Crashkurs - Integration

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1 Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt). 1. Ds unbestimmte Integrl Definition. Eine Funktion F (x) heißt Stmmfunktion zur Funktion f(x), flls gilt F (x) = f(x). Die Menge ller Stmmfunktionen von f(x) nennt mn unbestimmtes Integrl von f(x), und verwendet uch die Schreibweise f(x) dx. emerkungen. 1. Offenbr sind F 1 (x) = x3 3 und F 2 (x) = x3 3 f(x) = x Stmmfunktionen zu 2. Sind llgemein F 1 (x), F 2 (x) Stmmfunktionen zu f(x), dnn unterscheiden sich diese höchstens um eine dditive Konstnte, d.h. F 1 (x) F 2 (x) = C, C R. Die Menge ller Stmmfunktionen zu f(x) lässt sich dmit in der Form f(x) dx = F (x) + C usdrücken, wobei F (x) irgendeine Stmmfunktion zu f(x) ist und C R eine beliebige Konstnte. 3. Jede uf einem Intervll I stetige Funktion f(x) besitzt dort eine Stmmfunktion. 4. Durch Differentition von Funktionen lssen sich umgekehrt einige 1

2 Stmmfunktionen sofort ngeben. Weil (e x ) = e x, (sin x) = cos x und ( xn+1 n+1 ) = x n, sind e x dx = e x + C, cos x dx = sin x + C und x n dx = xn+1 n+1 + C. Rechenregeln (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx = F (x) + G(x) + C c f(x) dx = c f(x) dx = c F (x) + D 3. Prtielle Integrtion f(x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx eispiele (x + sin x) dx = x 2 2 cos x + C 5 cos x dx = 5 cos x dx = 5 sin x + C 3. etrchte I = ln x dx = 1 ln x dx Setze f (x) = 1 und g(x) = ln x. Dnn ist f(x) = x und g (x) = 1 x. Dmit ist I = x ln x x 1 x dx = x ln x 1 dx = x ln x x + C. Die Integrtion mittels Substitution werden wir mittels eines eispiels erläutern. etrchte I = x cos(x 2 + 1) dx. Wir führen nun in geeigneter Weise eine neue Vrible u = g(x) bzw. x = g(u) ein, sodss ein Integrl in dieser neuen Vriblen entsteht, welches einfcher zu lösen ist. (x drf in diesem neuen Integrl nicht mehr uftuchen!) Sei u = x Dnn ist du du dx = 2x und (forml) dx = Also I = x cos u du 2x = 1 2 cos u du = 1 2 sin u + C. 2x. 2

3 Nun erfolgt die Rücksubstitution und wir erhlten I = 1 2 sin(x2 + 1) + C. emerkung. ei zhlreichen Integrlen besteht die Kunst drin, eine geeignete Substitution zu finden. Eine rtionle Funktionen ist ein Quotient von zwei Polynomen, r(x) = P (x) Q(x). Zum eispiel r(x) = x5 1 x 3 +2x 2. Ist der Grd des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grd des Nennerpolynoms, muß zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden, und dnch eine Prtilbruchzerlegung, um einfchere Integrle zu erhlten. Exemplrisch betrchten wir I = 2x 3 3x 2 x 1 x 2 x dx. (Die llgemeine Sitution ist etws umfngreicher und wird später in der VO behndelt.) r(x) = 2x3 3x 2 x 1 x 2 x = 2x x x 2 x 1 2x = 2x 1 + x(x 1). Wir treffen nun den Anstz 1 2x x(x 1) = A x + x 1. Dnn ist 1 2x = A(x 1) + x = x (A + ) A. Koeffizientenvergleich liefert A = 1, A + = 2 = 3 Also ist 1 2x x(x 1) = 1 x 3 1 x 1 und I = (2x x 3 1 x 1 ) dx = x2 x + ln x 3 ln x 1 + C 2. Ds bestimmte Integrl Zum egriff des bestimmten Integrls kommt mn über die Frgestellung nch dem Flächeninhlt unter einer Kurve f(x). 3

4 Durch Zerlegungen des Intervlls [, b] erhält mn Unter- bzw. Obersummen, und durch eine geeignete Grenzwertbildung ergibt sich f(x) dx emerkung. Im Flle f(x) 0 uf [, b] ergibt sich dbei der Flächeninhlt unter der Kurve im Intervll [, b]. Im llgemeinen Fll ist beim Aufsummieren uf ds Vorzeichen zu chten (negtive Flächen unter der x Achse). Hier ist der Flächeninhlt durch f(x) dx gegeben. Zudem ist zu bechten, dss ds orientierte Intervll [, b] betrchtet wird. Eigenschften c dx = (b ) c, c R b (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 b f(x) dx + c 2 g(x) dx, c 1, c 2 R 4

5 3. Ist f(x) g(x) uf [, b], dnn f(x) dx g(x) dx 4. f(x) dx f(x) dx 5. f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx für c b 6. b f(x) dx = f(x) dx für b, f(x) dx = 0 7. d dx ( x f(t) dt) = f(x), R Die beiden wichtigsten Sätze n dieser Stelle sind Stz. (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Ist f(x) eine stetige Funktion uf dem Intervll [, b], dnn existiert eine Stelle c [, b] mit der Eigenschft f(c) = 1 b b f(x) dx bzw. f(x) dx = (b ) f(c) Stz. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Ist f(x) stetig uf dem Intervll [, b] und F (x) eine Stmmfunktion von f(x), dnn ist f(x) dx = F (b) F () = F (x) b eispiel. Gesucht ist die Fläche zwischen der Prbel y = x 2 und der x Achse im Intervll [ 1, 1]. 5

6 1 1 x 2 dx = x = 1 3 ( 1)3 3 = 2 3 emerkung. Ds Verfhren der prtiellen Integrtion gilt uch im Flle von bestimmten Integrlen. u(x) v (x) dx = u(x) v(x) b b u (x) v(x) dx ei der Anwendung der Substitutionsregel wird zuerst ds unbestimmte Integrl berechnet und nch Rücksubstitution die Grenzen eingesetzt, oder die Grenzen werden zu eginn mitsubstituiert. eispiel. I = 3 x=1 2 2x + 1 dx Substitution: u = 2x + 1 du dx = 2 dx = 1 2 du Grenzen: x = 1 u = 3, x = 3 u = 7 Also I = 7 u=3 u du = 2 3 u = 2 3 ( ). Definition. Ein ereich R 2, der in der Form = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)} beschrieben werden knn, nennt mn einen Normlbereich bzgl. y Richtung. der Anlog dzu ist ein Normlbereich bzgl. der x Richtung beschreibbr durch = {(x, y) : c y d, f(y) x g(y)} 6

7 emerkung. Für den Flächeninhlt zwischen den beiden Kurven gilt A y = (g(x) f(x)) dx bzw. A x = d c (g(y) f(y)) dy emerkung. Rotiert eine Kurve y = f(x) um die x Achse bzw. die Kurve x = g(y) um die y Achse, erhlten wir einen Drehkörper im Rum. Für ds Volumen des Drehkörpers gilt dnn V x = π f 2 (x) dx bzw. V y = π d c g 2 (y) dy Doppelintegrle. (siehe Mthemtik 2) Sei = [, b] [c, d] R 2 und f(x, y) eine Funktion von zwei Veränderlichen. Ds Doppelintegrl f(x, y) dxdy über den Rechtecksbereich wird ähnlich wie im eindimensionlen Fll durch Zerlegungen in kleinere Rechtecksbereiche und ildung von Ober- bzw. Untersummen gebildet. 7

8 Im speziellen ergibt sich im Flle von f(x, y) 0 (uf ) ds Volumen unter der Fläche z = f(x, y) und der xy Ebene. Die ursprüngliche Definition des Doppelintegrls für Rechtecksbereiche knn dnn uf llgemeinere ereiche R 2 erweitert werden. Die wichtigste Aussge für die konkrete erechnung von Doppelintegrlen betrifft den Fll, wo der ereich ein Normlbereich ist. Stz. Sei = {(x, y) : x b, f(x) y g(x)} ein Normlbereich bzgl. der y Richtung. Dnn ist f(x, y) dxdy = x= [ g(x) y=f(x) f(x, y) dy] dx D.h. ds Doppelintegrl knn durch Hintereinnderusführung von zwei eindimensionlen Integrlen bestimmt werden. emerkung. Ist = {(x, y) : c y d, f(y) x g(y)} ein Normlbereich bzgl. der x Richtung, gilt nlog eispiel. f(x, y) dxdy = d y=c [ g(y) x=f(y) Mn bestimme I = f(x, y) dx] dy mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und (0, 2) ist. (x + 2y) dxdy, wobei ds Dreieck Die Gerde durch die Punkte (0, 2) und (1, 0) ist durch 2x + y = 2 gegeben. ist ein Normlbereich, i.e. 0 x 1, 0 y 2x + 2. I = = 1 x=0 1 x=0 2x+2 [ y=0 (x + 2y) dy] dx = 1 x=0 (x( 2x + 2) + ( 2x + 2) 2 ) dx = [(xy + y 2 ) 2x+2 y=0 ] dx = 1 x=0 (2x 2 6x + 4) dx = 8

9 = ( 2 3 x3 3x 2 + 4x) 1 x=0 = 5 3 emerkung. Einer Substitution entspricht hier eine sogennnte Koordintentrnsformtion. Oft verwendet wird der Übergng zu Polrkoordinten (x = r cos φ, y = r sin φ), wenn ddurch der ereich einfcher beschrieben werden knn. Wichtig dbei: Ds Flächenelement dxdy wird ersetzt durch r drdφ. eispiel. Mn bestimme I = Hlbkreis von x 2 + y 2 = 4 ist. x2 + y 2 dxdy, wobei der obere Übergng zu Polrkoordinten: x = r cos φ, y = r sin φ Für den Integrnden gilt x2 + y 2 = r. Der ereich knn beschrieben werden durch 0 r 2, 0 φ π. Dmit I = π φ=0 [ 2 r=0 r r dr] dφ = π φ=0 r r=0 dφ = π φ=0 8 3 dφ = = 8 3 φ π φ=0 = 8π 3 9

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