen : s 0 (a) = s n 1 (b) = 0 (natürlicher Spline, keine Krümmung) s 0 (a) und s n 1 (b) sind vorgegeben (vollständiger Spline) 6. Polynom-Interpolation 12 / 15

13 Lösung des Problems für natürliche Splines (Teil 2) Idee : Einführung der 2. Momente : m i := s (x i ) i = 0,..., n wobei m 0 = m n = 0 beim natürlichen Spline für die 4n unbekannten Koeffizienten gilt dann: (h i := x i+1 x i ) α i = y i γ i = 1 2 m i β i = y i+1 y i h i h i 6 (m i+1 + 2m i ) i = 0,..., n 1 δ i = m i+1 m i 6h i für die m 1,..., m n 1 erhält man das GLS : ( i = 1,..., n 1) h i 1 }{{} u i m i 1 + 2(h i 1 + h }{{} i v i m i + h i }{{} y i+1 y i m i+1 = 6 6 y i y i 1 h i h i 1 w i }{{} GLS ist tridiagonal Gauß-Alg. kostet nur Cn Operationen r i 6. Polynom-Interpolation 13 / 15

14 Fehlerabschätzung für die Spline-Interpolation Theorem (6.6. Fehlerabschätzung für Spline-Interpolation) Vor.: Funktion f : [a, b] R sei 4-mal stetig diff bar Stützpunkte : a = x 0 < x 1 < < x n = b, y i = f (x i ) s sei kubischer Spline mit : s(x i ) = f (x i ) und s (a) = f (a), s (b) = f (b) sei h := max 0 i n 1 h i, wobei h i := x i+1 x i Beh.: für die k-ten Ableitungen s (k) (x) und f (k) (x) mit k = 0, 1, 2, gilt die Fehlerabschätzung : max x [a,b] f (k) (x) s (k) (x) 3 8 h4 k max x [a,b] f (4) (x) 6. Polynom-Interpolation 14 / 15

15 Ein einfaches Beispiel Beispiel : k = 0 f (x) = sin(x), [a, b] = [0, 3], h = 3/5, x i = ih max f (x) s(x) 3 ( ) 6 4 max x [a,b] 8 10 x [a,b] sin (4) (x) } {{ } = e Approximation durch kubische Splines Polynom-Interpolation 15 / 15