Crashkurs - Integration
|
|
- Leander Hoch
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt). 1. Ds unbestimmte Integrl Definition. Eine Funktion F (x) heißt Stmmfunktion zur Funktion f(x), flls gilt F (x) = f(x). Die Menge ller Stmmfunktionen von f(x) nennt mn unbestimmtes Integrl von f(x), und verwendet uch die Schreibweise f(x) dx. emerkungen. 1. Offenbr sind F 1 (x) = x3 3 und F 2 (x) = x3 3 f(x) = x Stmmfunktionen zu 2. Sind llgemein F 1 (x), F 2 (x) Stmmfunktionen zu f(x), dnn unterscheiden sich diese höchstens um eine dditive Konstnte, d.h. F 1 (x) F 2 (x) = C, C R. Die Menge ller Stmmfunktionen zu f(x) lässt sich dmit in der Form f(x) dx = F (x) + C usdrücken, wobei F (x) irgendeine Stmmfunktion zu f(x) ist und C R eine beliebige Konstnte. 3. Jede uf einem Intervll I stetige Funktion f(x) besitzt dort eine Stmmfunktion. 4. Durch Differentition von Funktionen lssen sich umgekehrt einige 1
2 Stmmfunktionen sofort ngeben. Weil (e x ) = e x, (sin x) = cos x und ( xn+1 n+1 ) = x n, sind e x dx = e x + C, cos x dx = sin x + C und x n dx = xn+1 n+1 + C. Rechenregeln (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx = F (x) + G(x) + C c f(x) dx = c f(x) dx = c F (x) + D 3. Prtielle Integrtion f(x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx eispiele (x + sin x) dx = x 2 2 cos x + C 5 cos x dx = 5 cos x dx = 5 sin x + C 3. etrchte I = ln x dx = 1 ln x dx Setze f (x) = 1 und g(x) = ln x. Dnn ist f(x) = x und g (x) = 1 x. Dmit ist I = x ln x x 1 x dx = x ln x 1 dx = x ln x x + C. Die Integrtion mittels Substitution werden wir mittels eines eispiels erläutern. etrchte I = x cos(x 2 + 1) dx. Wir führen nun in geeigneter Weise eine neue Vrible u = g(x) bzw. x = g(u) ein, sodss ein Integrl in dieser neuen Vriblen entsteht, welches einfcher zu lösen ist. (x drf in diesem neuen Integrl nicht mehr uftuchen!) Sei u = x Dnn ist du du dx = 2x und (forml) dx = Also I = x cos u du 2x = 1 2 cos u du = 1 2 sin u + C. 2x. 2
3 Nun erfolgt die Rücksubstitution und wir erhlten I = 1 2 sin(x2 + 1) + C. emerkung. ei zhlreichen Integrlen besteht die Kunst drin, eine geeignete Substitution zu finden. Eine rtionle Funktionen ist ein Quotient von zwei Polynomen, r(x) = P (x) Q(x). Zum eispiel r(x) = x5 1 x 3 +2x 2. Ist der Grd des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grd des Nennerpolynoms, muß zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden, und dnch eine Prtilbruchzerlegung, um einfchere Integrle zu erhlten. Exemplrisch betrchten wir I = 2x 3 3x 2 x 1 x 2 x dx. (Die llgemeine Sitution ist etws umfngreicher und wird später in der VO behndelt.) r(x) = 2x3 3x 2 x 1 x 2 x = 2x x x 2 x 1 2x = 2x 1 + x(x 1). Wir treffen nun den Anstz 1 2x x(x 1) = A x + x 1. Dnn ist 1 2x = A(x 1) + x = x (A + ) A. Koeffizientenvergleich liefert A = 1, A + = 2 = 3 Also ist 1 2x x(x 1) = 1 x 3 1 x 1 und I = (2x x 3 1 x 1 ) dx = x2 x + ln x 3 ln x 1 + C 2. Ds bestimmte Integrl Zum egriff des bestimmten Integrls kommt mn über die Frgestellung nch dem Flächeninhlt unter einer Kurve f(x). 3
4 Durch Zerlegungen des Intervlls [, b] erhält mn Unter- bzw. Obersummen, und durch eine geeignete Grenzwertbildung ergibt sich f(x) dx emerkung. Im Flle f(x) 0 uf [, b] ergibt sich dbei der Flächeninhlt unter der Kurve im Intervll [, b]. Im llgemeinen Fll ist beim Aufsummieren uf ds Vorzeichen zu chten (negtive Flächen unter der x Achse). Hier ist der Flächeninhlt durch f(x) dx gegeben. Zudem ist zu bechten, dss ds orientierte Intervll [, b] betrchtet wird. Eigenschften c dx = (b ) c, c R b (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 b f(x) dx + c 2 g(x) dx, c 1, c 2 R 4
5 3. Ist f(x) g(x) uf [, b], dnn f(x) dx g(x) dx 4. f(x) dx f(x) dx 5. f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx für c b 6. b f(x) dx = f(x) dx für b, f(x) dx = 0 7. d dx ( x f(t) dt) = f(x), R Die beiden wichtigsten Sätze n dieser Stelle sind Stz. (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Ist f(x) eine stetige Funktion uf dem Intervll [, b], dnn existiert eine Stelle c [, b] mit der Eigenschft f(c) = 1 b b f(x) dx bzw. f(x) dx = (b ) f(c) Stz. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Ist f(x) stetig uf dem Intervll [, b] und F (x) eine Stmmfunktion von f(x), dnn ist f(x) dx = F (b) F () = F (x) b eispiel. Gesucht ist die Fläche zwischen der Prbel y = x 2 und der x Achse im Intervll [ 1, 1]. 5
6 1 1 x 2 dx = x = 1 3 ( 1)3 3 = 2 3 emerkung. Ds Verfhren der prtiellen Integrtion gilt uch im Flle von bestimmten Integrlen. u(x) v (x) dx = u(x) v(x) b b u (x) v(x) dx ei der Anwendung der Substitutionsregel wird zuerst ds unbestimmte Integrl berechnet und nch Rücksubstitution die Grenzen eingesetzt, oder die Grenzen werden zu eginn mitsubstituiert. eispiel. I = 3 x=1 2 2x + 1 dx Substitution: u = 2x + 1 du dx = 2 dx = 1 2 du Grenzen: x = 1 u = 3, x = 3 u = 7 Also I = 7 u=3 u du = 2 3 u = 2 3 ( ). Definition. Ein ereich R 2, der in der Form = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)} beschrieben werden knn, nennt mn einen Normlbereich bzgl. y Richtung. der Anlog dzu ist ein Normlbereich bzgl. der x Richtung beschreibbr durch = {(x, y) : c y d, f(y) x g(y)} 6
7 emerkung. Für den Flächeninhlt zwischen den beiden Kurven gilt A y = (g(x) f(x)) dx bzw. A x = d c (g(y) f(y)) dy emerkung. Rotiert eine Kurve y = f(x) um die x Achse bzw. die Kurve x = g(y) um die y Achse, erhlten wir einen Drehkörper im Rum. Für ds Volumen des Drehkörpers gilt dnn V x = π f 2 (x) dx bzw. V y = π d c g 2 (y) dy Doppelintegrle. (siehe Mthemtik 2) Sei = [, b] [c, d] R 2 und f(x, y) eine Funktion von zwei Veränderlichen. Ds Doppelintegrl f(x, y) dxdy über den Rechtecksbereich wird ähnlich wie im eindimensionlen Fll durch Zerlegungen in kleinere Rechtecksbereiche und ildung von Ober- bzw. Untersummen gebildet. 7
8 Im speziellen ergibt sich im Flle von f(x, y) 0 (uf ) ds Volumen unter der Fläche z = f(x, y) und der xy Ebene. Die ursprüngliche Definition des Doppelintegrls für Rechtecksbereiche knn dnn uf llgemeinere ereiche R 2 erweitert werden. Die wichtigste Aussge für die konkrete erechnung von Doppelintegrlen betrifft den Fll, wo der ereich ein Normlbereich ist. Stz. Sei = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)} ein Normlbereich bzgl. der y Richtung. Dnn ist f(x, y) dxdy = x= [ g(x) y=f(x) f(x, y) dy] dx D.h. ds Doppelintegrl knn durch Hintereinnderusführung von zwei eindimensionlen Integrlen bestimmt werden. emerkung. Ist = {(x, y) : c y d, f(y) x g(y)} ein Normlbereich bzgl. der x Richtung, gilt nlog eispiel. f(x, y) dxdy = d y=c [ g(y) x=f(y) Mn bestimme I = f(x, y) dx] dy mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und (0, 2) ist. (x + 2y) dxdy, wobei ds Dreieck Die Gerde durch die Punkte (0, 2) und (1, 0) ist durch 2x + y = 2 gegeben. ist ein Normlbereich, i.e. 0 x 1, 0 y 2x + 2. I = = 1 x=0 1 x=0 2x+2 [ y=0 (x + 2y) dy] dx = 1 x=0 (x( 2x + 2) + ( 2x + 2) 2 ) dx = [(xy + y 2 ) 2x+2 y=0 ] dx = 1 x=0 (2x 2 6x + 4) dx = 8
9 = ( 2 3 x3 3x 2 + 4x) 1 x=0 = 5 3 emerkung. Einer Substitution entspricht hier eine sogennnte Koordintentrnsformtion. Oft verwendet wird der Übergng zu Polrkoordinten (x = r cos φ, y = r sin φ), wenn ddurch der ereich einfcher beschrieben werden knn. Wichtig dbei: Ds Flächenelement dxdy wird ersetzt durch r drdφ. eispiel. Mn bestimme I = Hlbkreis von x 2 + y 2 = 4 ist. x2 + y 2 dxdy, wobei der obere Übergng zu Polrkoordinten: x = r cos φ, y = r sin φ Für den Integrnden gilt x2 + y 2 = r. Der ereich knn beschrieben werden durch 0 r 2, 0 φ π. Dmit I = π φ=0 [ 2 r=0 r r dr] dφ = π φ=0 r r=0 dφ = π φ=0 8 3 dφ = = 8 3 φ π φ=0 = 8π 3 9
Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrThema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1
MehrMathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3
Mthemtik fu r Ingenieure (Mschinenu und Sicherheitstechnik). Semester Apl. Prof. Dr. G. Herort Dr. T. Pwlschyk SoSe6 Areitsheft Bltt Hinweis: Besuchen Sie die Vorlesung und vervollst ndigen Sie Areitsheft.
MehrARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
Mehr5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
MehrDie Keplersche Fassregel
Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden
Mehr8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral
8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei
MehrLineare DGL zweiter Ordnung
Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x
MehrNumerische Integration durch Extrapolation
Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der
MehrFunktionenfolgen. Kapitel 6
Kpitel 6 Funktionenfolgen Bemerkung 6.1 Motivtion. Dieser Abschnitt betrchtet die Konvergenz von Folgen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen. Dies ist eine wichtige Grundlge, um eine
MehrAnalysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name
Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum
MehrUnter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ...
Kpitel 7 Ds Riemnn Integrl 7.1 Unter und Obersummen 7.2 Riemnn Integrl 7.3 Riemnnsche Summen 7.4 Rechenregeln 7.5 Differentition und Integrtion 7.6 Die L p Normen 7.1 Unter und Obersummen Unter einer Prtition
Mehrt 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.
Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrFernUniversität Gesamthochschule in Hagen
FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember
MehrFalls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
MehrFormelsammlung. Folgen und Reihen
Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
MehrMathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007
Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................
Mehr1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
MehrBestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
MehrAbiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)
Mehr2.1 Motivation, Zurückführung auf ein Doppelintegral. Wir betrachten einen zylindrischen Körper K, der von der Fläche
Kpitel 2 Ds Flähenintegrl 2.1 Motivtion, Zurükführung uf ein Doppelintegrl Wir betrhten einen zylindrishen Körper K, der von der Flähe z f(x, y, seitlih von einer Zylinderflähe mit Erzeugenden prllel zur
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehr2.5 Messbare Mengen und Funktionen
1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
Mehr2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken
Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,
MehrWir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.
I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrDifferential- und Integralrechnung: eine kurze Wiederholung
Differentil- und Integrlrechnung: eine urze Wiederholung Dvid Wozbl 8. September 8 Zusmmenfssung Die folgenden Seiten sind ls urze Wiederholung bzw Einführung in die Differenzil- und Integrlrechnung zu
MehrVolumen von Rotationskörpern
Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht
MehrGebrochenrationale Funktionen (Einführung)
Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle
MehrBrückenkurs MATHEMATIK
Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber
MehrAnalysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer
Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................
MehrKomplexe Kurvenintegrale
Komplexe Kurvenintegrle nlog zu Kurvenintegrlen: Sei : [, b] D R n ein stükweiser C Weg, f : D R und F : D R n gegeben. Dnn htten wir in Anlysis II/III die beiden Kurvenintegrle. und 2. Art f (x)ds = b
MehrÜ b u n g s b l a t t 13. Organisatorisches:
MATHEMATIK FÜ INFOMATIKE I WINTESEMESTE 7/8 POF. D. FIEDICH EISENBAND D. KAI GEHS Ü b u n g s b l t t 13 Orgnistorisches: Dieses Übungsbltt wir nicht mehr korrigiert. D ie Aufgben ennoch klusurrelevnt
MehrIntegrieren kurz und bündig
mthe online Skripten http://www.mthe-online.t/skripten/ Integrieren kurz und bündig Frnz Embcher Fkultät für Mthemtik der Universität Wien E-mil: frnz.embcher@univie.c.t WWW: http://homepge.univie.c.t/frnz.embcher/
MehrKurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)
Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art
MehrAnalysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014
Anlysis 2 Vorlesungsskript Sommersemester 214 Bernd Schmidt Version vom 15. Oktober 214 Institut für Mthemtik, Universität Augsburg, Universitätsstr. 14, 86135 Augsburg, bschmidt@mth.uni-ugsburg.de 1 Inhltsverzeichnis
MehrHöhere Mathematik für Elektrotechniker II
Vorlesungsmnuskript zu Höhere Mthemtik für Elektrotechniker II Werner Blser Institut für Angewndte Anlysis Sommersemester 2009 Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 4 11 Riemnn-Summen und Riemnn-Integrl
MehrGrundwissen Abitur Analysis
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen
MehrZiel dieses Paragraphen ist die Untersuchung von parameterabhängigen Integralen der Form. f(x 1,..., x n, t) dt. Satz. f (x) = (x, t) dt.
1 Kpitel 9 Mehrfche Integrle 1 Prmeterintegrle Inhlt: Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Prmeterintegrlen, Potentilfunktionen und Integrbilitätsbedingung, Fubini für Rechtecke, Leibnizsche Formel, uneigentliche
Mehr10.2 Kurven und Bogenlänge
10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene
Mehr4 Die Integralfunktion*
Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer
Mehr10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente
1.3 Sttische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente Sttisches Moment M g eines Mssenpunktes P (der Msse m) bezüglich einer Gerden g: M g := ml Msse Hebelrm l Abstnd von P zu g g 9 P l Bei n Mssenpunkten
MehrMathematischer Vorkurs zu den Vorlesungen in Experimentalphysik Version Ulrike Willer
Mthemtischer Vorkurs zu den Vorlesungen in Experimentlphysik Version 1.31 Ulrike Willer August 2013 Inhltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Vektorrechnung 2 2.1 Motivtion............................ 2 2.2
Mehr1 Ergänzungen zur Differentialrechnung
$Id: nlytisch.te,v 1.3 2011/04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte
Mehr4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle
4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich
MehrNumerische Mathematik I
Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität
Mehr1 Integralsätze - Motivation
Wolfrm Liebermeister 28.10.2013 Einführung: Integrle HU-Berlin - Institut für Theoretische Biophysik nlehnung n die Vorlesung Höhere Mthemtik 3 von Michel Eisermnn, www.igt.uni-stuttgrt.de/eiserm Tutoren:
MehrVorlesung Mathematik I
Vorlesung Mthemtik I Studiengng Chemieingenieurwesen/Umwelttechnik D. Oestreich 1 1 Grundlgen 1.1 Mengenlehre und mthemtische Logik 1.1.1 Mengen und Mengenopertionen Menge: Gednkliche Zusmmenfssung M von
MehrLösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsammlung) Gebrochenrationale Funktionen
www.mthe-ufgben.com Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsmmlung) Gebrochenrtionle Funktionen Aufgbe : ) wgr. Asymptote: y, b) wgr. Asymptote: y 0 senkr. Asymptote: x - mit VZW senkr. Asymptote:
Mehr1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
MehrMultiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
MehrKurven und Bogenlänge
Kpitel 3 Kurven und Bogenlänge 3.1 Motivtion Der Begriff der Kurve in der Ebene oder im Rum spielt in den Nturwissenschften, insbesondere der Physik, Technik (Robotik) und der Informtik (Computergrphik)
MehrBerechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
Mehr3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
MehrMusterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS
Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit
Mehr5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln
5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer
MehrAnalysis I. TU Dortmund, Wintersemester 2013/14. Ben Schweizer
Anlysis I TU Dortmund, Wintersemester 2013/14 Ben Schweizer Inhltsverzeichnis 1 Reelle Zhlen 1.1 Logische Grundlgen: Aussgen, Beweise, Mengen........ 3 1.2 Die Zhlenbereiche N, Z und Q..................
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:
Mehr9 Riemann-Integral für Funktionen einer Variablen
9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n
Mehr10 Anwendungen der Integralrechnung
9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung
MehrThema 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven
Them 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven Definition 1 Eine Kurve in R n ist eine stetige Abbildung uf einem Intervll I mit Werten in R n. Wir verwenden den Buchstben c für Kurven und schreiben c = (c 1,...,c
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 10
Mthemtik I für E-Techniker C. Erdmnn WS /, Univerität Rotock,. Vorleungwoche Zutzmteril zur Mthemtik I für E-Techniker Übung Uneigentliche Integrle Die Funktion f ei für x definiert und in jedem Intervll
MehrHöhere Mathematik II für Ingenieure. PD Dr. Swanhild Bernstein, TU Bergakdemie Freiberg, Sommersemester 2008
Höhere Mthemti II für Ingenieure PD Dr. Swnhild Bernstein, TU Bergdemie Freiberg, Sommersemester 2008 Inhltsverzeichnis 3 KAPITEL Potenzreihen. Gleichmäßige Konvergenz Definition.. Es sei f 0, f, f 2,...
MehrWir wollen dieses Semester beginnen indem wir uns zunächst an den Mittelwertsatz I. 12.Satz 10 erinnern.
Inhltsverzeichnis Tylorpolynome und Tylorreihen.................... Integrlrechnung............................. 6 3 Uneigentliche Integrle.......................... 9 4 Funktionenfolgen und normierte
MehrProf. Dr. Rolf Linn
Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen
MehrFacharbeit über algebraische Gleichungen vierten Grades
Fchrbeit über lgebrische Gleichungen vierten Grdes inkl. der Crdni schen Formeln und dem Beweis der Formeln. Verfßt von Ing. Wlter Höhlhubmer im Oktober ergänzt im Juli und August und erweitert im Dez.
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
MehrMathematik für Biologen
Vorbskript zur Vorlesung Mthemtik für Biologen Wintersemester 05/ 6 Prof. Dr. Helmut Mier Dr. Hns- Peter Reck Institut für Zhlentheorie und Whrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm Inhltsverzeichnis Grundlgen
Mehrf(x) := lim f n (x) (a) Wann ist die Grenzfunktion f stetig? Reicht dazu die Stetigkeit aller Funktionen f n?
Kpitel 9 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 9.1 Gleichmäßige Konvergenz 9.2 Eigenschften der Grenzfunktion 9.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen 9.4 Anwendung uf Potenzreihen 9.5 Tylor
Mehr2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der
MehrKapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
Mehr2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt
2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrGrundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben
Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können
MehrBrückenkurs Mathematik
Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..
MehrMathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
Mehr9 Die Prinzipien der Analysis
9 Die Prinzipien der Anlysis 9. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ds wichtigste Prinzip der Anlysis besgt, dss die Integrtion in gewisser Weise die Umkehrung der Differentition ist. Genuer
MehrEs soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Bden-Württemberg: Abitur 014 Whlteil A www.mthe-ufgben.com Huptprüfung Abiturprüfung 014 (ohne CAS) Bden-Württemberg Whlteil Anlysis Hilfsmittel: GTR und Formelsmmlung llgemeinbildende Gymnsien Alexnder
MehrQuadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
MehrANALYSIS II OLIVER C. SCHNÜRER
ANALYSIS II OLIVER C. SCHNÜRER Zusmmenfssung. Bei diesem Mnuskript hndelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung Anlysis II. Ich hbe sie im Sommersemester 215 in Konstnz benutzt. Inhltsverzeichnis 4. Differentition
MehrEinführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005
Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................
Mehr