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2 1 Introduction Motivation Basic setup Goals and limitations Governing equations Conservation of mass Conservation of momentum Motion and deformation of a fluid element Deformation law for a Newtonian fluid Mechanical and thermodynamic pressure The Navier-Stokes equations The energy equation The perfect gas Sutherland s viscosity model Incompressible flow Summary Computational methods Discretisation methods Finite Difference Method Finite Volume Method Finite Element Method Interpolation schemes Upwind interpolation scheme Linear upwind interpolation scheme Linear interpolation scheme Other interpolation schemes Boundary conditions Unsteady problems Explicit (forward) Euler Method Implicit (backward) Euler Method Crank-Nicolson Method Other methods vii

3 3.5 Solving the Navier-Stokes equations SIMPLE PISO PIMPLE Large Eddy Simulation Filtered Navier-Stokes equations Smagorinsky model Dynamic Smagorinsky model for incompressible flow Law of the Wall Summary Developing a prototype grinding tool Parametric study Variable parameters Simulation setup Forces Evaluation Computational results Simulation Setup Reynolds and Mach numbers Temperature variation Normal forces Tangential forces Flow analysis Grinding force dependency Grinding power Empirical validation of simulated data Experimental setup Simulation setup Empirical and computational results Developing a fully functional 8 mm grinding tool Determination of an adequate propulsion fluid Cavitation: limiting factor of liquids Oil viscosity study Optimisation of geometric parameters Gap height Co-duct position Duct diameter Main duct offset Final adjustments viii

4 6.2.6 Summary Optimisation of the computational grid Test setup Results for air Results for oil Computational Results Reynolds and Cavitation numbers Normal forces Tangential forces Grinding power Modelling force transfer across multiple scales Simulation Setup Computational results Normal forces Tangential force Grinding power Non-dimensional analysis Normal forces Tangential forces Grinding power Single duct vs. triple duct geometry Air vs. oil propulsion Conclusion Summary Limitations Future research possibilities Appendix 155 A Theorems & formulae 155 A.1 Divergence theorem A.2 Leibnitz integral rule A.3 Reynolds transport theorem A.4 Grinding angle and corresponding abrasion force A.5 Extrapolation of standard deviation A.6 Sigmoid function B Advanced Meshing Techniques 161 B.1 Meshing a cylinder with hexahedra B.2 Automatic Mesh Generation ix

5 B.3 Selective Grid Refinement C Supplemental results 177 C.1 40mm GrindBall prototype (Chapter4) C.2 Dynamometer validation (Chapter5) C.3 8mm hydraulic grinding tool (Chapter6) C.4 Scale Analysis (Chapter7) D OpenFOAM settings 189 D.1 40mm GrindBall parametric study (Chapter4) D.2 40mm GrindBall prototype (Chapter4) D.3 Dynamometer validation (Chapter5) D.4 Propulsion fluid study (Chapter6) D.5 Simulations using ISO VG46 oil (Chapter6) D.6 Scale Analysis (Chapter7) Bibliography 199 x

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