Crashkurs sin 2 x + 5 cos 2 x = sin 2 x 2 sin x = 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Crashkurs sin 2 x + 5 cos 2 x = sin 2 x 2 sin x = 3"

Transkript

1 Crashkurs. Funktion mit Parameter/Ortskurve - Wahlteil Analysis.. Gegeben sei für t > die Funktion f t durch f t (x) = 4 x 4t x 2 ; x R\{}. a) Welche Scharkurve geht durch den Punkt Q( 4)? b) Bestimme die Gleichung der Kurve C, auf der alle Extrempunkte liegen. c) Die Tangente in der Nullstelle von K t schneidet die Kurve K t noch einmal. Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes..2. Gegeben sei für a die Schar von Funktionen f a durch f a (x) = x 2 e x a; x R. Das Schaubild von f a heißt K a. a) Skizzieren Sie die Schaubilder K,5, K und K 2. Geben Sie die wichtigsten Eigenschaften der Schaubilder dieser Schar an. b) Zeigen Sie: Spiegelt man irgendein Schaubild der Schar an der y-achse, so erhält man wieder ein Schaubild der Schar. Welche Beziehung besteht zwischen den Parametern dieser beiden Schaubilder? c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der KurvevC, auf der die Hochpunkte aller Schaubilder der Schar liegen. Zeichnen Sie diese Kurve zu den Schaubildern aus a) ein. Gibt es Punkte dieser Kurve, die keine Hochpunkte eines Schaubildes sind? 2. Gleichungen - Pflichtteil Lösen Sie folgende Gleichungen über der Grundmenge x 2π: 2.. cos 2 (x) 4 = 2.2. sin x sin x = sin 2 x + 5 cos 2 x = sin 2 x 2 sin x = 3 3. Lineare Gleichungssysteme - Pflichtteil a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems 2x x 2 + 2x 3 = x + x 2 x 3 = x 2x 2 + 3x 3 = 4. Anwendungen linearer Gleichungssystem - Wahlteil b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von k R. x + 3x 2 + 4x 3 = 4 x + x 2 x 3 = 6 kx + (k 2)x 2 + (2k 2)x 3 = Prüfen Sie, ob es eine ganzrationale Funktion gibt, die folgende Eigenschaften erfüllt: Der Grad der Funktion ist 3. Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 2. Ihr Schaubild hat einen Hochpunkt bei x = 3. Die Wendetangente im Punkt P( f()) hat die Steigung Im Vektorraum R e sind für t R folgende Vektoren gegeben: 2t 2t a t = t ; bt = 5 ; c t = ; dt = 2 2 t Für welches t sind die drei Vektoren a t, b t und c t linear unabhängig? Stellen Sie den Vektor d 2 als Linearkombination der drei Vektoren a 2, b 2 und c 2 dar.

2 4.3. Eine Kaffeerösterei stellt Kaffeemischungen verschiedener Preisklassen her. Die Verkaufspreise von vier verschiedenen Bohnensorten sind wie folgt festgelegt: Sorte A B C D Preis pro kg 6,e 7,5e 9,e,25e a) Eine Mischung soll Bohnen der Sorten A, B und C enthalten und 6,75epro g kosten. Wie groß muss der Anteil von Sorte A mindestens sein? b) Eine andere Mischung der Sorten A, B und D soll 9epro g kosten. Wie groß müssen die Anteile der Sorten A, B und D gewählt werden, wenn doppelt so viel von Sorte B wie von Sorte A verwendet werden soll? 5. Ableitungen - Pflichtteil Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 5.. f(x) = x 2 2x f(x) = e2x x f(x) = tan(x) 2 sin( 2 x) 6. Stammfunktionen - Pflichtteil Bestimmen Sie eine Stammfunktion der folgenden Funktionen. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 6.. f(x) = 5 2x 6.2. f(x) = 2 e 2x 6.3. f(x) = 4x 3 sin(3x + 2) 7. Funktionsbestimmung - Wahlteil Analysis 7.. Kaffee der Temperatur 8,3 C wird bei einer Raumtemperatur von 23,2 C in eine Kaffeetasse eingefüllt. Danach wird die Abkühlung der Flüssigkeit in regelmäßigen Zeitabständen gemessen. Zeit t in min Temperatur in C 78,8 75,9 73,5 7,5 69,5 67,7 66, 64,4 a) Tragen Sie die Messwerte in ein Koordinatensystem ein. Welche Wachstumsform könnte vorliegen? Begründen Sie. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm für eine geeignete Näherungsfunktion f, die den Vorgang beschreibt. Zeichen Sie ihr Schaubild in das vorhandene Koordinatensystem ein. c) Welche Temperatur erwarten Sie nach einer Stunde? Wie lange dauert es, bis sich der Kaffee auf 5 C abgekühlt hat? 7.2. Wird Wasser der Masse m und der Temperatur T mit wärmerem Wasser der Masse m 2 und der Temperatur T 2 gemischt, so gilt bei guter Isolierung für die Mischungstemperatur T: m (T T ) = m 2 (T 2 T) a) Berechnen Sie die Mischungstemperatur, wenn g Wasser der Temperatur 2 C mit 3 g Wasser der Temperatur 7 C gemischt werden.

3 b) In einem Isolierbehälter befinden sich g Wasser der Temperatur 2 C. Dazu lässt man Wasser der Temperatur 7 C fließen, das mit dem vorhandenen Wasser vermischt wird. Der Behälter fasst maximal 4 g Wasser. Bestimmen Sie die Funktion T, die der zugeflossenen Wassermasse x (in g) der Temperatur 7 C die Mischungstemperatur T(x) in C zuordnet. Skizzieren Sie das Schaubild von T. 8. Bestimmung von Funktionsgleichungen - Pflichtteil a) Geben Sie eine Funktionsgleichung zur eingezeichneten Funktion an. b) Geben Sie eine Funktionsgleichung zur eingezeichneten Funktion an. c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der eingezeichneten Sinus-Funktionen. Zeichnen Sie zu der oberen Funktion die Ableitungsfunktion mit in das Schaubild ein. Begründen Sie, dass für die obere Funktion gilt: a a f(x) dx = für alle a R d) Im Folgenden sind die Schaubilder einer Funktion, ihrer. Ableitung und ihrer Stammfunktion gegeben. Ordnen Sie einander zu und begründen Sie. Ist die Funktionsgleichung der Stammfunktion von der Form F(x) = (x + b)e ax, F(x) = b oder F(x) = eax? e ax x b 9. Beweise - Wahlteil 9.. Beweisen Sie, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Kathetenlängen gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge ist Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung von f(x) = x e x gilt f (n) (x) = ( ) n+ (n x) e x, n N.

4 Crashkurs - Lösungen. Funktion mit Parameter/Ortskurve - Wahlteil Analysis.. a) Löse die Gleichung f t () = 4 und erhalte t = 2. b) Setze die Ableitung: f t(x) = 4 + 8t gleich und erhalte x = 2t. Bestimme den x 2 x 3 zugehörigen Funktionswert f t (2t) =, also y =. t t Löse x = 2t nach t auf und setze in y = ein. Man erhält y = 2 als Ortskurve der t x Extrempunkte. c) Die Nullstelle liegt bei x = t. Tangente in N(t ): y = 4 x 4. t 2 t Schneide die Tangente mit der Kurve und erhalte als Schnittpunkt S( t 8) t y 4 a) Tiefpunkt im Ursprung, der auch Nullstelle ist; alle Schaubilder haben einen Hochpunkt im. Quadranten. Wendepunkt im. Quadranten, bei dem Linkskurve in Rechtskurve übergeht. Für x gehen die Funktionswerte gegen +. Für x ist die x- Achse Asymptote. Keine senkrechten Asymptoten/Definitionslücken x a= b) Das gespiegelte Schaubild wird durch f b = x 2 e + x b beschrieben. Dieses Schaubild entsteht aus dem,,normalen Schaubild dadurch, dass man a durch b ersetzt. Die gesuchte Beziehung ist also a = b. a= a=2 Ortskurve der Hochpu... c) Ableitungen: f a(x) = (2x a x2 ) e x a; f (x) = (2 4 a x + a 2 x 2 ) e x a Erhalte damit Extremstellen bei x = und x = 2a. Überprüfung mit der 2. Ableitung ergibt, dass bei x = ein Tiefpunkt, bei x = 2a ein Hochpunkt vorliegt. f a (2a) = 4a2 4a2, also y =. e e Löse x = 2a nach a auf und setze in y = 4a2 ein. Man erhält y = e e x2 als Ortskurve der Hochpunkte. Nur für x > liegen auf der Kurve C Hochpunkte des Schaubilds. 2. Gleichungen - Pflichtteil 2.. x = π 3 ; 2 3 π; 4 3 π; 5 3 π 2.2. x = π 2 oder x = 3 2 π 2.3. Ersetze sin 2 (x) + cos 2 (x) =, also 4 sin 2 (x)+5 = 6. Man erhält sin(x) = ± 2, also x = 6 π, 5 6 π, 7 6 π und 6 π Substituiere z := sinx. Man erhält mit p/q-formel z = 3 oder z =. Aus z = 3 ergibt sich keine Lösung für x. Einzige Lösung ist x = 3 2 π. 3. Lineare Gleichungssysteme - Pflichtteil 3.. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: x = 3 3 t; x 2 = t; x 3 = t d.h. (x x 2 x 3 ) = ( 3 3 t t t).

5 3.2. Beim Vereinfachen teilt man durch ( 2k 2). Dabei muss man den Fall unterscheiden, dass k = ist, denn dann würde man durch teilen. Für k ergibt sich die Lösung x =, x 2 = 4 und x 3 = 2, d.h. (x x 2 x 3 ) = ( 4 2). Für k = ergeben sich unendlich viele Lösungen: (x x 2 x 3 ) = ( t 5 2 t t). 4. Anwendungen linearer Gleichungssysteme - Wahlteil 4.. Ansatz: f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d. Stelle 4 Gleichungen auf: f( 2) = ; f (3) = ; f () = ; f () = 2. Bestimme daraus a,b,c und d und erhalte f(x) = 6 x3 + 2 x x 3. Überprüfe mit der hinreichenden Bedingung, ob bei x = 3 wirklich ein Hochpunkte bei x = wirklich ein Wendepunkt vorliegt. Beides ist richtig Stelle ein LGS auf: x a t + y b t + z c t = o. Bringe das LGS auf Zeilenstufenform und überlege, für welche Werte von t sich unendliche viele Lösungen ergeben. Das ist für t = 4 und t = der Fall. Für diese Werte von t sind die Vektoren also linear abhängig, für alle anderen linear unabhängig. Aus x a 2 +y b 2 +z c 2 = d 2 ergibt sich x = 8, y = 8, z =, also 8 a b 2 + c 2 = d a) Die Variablen a,b,c,d sollen den Anteil an Bohnen der jeweiligen Sorte A,B,C,D angeben. Die Anteile müssen addiert ergeben. Stelle zwei Gleichungen auf: a + b + c = 6a + 7,5b + 9c = 6,75 Löse das LGS und erhalte a =,5 + t, b =,5 2t, c = t. Den kleinsten Anteil an Sorte a erhält man für t =, nämlich a =,5, also 5% Sorte A. b) Stelle drei Gleichungen auf: a + b + d = 6a + 7,5b +,25d = 9 a = 2 b Löse das LGS mit dem GTR: a =,76, b =,353, c =,47, also 7,6% von Sorte A, 35,3% von Sorte B und 47,% von Sorte D. 5. Ableitungen - Pflichtteil 5.. f (x) = 2x 2x + + x2 2x+ = 5x2 +2x 2x f (x) = (2x2 2x+2)e 2x (x 2 +) Hilfe: tan(x) = sin(x) cos(x), deswegen ist f (x) = cos 2 (x) + cos( 2 x) sin 2 ( 2 x). Merke: Die Ableitung von tan(x) ist cos 2 x. 6. Stammfunktionen - Pflichtteil 6.. F(x) = 5 ln( 2x ) Tipp: Schreibe e 2x als e 2x. F(x) = 2x + 2e 2x 6.3. F(x) = x 4 + cos(3x + 2) 3

6 7. Funktionsbestimmung - Wahlteil Analysis 7.. a) Beschränkter Zerfall, denn zunächst kühlt der Kaffee schnell ab, dann immer langsamer bis zum Grenzwert 23,2 C. b) einfache Lösung: lineare Funktion: schlechte Annäherung beschränktes Wachstum: Ziehe von jedem Wert 23,2 C ab, um einen exponentiellen Zerfall zu erhalten. Dafür lässt sich mit GTR durch Regression die Näherungsfunktion g mit g(x) = 8,75 e,457x bestimmen. Die Näherungsfunktion für den Abkühlungsvorgang ist dann f(x) = g(x) + 23,2 = 23,2 + 8,75 e,457x. c) Nach einer Stunde erwartet man eine Temperatur von f(6) 33,7 C. Schneide im GTR das Schaubild von f mit der Kurve zu h(x) = 5 und erhalte einen Schnittpunkt bei x 33. Nach ca. 33 Minuten ist der Kaffee auf 5 C abgekühlt a) Setze die bekannten Größen in die Gleichung ein und löse nach T auf. Es ergibt sich T = 3,54, also hat die Mischung eine Temperatur von ca. 3,5 C. b) Setze m =, T = 2 und T 2 = 7 in die Gleichung ein. Ersetze außerdem m 2 durch x. Löse die Gleichung dann nach T auf, es ergibt sich T(x) = 2 + 7x + x 8. Bestimmung von Funktionsgleichungen - Pflichtteil a) f(x) = x+3 x b) f(x) = 2x (x+2) 2 c) oben: f(x) = 2 sin(x + π 2 ) + 5 Mitte: f(x) = sin(x π 2 ) + 2 unten: f(x) = 3 sin(2x) a a f(x) dx =, denn die Funktion ist achsensymmetrisch. Deswegen ist immer a a f(x) dx = f(x) dx, so dass sich die Werte gegenseitig aufheben. d) Die Kurve, die von links unten kommt, ist das Schaubild von F, das Schaubild der Funktion f ist die Kurve, die von links oben kommt, übrig bleibt das Schaubild von f. Das Schaubild von F hat eine Nullstelle bei x =. Das ist nur bei F(x) = (x+b)e ax möglich (für b = ), denn die Schaubilder der anderen beiden Funktionen haben keine Nullstellen. Außerdem müsste das Schaubild der 3. Funktion bei x = b einen Pol haben. 9. Beweis - Wahlteil Analytische Geometrie 9.. Tipp: Verwende a 2 = a a Beweis: Benenne die Vektoren entlang der Kathetenseiten u und v. Nach Voraussetzung ist u v =. Zu zeigen ist: u 2 + v 2 = v u 2. v u 2 = ( v u) ( v u) = v v 2 v u + u u = u u + v v = u 2 + v 2 q.e.d.

7 9.2. Induktionsanfang: f () = ( x) e x Induktionsvoraussetzung: Für n = k sei die Aussage bereits bewiesen, d.h. f (k) (x) = ( ) k+ (k x) e x. Induktionsschritt: Zeige die Aussage auch für n = k +, d.h. zu zeigen ist, dass : f (k+) (x) = ( ) (k+)+ ((k + ) x) e x Beweis: ) f (k+) (x) = ( ) k+ (( ) e x + (k x)( ) e x (Ableitung mit Produktregel) = ( ) k+2 e x (k + x) (Ausklammern) = ( ) (k+)+ ((k + ) x) e x Damit ist die Aussage auch für n = k + bewiesen. Daraus folgt die Aussage für alle n N. q.e.d

Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A

Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f

Mehr

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

Skripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.

Skripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x. Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden

Mehr

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:

Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Stichworte: lineare Gleichungen; quadratische Gleichungen; Gleichungen höherer Ordnung; Substitution; Exponentialgleichungen; trigonometrische

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 01 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 01 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

3 Differenzialrechnung

3 Differenzialrechnung Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 006 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) sin(4x ). Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

b) [2P] 7x Lösungsvorschlag 1: f '(x) = cos 3x 6x = 6x cos 3x

b) [2P] 7x Lösungsvorschlag 1: f '(x) = cos 3x 6x = 6x cos 3x K1 Punkte: / Note: Schnitt:.10.1 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden

Mehr

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale

Mehr

MATHEMATIK K1. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte

MATHEMATIK K1. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte MATHEMATIK K1 21.11.2013 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Punkte (max) 6 3 4 4 2 10 1 Punkte Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte Der GTR ist nur für die Lösung der Textaufgabe (und zur Kontrolle der andern) zugelassen.

Mehr

Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote.

Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote. G13-2 KLAUSUR 24. 02. 2011 1. Pflichtteil (1) (2 VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e2x 1 e x und vereinfachen Sie gegebenenfalls. (2) (2 VP) Geben Sie für die Funktion f(x) = (5 + 3 ) 4

Mehr

Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik

Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik T. Schneider, J. Wirtz, M. Blessing 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Analysis 2 1.1 Monotonie............................................ 2 1.2 Globaler Verlauf........................................

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi

Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi Hessen Prüfungsaufgaben Grundkurs 2012 Grafikfähiger Taschenrechner (GTR), Computeralgebrasystem (CAS) Dieses Heft enthält Übungsaufgaben für GTR und CAS sowie die GTR-

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt.

1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt. Diese Aufgaben sind zu bearbeiten. Sie können nicht abgewählt werden. Aufgabe A1 1. Gegeben ist die Funktion mit 2 3; 1.1 Eine der folgenden Abbildung zeigt das Schaubild. 6P Untersuche für jede der Abbildungen,

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr

Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung

Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x 2 + 12x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen,

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Schleswig-Holstein. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Schleswig-Holstein. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Schleswig-Holstein Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung

Mehr

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 4.02.204 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 60 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A2.a b Summe P. (max

Mehr

Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Prüfungsaufgaben Hessen GTR / CAS. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

Gruber I Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Prüfungsaufgaben Hessen GTR / CAS. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Prüfungsaufgaben Hessen GTR / CAS Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

M I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x

M I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x Mathematik (43) Musteraufgabe Gruppe I: Analysis ohne Hilfsmittel ab 07 Seite /3 Gegeben ist die Funktion f mit 4 3 f(x) x x 3x 4x ; xir. 6 Bestimmen Sie den Bereich, in dem das Schaubild von f rechtsgekrümmt

Mehr

Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II

Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II Analysis NT GS - 0.06.06 - m06_ntalsg_gs.mcd Abschlussaufgabe 006 - Nichttechnik - Analysis II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fx ( ) mit ID f = ID g = IR. ( ) = x und gx ( ) = fx ( ) +. Zeigen Sie,

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil 202 2 Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung

Mehr

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung

Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor

Mehr

SYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER

SYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER SYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER Symmetrie ist ein außerordentlich wichtiges Konzept in der Mathematik und der Physik. Ist beispielsweise (x, y) eine Lösung des Gleichungssystems x + y = 5, xy = 1, so muss

Mehr

Mathemathik-Prüfungen

Mathemathik-Prüfungen M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie

Mehr

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I Diese Lösung wurde erstellt von Tanja Reimbold. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. Teil 1 Aufgabe 1 Definitionsbereich: Bestimmung der Nullstelle

Mehr

ANALYSIS. 3. Extremwertaufgaben (folgt)

ANALYSIS. 3. Extremwertaufgaben (folgt) ANALYSIS 1. Untersuchung ganzrationaler Funktionen 1.1 Symmetrie 2 1.2 Ableitung 2 1.3 Berechnung der Nullstellen 3 1.4 Funktionsuntersuchung I 4 1.5 Funktionsuntersuchung II 6 2. Bestimmung ganzrationaler

Mehr

Abschlussprûfung Berufskolleg. (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Analysis 2 Ganzrationale Funktionen.

Abschlussprûfung Berufskolleg. (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Analysis 2 Ganzrationale Funktionen. Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Analysis 2 Ganzrationale Funktionen zusammen mit Exponentialfunktionen Jahrgänge 2009 bis 2016 Text Nr. 74302 Stand

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Oberstufe Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 05 Pflichtteilaufgaben (ohne GTR) Aufgabe : Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme:

Mehr

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten

Mehr

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x. Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen

Mehr

KOMPETENZHEFT ZU STAMMFUNKTIONEN

KOMPETENZHEFT ZU STAMMFUNKTIONEN KOMPETENZHEFT ZU STAMMFUNKTIONEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Finde eine Funktion F (x), die F (x) = f(x) erfüllt. a) f(x) = 5 x 2 2 x + 8 e) f(x) = 1 + x x 2 b) f(x) = 1 x4 10 f) f(x) = e x + 2

Mehr

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 006 Zahl der Blätter: 5 Blatt 1 s. unten Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner Zeit:

Mehr

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)

Mehr

1. Teil Repetitionen zum Thema (bisherige) Funktionen

1. Teil Repetitionen zum Thema (bisherige) Funktionen Analysis-Aufgaben: Rationale Funktionen 2 1. Teil Repetitionen zum Thema (bisherige) Funktionen 1. Die folgenden Funktionen sind gegeben: f(x) = x 3 x 2, g(x) = x 4 + 4 (a) Bestimme die folgenden Funktionswerte/-

Mehr

LÖSUNGSSCHABLONE Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge

LÖSUNGSSCHABLONE Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge LÖSUNGSSCHABLONE Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Zweite Fassung Mai 04 Duale Hochschule Baden-Württemberg Stuttgart Campus Horb Testfragen Schreiben Sie das Ergebnis in das dafür vorgesehene

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 6 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist

Mehr

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 215 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion f : x ( x 3 8 ) (2 + ln x) mit maximalem Definitionsbereich D. Teilaufgabe Teil A 1a (1

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS

Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS GS.6.6 - m6_3t-a_lsg_cas_gs.pdf Abiturprüfung 6 - Mathematik 3 Technik A II - Lösung mit CAS Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit ( x ) mit der Definitionsmenge D ( x ) ( x 3) f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe.

Mehr

Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz

Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Dezember 0 Hinweis: Außer bei Aufgabe darf der GTR benutzt werden. Aufgabe : Bestimme ohne GTR: a) sin(405

Mehr

Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Pflicht- und Wahlteilaufgaben

Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Pflicht- und Wahlteilaufgaben Analysis Trigonometrische Funktionen Pflicht- und Wahlteilaufgaben Gymnasium Oberstufe J oder J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Dezember 0 Pflichtteilaufgaben (ohne GTR): Aufgabe : Leite die folgenden

Mehr

(3+2). Klausur Lösung

(3+2). Klausur Lösung EI M5 2011-12 MATHEMATIK (3+2). Klausur Lösung 1. Aufgabe (2 Punkte) Bilde die erste Ableitung der Funktion f mit für reelle Zahlen x. Dies ist eine Verkettung von e-funktion und sin(x). Also Kettenregel

Mehr

Mathematik im Berufskolleg II

Mathematik im Berufskolleg II Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg II Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 6 ISBN 978--8-- Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung

Mehr

Analysis II. Abitur Mathematik Bayern 2012 Musterlösung. Bayern Teil 1. Aufgabe 1. Aufgabe 2. Abitur Mathematik: Musterlösung.

Analysis II. Abitur Mathematik Bayern 2012 Musterlösung. Bayern Teil 1. Aufgabe 1. Aufgabe 2. Abitur Mathematik: Musterlösung. Abitur Mathematik: Musterlösung Bayern 2012 Teil 1 Aufgabe 1 2x + 3 f(x) = x² + 4x + 3 DEFINITIONSMGE Nullstellen des Nenners:! x² + 4x + 3=0 Lösungen x 1,2 = 4 ± 16 12 2 = 2 ± 1, d.h. x 1 = 3 und x 2

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

Pflichtteilaufgaben zur Integralrechnung

Pflichtteilaufgaben zur Integralrechnung Testklausur K Integralrechnung# Pflichtteilaufgaben zur Integralrechnung Aufgabe : Gib jeweils eine Stammfunktion an: a) f () = ² + f () = Aufgabe : Ermittle eine Stammfunktion für a) f() = n Für welche

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Bestimmung einer ganzrationalen Funktionenschar

Bestimmung einer ganzrationalen Funktionenschar Bestimmung einer ganzrationalen Funktionenschar x Gesucht ist eine Schar f a ganzrationaler Funktionen. Grades, deren Graphen durch A(0 ) und B( ) verlaufen und in A die Steigung a haben. Funktionenschar

Mehr

4. FUNKTIONSANPASSUNGEN

4. FUNKTIONSANPASSUNGEN 4. FUNKTIONSANPASSUNGEN 04. Da die Funktion einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt, muss sie mindestens dritten Grades sein. Eine kurzfristige Prognose ist mit dieser Funktion wahrscheinlich möglich,

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen

Mehr

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)

Mehr

5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation

5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation 5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation Aufgabe : Verschiebung und Streckung trigonometrischer Funktionen (5) a) Bestimmen Sie die Periode p sowie die Nullstellen der Funktion

Mehr

Pflichtteil - Exponentialfunktion

Pflichtteil - Exponentialfunktion Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()

Mehr

Ableitungsfunktion einer linearen Funktion

Ableitungsfunktion einer linearen Funktion Ableitungsfunktion einer linearen Funktion Aufgabennummer: 1_009 Prüfungsteil: Typ 1! Typ 2 " Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: AN 3.1! keine Hilfsmittel! gewohnte Hilfsmittel möglich

Mehr

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x mit f(x = (3x x + und Vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F (x von ( π f(x =

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2006 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 22. Juni 2006 Prüfungsdauer: 09:00 12:00 Uhr Hilfsmittel:

Mehr

Der folgende Katalog soll Beispiele dafür aufzeigen, was konkret verlangt werden kann, ohne dabei den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben.

Der folgende Katalog soll Beispiele dafür aufzeigen, was konkret verlangt werden kann, ohne dabei den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben. Fundus für den Pflichtbereich / Mathematik-Abitur ab 4 Themenbereiche Der Pflichtteil soll aus kleineren Aufgaben bestehen, die ohne Hilfsmittel zu bearbeiten sind. Er soll die Grundkompetenzen abprüfen.

Mehr

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Aufgabe 1 Der Graph der Funktion f (x) = 0,5x3+ 1,5x2+ 4,5x 3,5 hat im Punkt T( 1 6) einen relativen (lokalen) Tiefpunkt und im Punkt H(3 10) einen relativen (lokalen)

Mehr

Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil - Aufgaben Analysis I Aufgabe I : Gegeben sind die Funktionen f und g durch f(x) cos( π x) und g(x) ( x) f(x) ; x Ihre Schaubilder sind K

Mehr

MATHEMATIK K1 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR)

MATHEMATIK K1 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR) MATHEMATIK K EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR Einige Stichworte: Bruchrechnen: bei Addition und Subtraktion beide Brüche auf den Hauptnenner bringen Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 3

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 3 K2 MATHEMATIK KLAUSUR 3 NACHTERMIN 2..23 Aufgabe PT WTA WTGS Gesamtpunktzahl Punkte (max 3 5 5 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 3 4 5 3 4 4 3 Punkte WT Ana a b c Summe P. (max 8 4 3

Mehr

Pflichtteil Aufgabe 5 Funktionenkompetenz

Pflichtteil Aufgabe 5 Funktionenkompetenz Pflichtteil Aufgabe 5 Funktionenkompetenz 2016 (5VP) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begru nden Sie

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Zum Schluss berechnen wir die Steigung, indem wir

Zum Schluss berechnen wir die Steigung, indem wir Einführung Grafisches Differenzieren (auch grafische Ableitung genannt) gibt uns zum einen die Möglichkeit, die Steigung des Graphen einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu ermitteln, ohne dass wir

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Nordrhein-Westfalen. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Nordrhein-Westfalen. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Nordrhein-Westfalen Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung

Mehr

Flächenberechnung mit Integralen

Flächenberechnung mit Integralen Flächenberechnung mit Integralen W. Kippels 30. April 204 Inhaltsverzeichnis Übungsaufgaben 2. Aufgabe................................... 2.2 Aufgabe 2................................... 2.3 Aufgabe 3...................................

Mehr

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen .. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 06 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 06 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Analysis 5.

Analysis 5. Analysis 5 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 2 e 2 x 2 (x D f ) a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2 06.12.2013 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 27 15 15 3 60 Punkte Notenpunkte PT 1 2 3 4 5 6 7 8 P. (max 2 3 2 4 5 3 4 4 Punkte WT Ana a b Summe P. (max 8 7

Mehr

1 Kurvenuntersuchung /40

1 Kurvenuntersuchung /40 00 Herbst, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B Kurvenuntersuchung /40 Die Tragflächen des berühmten Flugzeuges Junkers Ju-5 können an der Nahtstelle zum Flugzeugrumpf mithilfe der Funktionen f und g mit 8

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 008 / 009 Fach (A) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 9. April 009 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel

Mehr

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet

Mehr

Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit x f(x) = (x + 5) e. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion

Mehr

f(x) = 2 3 x3 + 3x 2 + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. ( 9 4 ) 8 4

f(x) = 2 3 x3 + 3x 2 + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. ( 9 4 ) 8 4 Übungen zur Mathematik II für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Analysis und Lineare Algebra) im Sommersemester 017 Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke, Mathias Schacht A: Präsenzaufgaben

Mehr

K2 KLAUSUR MATHEMATIK

K2 KLAUSUR MATHEMATIK K2 KLAUSUR MATHEMATIK NACHTERMIN 16.02.2012 Pflichtteil: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 (max) 2 2 3 4 5 3 4 3 Wahlteil Analysis Aufgabe a b c (max) 10 3 5 Wahlteil Geometrie Aufgabe a b c (max) 7 4 5 Gesamtpunktzahl

Mehr

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Zweite Fassung Mai 04 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium sind.

Mehr

( 0 ( x) d) Die Funktionsgleichung der Funktion 1 lautet: f( Für x 2 = 0 : Wähle die Werte -1 und 1. Überprüfe x1 = 1,

( 0 ( x) d) Die Funktionsgleichung der Funktion 1 lautet: f( Für x 2 = 0 : Wähle die Werte -1 und 1. Überprüfe x1 = 1, Differentialrechnung IV (Wendepunkte) (Kap 7) (Haben Sie Probleme bei der Bearbeitung dieser Aufgaben versuchen Sie diese in Ihrer Kleingruppe mit Hilfe des Arbeitsbuchs Mathematik zu klären Führt dies

Mehr

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende.

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. VP b) Das Schaubild von hat für 36 genau zwei Wendepunkte. c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. 3. Gegeben ist die Funktionenschar mit

Mehr

1 /40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2011 Mathematik ( ) = 0, 001 0, , Abb.1 (erstesteilstück der Achterbahn)

1 /40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2011 Mathematik ( ) = 0, 001 0, , Abb.1 (erstesteilstück der Achterbahn) Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Aufgabenvorschlag A /40 Das erste Teilstück einer Achterbahn ruht auf sechs senkrechten Stützen, die in Abständen von 5 m aufgestellt sind (siehe Abb.). Es lässt sich

Mehr

Abkürzungen & Begriffe

Abkürzungen & Begriffe A Bedeutungen Abkürzungen & Begriffe Abzisse ist ein normaler x-wert [ Ordinate] arcsin, arccos, arctan sind die korrekten Bezeichnungen für: sin -, cos -, tan -. [Die üblichen Bezeichnungen sin -, cos

Mehr