Spieltheorie Teil 4. Tone Arnold. Universität des Saarlandes. 20. März 2008

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1 Spieltheorie Teil 4 Tone Arnold Universität des Saarlandes 20. März 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

2 Verfeinerungen des Nash GGs Das Perfekte Bayesianische Nash GG Das BNG für Spiele mit unvollständiger Information ist analog zum Nash Gleichgewicht für Spiele mit vollständiger Information. Gibt es für Spiele mit unvollständiger Information auch ein Konzept, dass unglaubwürdige Drohungen im GG ausschliesst (analog zur Teilspielperfektheit)? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

3 Perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht (PBN) 1 R (1, 3) L M 2 L R L R (2, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

4 Normalform L R L 2, 1 0, 0 M 0, 2 0, 1 R 1, 3 1, 3. Offensichtlich ist L eine dominante Strategie für Spieler 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

5 Dieses Spiel hat zwei Nash Gleichgewichte (NG) in reinen Strategien: (L, L ) und (R, R ). Das Spiel besitzt keine echten Teilspiele, d.h. das einzige Teilspiel ist das gesamte Spiel. Anders ausgedrückt: Jedes NG ist teilspielperfekt. Aber das NG (R, R ) enthält eine unglaubwürdige Drohung: Wenn Spieler 2 am Zug ist, dann dominiert die Aktion L die Aktion R. Daher sollte Spieler 1 die Drohung nicht ernst nehmen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

6 Anforderungen Um nun das NG (R, R ) zu eliminieren, werden die beiden folgenden Anforderungen an NGe gestellt. Anforderung 1 An jeder Informationsmenge muss der Spieler, der am Zug ist, eine Vermutung (in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung) darüber haben, welcher Knoten in dieser Informationsmenge erreicht wurde. Anforderung 2 Gegeben diese Vermutungen, müssen die Strategien der Spieler sequenziell rational sein. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

7 Anforderungen D. h. an jeder Informationsmenge muss die Aktion (und die weitere Strategie), die der Spieler wählt, optimal sein, gegeben die Vermutung des Spielers an dieser Informationsmenge und die weiteren Strategien der anderen Spieler. Eine weitere Strategie ist ein Handlungsplan für jede Eventualität, die nach Erreichen der Informationsmenge eintreten kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

8 Anforderungen In unserem Spiel impliziert die Anforderung 1, dass Spieler 2, wenn seine Informationsmenge erreicht wird, eine Vermutung darüber hat, welcher Knoten erreicht wurde. Die Vermutungen werden mit p und (1 p) bezeichnet. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

9 Extensivform 1 R (1, 3) L p 2 M (1 p) L R L R (2, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

10 Erwartete Auszahlung Gegeben die Vermutung des Spielers 2, ist seine erwartete Auszahlung bei Wahl der Strategie R und bei Wahl der Strategie L : p 0 + (1 p) 1 = 1 p p 1 + (1 p) 2 = 2 p. Es gilt: 2 p > 1 p für jeden Wert von p. Daher wird Spieler 2 niemals die Strategie R wählen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

11 Anforderungen Die Anforderungen, dass ein Spieler eine Vermutung hat und eine sequenziell rationale Strategie spielt, reichen bereits, um das unplausible Gleichgewicht (R, R ) auszuschliessen. Die Anforderungen 1 und 2 verlangen, dass die Spieler Vermutungen haben und, gegeben diese Vermutungen, rational handeln. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

12 Vermutungen Allerdings werden keine Annahmen darüber getroffen, ob diese Vermutungen vernünftig oder sinnvoll sind. In unserem Beispiel wäre die Vermutung p < 1 seitens Spieler 2 nicht rational, denn Spieler 1 würde nie M spielen, da M von L dominiert wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

13 Ausschliessen irrationaler Vermutungen Die folgende Anforderung soll solche nicht rationalen Vermutungen ausschliessen. Anforderung 3 Bei Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad (GP) werden die Vermutungen gemäss dem Satz von Bayes und abhängig von den Gleichgewichtsstrategien gebildet. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

14 Gleichgewichtspfad Definition 1 Für ein gegebenes Gleichgewicht in einem Extensivformspiel liegt eine Informationsmenge auf dem GP, wenn sie bei der gleichgewichtigen Strategiekombination mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Sie liegt ausserhalb des GP, wenn sie bei der gleichgewichtigen Strategiekombination mit Sicherheit nicht erreicht wird. Gleichgewicht kann hier Nash, teilspielperfektes, Bayesianisches oder perfektes Bayesianisches NG bedeuten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

15 PBN Unser Beispiel: Im PBN (L, L ) gilt: Gegeben die Gleichgewichtsstrategie L, müssen die Vermutungen des Spielers 2 durch p = 1 gegeben sein. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

16 PBN Durch die Anforderungen 1 3 werden die Vermutungen auf dem GP immer entsprechend der neuen Information aktualisiert. Hierdurch wird analog zum teilspielperfekten NG die sequenzielle Rationalität bezogen auf die Vermutungen der Spieler erfasst. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

17 PBN Achtung: Beim PBN können die Vermutungen nur auf dem GP nach dem Satz von Bayes gebildet werden! Ausserhalb des GP ist der Satz von Bayes nicht anwendbar (der Nenner wäre gleich null), daher sind die Vermutungen ausserhalb des GP nicht definiert und somit beliebig. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

18 Beispiel 1 A (2, 0, 0) D 2 p L 3 R (1 p) L R L R (1, 2, 1) (3, 3, 3) (0, 1, 2) (0, 1, 1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

19 PBN Dieses Spiel hat nur ein echtes Teilspiel, das bei der Informationsmenge von Spieler 2 beginnt.die Normalform des Teilspiels ist L R L 2, 1 3, 3 R 1, 2 1, 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

20 PBN Das einzige NG in diesem Teilspiel mit den Spielern 2 und 3 ist (L, R ). Daher ist das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht in diesem Spiel (D, L, R ). Diese Strategien, zusammen mit der Vermutung p = 1 für den Spieler 3, erfüllen die Anforderungen 1 3. Anforderung 4 ist trivialerweise erfüllt, denn es gibt keine Informationsmenge ausserhalb des Gleichgewichtspfades. Das Gleichgewicht ist also ein BNG. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

21 Gibt es weitere GGein diesem Spiel? Betrachten wir die Strategien (A, L, L ) mit der Vermutung p = 0 seitens Spieler 3. Diese Strategien bilden ein NG. Die Strategien und die Vermutung erfüllen auch die Anforderungen 1 3. Spieler 3 hat eine Vermutung (p = 0) und handelt entsprechend optimal. Spieler 2 und 3 handeln optimal gegeben die weiteren Strategien der anderen Spieler. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

22 Das GG (A, L, L ) 1 D A (2, 0, 0) 2 L R p = 0 3 (1 p) = 1 L R L R (1, 2, 1) (3, 3, 3) (0, 1, 2) (0, 1, 1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

23 PBN Allerdings ist dieses Gleichgewicht nicht teilspielperfekt, denn das einzige Nash Gleichgwicht in diesem Teilspiel ist (L, R ). Die Anforderungen 1 3 garantieren also nicht, dass das Gleichgewicht teilspielperfekt ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

24 PBN Das Problem ist, dass die Vermutung von Spieler 3 (p = 0) inkonsistent mit der Strategie L von Spieler 2 ist: Gegeben die Tatsache, dass Spieler 2 L spielt, müsste p = 1 sein. Aber die Anforderungen 1 3 bilden keine Beschränkung für die Vermutungen von Spieler 3, denn seine Informationsmenge wird bei Verwendung der Strategien nicht erreicht, i.e. liegt ausserhalb des GPs. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

25 Der Gleichgewichtspfad 1 D A (2, 0, 0) 2 L R p = 0 3 (1 p) = 1 L R L R (1, 2, 1) (3, 3, 3) (0, 1, 2) (0, 1, 1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

26 Anforderung 4 Die folgende Anforderung schliesst solche nicht rationalen Vermutungen aus. Anforderung 4 Bei Informationsmengen ausserhalb des GPs werden die Vermutungen nach dem Satz von Bayes gebildet, wenn immer das möglich ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

27 Anforderung 4 Anforderung 4 sorgt nun dafür, dass die Vermutung von Spieler 3 durch die Strategie von Spieler 2 bestimmt ist: Wenn Spieler 2 L spielt, dann muss die Vermutung von Spieler 3 p = 1 sein. Wenn Spieler 2 R spielt, dann muss die Vermutung von Spieler 3 p = 0 sein. Wenn aber die Vermutung von Spieler 3 p = 1 ist, dann zwingt Anforderung 2 dazu, dass 3 die Strategie R verwendet. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

28 PBN Das NG (A, L, L ) erfüllen daher nicht die Anforderungen 1 4, da die Vermutung p = 0 nicht die Anforderung 4 erfüllt. Definition 2 Ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht (PBNG) besteht aus Strategien und Vermutungen, die die Anforderungen 1 4 erfüllen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

29 Das sequenzielle Gleichgewicht Modifikation des BNG, die von Kreps und Wilson (1982) entwickelt wurde: das sequenzielle Gleichgewicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

30 Das sequenzielle Gleichgewicht Ausgehend vom GG nimmt man an, dass jeder Spieler eine kleine, aber positive Wahrscheinlichkeit auf jede seiner nicht gleichgewichtigen Strategien legt. D. h. jeder Spieler spielt eine vollständig gemischte Strategie. Dadurch wird jede Informationsmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht, und der Satz von Bayes ist überall anwendbar. Dann werden die Wahrscheinlichkeiten für die Nicht Gleichgewichtsstrategien immer kleiner gemacht. Die Vermutungen im sequenziellen Gleichgewicht werden dann im Grenzwert (wenn die Wahrscheinlichkeiten gegen null gehen) bestimmt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

31 Das Chain Store Paradox Das Paradox geht zurück auf R. Selten (1978): The Chain Store Paradox. Theory and Decision 9: Eine Handelskette (Chain Store, HK ) hat Filialen in K Märkten. In jedem dieser Märkte k = 1,...,K entscheidet ein potenzieller Konkurrent über seinen ev. Markteintritt. Die Menge der Aktionen des Spielers k ist A k = {E k, N K }. Die Menge der Aktionen der HK in jedem Markt ist A HK = {K k, Z k }, i.e. kämpfen in Markt k bzw. Eintritt zulassen in Markt k. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

32 Das Chain Store Paradox Die Auszahlungen sind bei Nichteintritt (1, 6), bei Eintritt und Zulassen (3, 2), und bei Eintritt und Kämpfen (0, 0) (für Spieler k bzw. HK ). Der Ablauf des Spiels ist sequenziell: Der Spieler k beobachtet alle vorangegangenen Entscheidungen der Spieler 1,...,k 1, sowie die Aktionen von HK in jeder Periode. Demnach kann Spieler k seine Strategie abhängig machen von den Aktionen aller Spieler 1,...,k 1 sowie von den Aktionen der HK in jedem Markt 1,...,k 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

33 Extensivform des Stufenspiels HK E k = 1 N (1, 6) K Z (0, 0) (3, 2) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

34 Das Stufenspiel (One shot Game) Das einzige teilspielperfekte NG ist (E, Z). Paradox: Wird das Spiel für eine endliche Anzahl T von Perioden wiederholt, so ergibt die rückwärtige Induktion, dass in jeder Runde (E k, Z k ) gespielt wird für k = 1,...,T. Dies widerspricht der Intuition, dass die HK, zumindest bei einem langen Zeithorizont T, in den ersten Runden versucht, eine Reputation aufzubauen, indem sie kämpft, um so spätere potenzielle Konkurrenten vom Markteintritt abzuhalten. Problem: Die Aktion K stellt seitens HK eine unglaubwürdige Drohung dar. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

35 Einführung unvollständiger Information Annahme: Die HK kann entweder Stark (S) sein oder Schwach (Weak, W). Für Typ S entfällt die Option Z, i.e. Typ S muss nach Markteintritt des Konkurrenten kämpfen. (Dies entspricht einer Selbstbindung von Typ S an die Aktion K. Dadurch stellt diese Aktion keine leere Drohung mehr da, sondern wird glaubwürdig.) Die HK kennt ihren Typ, die potenziellen Konkurrenten jedoch nicht. Sie vermuten, dass Typ S mit Wahrscheinlichkeit p vorliegt, und Typ W mit Wahrscheinlichkeit (1 p). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

36 Ablauf des Spiels Die Natur wählt den Typ von HK : Typ S mit W. p und Typ W mit W. (1 p). Die Firma F kann den Zug der Natur nicht beobachten, kennt aber die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Firma F entscheidet über Markteintritt E oder Nichteintritt N. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

37 Das Chain Store Paradox HK beobachtet die Entscheidung von F. Wählt F die Aktion N, so ist das Spiel zu Ende und die Auszahlungen sind (1, 6) für F bzw. HK. Wählt F die Aktion E, so gilt: Typ S spielt K und die Auszahlungen sind (0, 0). Typ W entscheidet zwischen K und Z. Im Fall Z sind die Auszahlungen (3, 2) für F bzw. HK. Die Strategiemenge der HK ist also S HK = {(KK), (KZ)}, wobei jeweils der erste Buschstabe für Typ S steht und der zweite für Typ W. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

38 Das Chain Store Spiel N S W F1 N E E N (1, 6) HK (1, 6) K K Z (0, 0) (0, 0) (3, 2) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

39 Das Nash GG des Spiels Die HK spielt (KZ). F tritt ein, falls Das NG lautet also (E, KZ) falls p 1/3 und (N, KZ) falls p > 1/3. p 0 + (1 p) 3 1 p 1/3. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

40 Annahme: p < 1/3. Jetzt betrachten wir zwei Perioden. Wir werden sehen, dass das Paradox dann bereits aufgelöst werden kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

41 Zwei Stufen Spiel In der ersten Periode läuft das Spiel wie vorher beschrieben ab, wobei die Firma mit F 1 (für Periode 1) bezeichnet wird, und ihre Aktionen mit E 1 bzw. N 1. Die Aktionen der HK sind dann K 1 bzw. Z 1. In der zweiten Periode trifft die HK auf die Firma F 2. F 2 beobachtet den Zug von HK in Periode 1 (aber nicht deren Typ), und entscheidet daraufhin zwischen E 2 und N 2. Die Aktionen der HK sind K 2 bzw. Z 2. Die HK maximiert die Summe ihrer Auszahlungen aus beiden Perioden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

42 Das Chain Store Paradox Annahme: Die Firma F 1 tritt ein mit Wahrscheinlichkeit eins (da p < 1/3). D.h., F 1 berücksichtigt nicht, dass auch Typ W ev. kämpft. Diese Annahme gilt der Vereinfachung. Typ S kämpft mit Wahrscheinlichkeit eins. Dann folgt: Die einzigen Spieler, die hier eine strategische Entscheidung treffen, sind Typ W von HK und F 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

43 Gemischte Strategien Bezeichne mit σ i die gemischte Strategie der Firma i, i = 1, 2. Die gemischte Strategie der HK wird dargestellt durch die Wahrscheinlichkeiten α i (A i t), wobei i die Periode bezeichnet, i = 1, 2. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Typ t in Periode i die Aktion A i spielt, A i {K i, Z i }. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

44 Das Chain Store Paradox Beispiel: α 2 (K 2 S) = 1, α 2 (K 2 W) = 0.5 bedeutet, dass die HK in der 2. Periode mit Wahrscheinlichkeit eins kämpft, wenn es sich um den starken Typ handelt, und mit W. 0.5 kämpft, wenn es sich um den schwachen Typ handelt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

45 Periode 1 F 1 tritt ein mit W. eins, da p < 1/3. Daher gilt σ 1 (E 1 ) = 1. Typ S kämpft mit Wahrscheinlichkeit eins: α 1 (K 1 S) = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

46 Periode 1 Typ W kann versuchen, eine Reputation aufzubauen, indem er in Periode 1 kämpft. Dann wird F 2 ihre Vermutung bezüglich des Typs von HK nach dem Satz von Bayes ändern, und eventuell nicht in den Markt eintreten. Die W., dass Typ W kämpft, ist α 1 (K 1 W) [0, 1]. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

47 Periode 2 F 2 kann ihre Entscheidung abhängig machen von der Aktion der HK in Periode 1. Sie tritt ein mit W. Typ S kämpft mit W. eins: σ 2 (E 2 Z 1 ) = 1, σ 2 (E 2 K 1 ) [0, 1]. α 2 (K 2 S) = 1. Typ W lässt mit W. eins den Eintritt zu, da keine weitere Periode mehr folgt und Aufbau von Reputation daher sinnlos ist. α 2 (Z 2 W) = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

48 Das BNG Typ S der HK, F 1 und Typ W in Periode 2 haben jeweils eine dominante Strategie. Daher brauchen wir nur die Strategien von F 2 und von Typ W in Periode 1 zu berechnen. Ein BNG besteht aus Vermutungen seitens F 2 bezüglich des Typs der HK sowie Strategien für HK und F 2, die folgende Bedingungen erfüllen: 1 Die Vermutungen µ(t K 1 ) bzw. µ(t Z 1 ), t = S, W, werden nach dem Satz von Bayes gebildet. 2 Die Strategien α 1 (K 1 W) und σ 1 (E 2 K 1 ) sind gegenseitig beste Antworten, gegeben die Vermutungen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

49 Vermutungen von F 2 µ(w Z 1 ) = 1, µ(s Z 1 ) = 0 µ(s K 1 ) = pα 1 (K 1 S) pα 1 (K 1 S) + (1 p)α 1 (K 1 W) µ(w K 1 ) = (1 p)α 1 (K 1 W) pα 1 (K 1 S) + (1 p)α 1 (K 1 W) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

50 Vermutungen von F 2 Aus α 1 (K 1 S) = 1 folgt µ(s K 1 ) = p p + (1 p)α 1, µ(w K 1 ) = (1 p)α 1 p + (1 p)α 1, wobei α 1 α 1 (K 1 W) die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, mit der Typ W kämpft. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

51 Berechnung der Strategien im BNG Falls F 2 die Aktion K 1 beobachtet, ist ihr erwarteter Gewinn bei Eintritt π 2 (E 2 K 1 ) = µ(s K 1 ) 0 + µ(w K 1 ) 3 = 3(1 p)α 1 p + (1 p)α 1, und bei Nichteintritt π 2 (N 2 K 1 ) = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

52 Im BNG muss F 2 indifferent sein zwischen E 2 und N 2. Daher gilt 3(1 p)α 1 p + (1 p)α 1 = 1. Auflösen nach α 1 ergibt α 1 = p 2(1 p). D.h., Typ W kämpft in Periode eins mit Wahrscheinlichkeit p 2(1 p). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

53 Gewinn für Typ W N S W F1 N E E N (1, 6) HK (1, 6) K K Z (0, 0) (0, 0) (3, 2) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

54 Gewinn für Typ W Der Gewinn für Typ W beträgt bei K 1 null in Periode 1, aber eventuell 6 in Periode 2, falls F 2 nicht eintritt: π W (K 1 ) = 0 + σ (1 σ 2 ) 6, wobei σ 2 σ 2 (E 2 K 1 ) bezeichnet. Bei Z 1 ist der Gewinn π W (Z 1 ) = = 4. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

55 Im BNG ist Typ W indifferent zwischen K 1 und Z 1 : 2σ σ 2 = 4 σ 2 = 1/2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

56 Vermutungen von F 2 Einsetzen von α 1 = p 2(1 p) in µ( ) ergibt µ(w K 1 ) = 1/3, µ(s K 1 ) = 2/3. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

57 Das BNG Periode 1 F 1 tritt ein, Typ S kämpft, und Typ W kämpft mit Wahrscheinlichkeit α 1 : σ 1 (E 1) = 1, α 1 (K 1 S) = 1, α 1 (K 1 W) = p 2(1 p). Periode 2 Die Vermutungen der Firma F 2 sind µ(w K 1 ) = 1/3, µ(s K 1 ) = 2/3. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

58 Strategien in Periode 2 Die Strategien sind σ 2 (E 2 Z 1 ) = 1, σ 2 (E 2 K 1 ) = 1/2, α 2 (K 1 S) = 1, α 2 (K 1 W) = 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

59 Die erwarteten Auszahlungen im BNG Es gilt π 1 = p 0 + (1 p) 3 = 3(1 p), π S = 0. Erwartete Auszahlung für Typ W Falls Typ W die Aktion K 1 spielt, ist seine erwartete Auszahlung π W (K 1 ) = σ2 2 + (1 σ 2 ) 6 = (1/2) 8 = 4. Dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit α 1 = p/(2(1 p)). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

60 Die erwarteten Auszahlungen im BNG Falls Typ W die Aktion Z 1 spielt, ist die erwartete Auszahlung π W (Z 1 ) = 4. Dies geschieht mit der Wahrscheinlichkeit 1 α 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

61 Das Chain Store Paradox Die erwartete Auszahlung von Typ W ist dann π W = 4. Die ex ante erwartete Auszahlung der HK ist dann π HK = p 0 + (1 p) 4 = 4(1 p). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

62 Erwartete Auszahlung für F 2 Falls F 2 eintritt, nachdem K 1 beobachtet wurde, ist ihre erwartete Auszahlung π 2 (E 2 K 1 ) = µ(s K 1 ) 0 + µ(w K 1 ) 3 = 1. Dies ist gleich der Auszahlung von F 2 bei Nichteintritt: π2 (N ) = 1. Die erwartete Auszahlung für F 2 nach Beobachten von K 1 ist demnach gleich 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

63 Ex ante erwartete Auszahlung von F2 Falls K 1 beobachtet wird, gilt π 2 (E 2 K 1 ) = 1 = π 2 (N 2 K 1 ). Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass K 1 beobachtet wird, ist p + (1 p)α1 p = p + (1 p) 2(1 p) = 3p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64

64 Das Chain Store Paradox Falls Z 1 beobachtet wird, tritt F 2 ein. Ihre Auszahlung ist dann π 2 (E 2 Z 1 ) = 3. Dies geschieht mit der Wahrscheinlichkeit (1 p)(1 α 1 ) = 1 3p 2. Die ex ante erwartete Auszahlung von F 2 ist dann π2 = 3p ( p ) 3 = 3 3p. 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 64