Koordinaten, Funktionen & Etwas Geometrie

Transkript

1 Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 26. Oktober 2009

2 Kartesische Koordinaten Ebene R 2 und Raum R 3 Allgemein: R n Punktmengen in der Ebene Graphen von Funktionen...im R 2 und R 3...im R n Umfang und Flächeninhalt Oberfläche und Volumen Skalierungsverhalten Bären (Bergmannsche Regel)

3 Ebene R 2 und Raum R 3 Allgemein: R n Punktmengen in der Ebene Graphen von Funktionen Punkte in der Ebene R 2 : Angabe eines Paars von reellen Zahlen ( ) x1 bzw. (x 1,x 2 ) wobei x 1,x 2 R x 2 Punkte im Raum R 3 : Angabe eines Tripels von reellen Zahlen x 1 x 2 bzw. (x 1,x 2,x 3 ) wobei x 1,x 2,x 3 R x 3

4 Ebene R 2 und Raum R 3 Allgemein: R n Punktmengen in der Ebene Graphen von Funktionen Allgemein (zunächst abstrakt): Punkte im R n : Angabe eines n-tupels von reellen Zahlen x 1 x 2. bzw. (x 1,x 2,...,x n ) wobei x 1,...,x n R x n Beispiel: Betrachte z.b. die Ergebnisse von 7 Temperaturmessungen an aufeinanderfolgenden Tagen als Punkt im R 7.

5 Ebene R 2 und Raum R 3 Allgemein: R n Punktmengen in der Ebene Graphen von Funktionen Bereiche oder Figuren in der Ebene entsprechen (in Koordinaten) Teilmengen des R 2. Umgekehrt können wir Teilmengen des R 2 graphisch darstellen.

6 Ebene R 2 und Raum R 3 Allgemein: R n Punktmengen in der Ebene Graphen von Funktionen Funktion f : R R, z.b. f 1 : x x oder f 2 : x 1 x 2 (kurz: f 1 (x) = x bzw. f 2 (x) = 1 x 2 ) Graph der Funktion {(x,y) R 2 y = f(x)} ist Figur in der Ebene allgemein: f : D W wobei D: Definitionsbereich W: Wertebereich oben: D = W = R andere Beispiele: Temperatur T(x, y, z) (in C) an jedem Punkt (x, y, z) des Raumes, d.h. T : R 3 R, oder, der Raum ist nur endlich groß (sagen wir quaderförmig), D = {(x, y, z) R 3 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c}, dann wäre T : D R

7 entsprechen algebraischen Operationen mit den Koordinaten, z.b. Translation (Verschiebung) (x, y) (x + u, y + v) zentrische Streckung (Vergrößerung) (x, y) (αx, αy), α > 1 Streckung in x-richtung (x, y) (αx, y), α > 1 Streckung in y-richtung (x, y) (x, αy), α > 1 Spiegelung an der x-achse (x, y) (x, y) Spiegelung an der y-achse (x, y) ( x, y) Punktspiegelung im Ursprung (x, y) ( x, y) Alle Operationen sind Funktionen R 2 R 2. Wie wirkt sich Operation auf Funktionsgraph aus?

8 ... im R 2 und R 3... im R n Abstand d zweier Punkte u = (u 1,u 2 ), v = (v 1,v 2 ) R 2 Hilfspunkt (u 1,v 2 )...rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras liefert d(u,v) = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2, definiert Abstandsfunktion d : R 2 R 2 R. Analog im R 3 Raumdiagonale 2 Pythagoras d(u,v) = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + (v 3 u 3 ) 2, d.h. d : R 3 R 3 R, (u,v) d(u,v).

9 ... im R 2 und R 3... im R n Entsprechend definiert man den Abstand zweier Punkte u,v R n durch d(u,v) : = n (v i u i ) 2 i=1 = (v 1 u 1 ) (v n u n ) 2

10 Umfang und Flächeninhalt Oberfläche und Volumen Skalierungsverhalten Bären (Bergmannsche Regel) Form Umfang Flächeninhalt Quadrat 4a a 2 Rechteck 2a + 2b ab Kreis 2πr πr 2 Ellipse keine einfache Formel πab 1 Dreieck a + b + c 2 ch

11 Umfang und Flächeninhalt Oberfläche und Volumen Skalierungsverhalten Bären (Bergmannsche Regel) Form Oberfläche Volumen (Rauminhalt) Würfel 6a 2 a 3 Quader 2ab + 2bc + 2ac abc Kugel 4πr 2 4π 3 r3 4π Ellipsoid keine einfache Formel 3 abc Prisma, Zylinder hu + 2B hb 1 Kegel, Pyramide keine allgemeine Formel 3 hb

12 Umfang und Flächeninhalt Oberfläche und Volumen Skalierungsverhalten Bären (Bergmannsche Regel) Beobachtung: Bei einer zentrischen Streckung um einen Faktor α > 0 (d.h. (x,y) (αx,αy) im R 2, bzw. (x,y,z) (αx,αy,αz) im R 3 ) gilt bei allen Objekten Weglängen (z.b. Umfang) wachsen 1 um Faktor α Flächen wachsen um Faktor α 2 Volumina wachsen um Faktor α 3 Dies ist formunabhängig! Anwendung: Bergmannsche Regel Innerhalb einer Verwandtschaftsreihe sind warmblütige Tiere im kalten Klima großwüchsig. Erklärung: 1 bzw. schrumpfen für 0 < α < 1

13 Umfang und Flächeninhalt Oberfläche und Volumen Skalierungsverhalten Bären (Bergmannsche Regel) Eisbär Kragenbär Großer Panda 1,90m 2,10m 2,40m 2,60m 1,20m 1,80m 1,20m 1,50m

14 Kreis & Kreisscheibe Kreis als Funktionsgraph Sphäre & Vollkugel Sphäre als Funktionsgraph Zahlen Kreis mit Radius r > 0 um Mittelpunkt u R 2 K r (u) = {v R 2 d(u,v) = r} analog die Kreisscheibe (Radius r > 0, Mittelpunkt u R 2 ) I r (u) = {v R 2 d(u,v) r} K r (u) ist Lösungsmenge der Gleichung d(u,v) = r (v1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 = r (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 = r 2 (quadratische Gleichung)

15 Kreis & Kreisscheibe Kreis als Funktionsgraph Sphäre & Vollkugel Sphäre als Funktionsgraph Zahlen Betrachte nun v 1 als gegeben und suche f so, dass v 2 = f(v 1 ), d.h. löse nach v 2 auf: v 2 = u 2 ± r 2 (v 1 u 1 ) 2, v 1 u 1 r Damit ist K r (u) Vereinigung der Graphen von f + und f, f ± (v 1 ) = u 2 ± r 2 (v 1 u 1 ) 2, beide mit Definitionsbereich { x R x u 1 r } = { x R u 1 r x u 1 + r } = [ u 1 r,u 1 + r ]

16 Kreis & Kreisscheibe Kreis als Funktionsgraph Sphäre & Vollkugel Sphäre als Funktionsgraph Zahlen Kugel mit Radius r > 0 um Mittelpunkt u R 3 Kugeloberfläche (Sphäre, engl.sphere) S r (u) = {v R 3 d(u,v) = r} Vollkugel (engl. ball) B r (u) = {v R 3 d(u,v) r} Sphäre als Funktionsgraph? Sphäre ist Lösungsmenge von (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + (v 3 u 3 ) 2 = r 2...auflösen nach v 3

17 Kreis & Kreisscheibe Kreis als Funktionsgraph Sphäre & Vollkugel Sphäre als Funktionsgraph Zahlen...auflösen nach v 3 v 3 = u 3 ± r 2 (v 1 u 1 ) 2 (v 2 u 2 ) 2, (v 1,v 2 ) I r (u 1,u 2 )...zwei Funktionen f ± (v 1,v 2 ) = u 3 ± r 2 (v 1 u 1 ) 2 (v 2 u 2 ) 2 mit Definitionsbereich D = I r (u 1,u 2 ). Damit ist S r (u) Vereinigung der Graphen { (x,y,z) R 3 z = f + (x,y), (x,y) I r (u 1,u 2 ) } und { (x,y,z) R 3 z = f (x,y), (x,y) I r (u 1,u 2 ) }

18 Kreis & Kreisscheibe Kreis als Funktionsgraph Sphäre & Vollkugel Sphäre als Funktionsgraph Zahlen Zahlenmengen N die natürlichen Zahlen {1,2,3,...}, N 0 = {0,1,2,3,...} die natürlichen Zahlen inkl. der Null, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...} die ganzen Zahlen, Q = { p q p,q Z, q 0} die rationalen Zahlen Brüche bzw. Zahlen mit endlicher oder periodischer Dezimalbruchentwicklung, R die reellen Zahlen enthalten zusätzlich zu Q Zahlen wie 2 1,414..., π 3, oder e 2,718..., die nicht als Bruch geschrieben werden können. Bemerkung: N N 0 Z Q R